2024年新高考數學一輪復習達標檢測第54講分類加法計數原理與分步乘法計數原理教師版

《分類加法計數原理與分步乘法計數原理》達標檢測[A組]—應知應會1．高二年級要從3名男生，2名女生中選派3人參加某次社區(qū)服務，假如要求至少有1名女生，那么不同的選派方案有（）A．6種 B．7種 C．8種 D．9種【分析】由題意，選派3人中至少有1名女生，可分為女生1人男生2人和女生2人男生1人兩種狀況．【解答】解：方法一：可按女生人數分類：若選派1名女生，有C?C＝2×3＝6種；若選派2名女生，則有C?C＝3種．由分類加法計數原理，共有9種不同的選派方法．方法二：至少有1名女生的選派方法為．故選：D．2．今有6個人組成的旅游團，包括4個大人，2個小孩，去廬山旅游，準備同時乘纜車觀光，現有三輛不同的纜車可供選擇，每輛纜車最多可乘3人，為了平安起見，小孩乘纜車必需要大人陪伴，則不同的乘車方式有（）種A．204 B．288 C．348 D．396【分析】分乘坐3輛纜車和乘坐兩輛纜車探討，①乘坐3輛纜車則4個大人被分成2，1，1三組按分步原理計算方法數即可，②若乘兩輛纜車，則4個大人被分成2，2或者3，1兩組，然后按計算原理處理即可，最終將兩類相加即可．【解答】解：①若6人乘坐3輛纜車，則將4個大人分成2，1，1三組有＝6種方法，然后將三組排到三個纜車有＝6種方法，再將兩個小孩排到三個纜車有3×3﹣1＝8種方法，所以共有6×6×8＝288種方法．②若6人乘坐2輛纜車，（1）兩個小孩不在一塊：則大人分成2，2兩組的方法有＝3種方法，將兩組排到兩輛纜車有＝6種方法，再將兩個小孩排到兩輛纜車有＝2種方法，故共有3×6×2＝36種方法．（2）兩個小孩在一塊：則大人分成3，1兩組，分組方法為＝4種方法，小孩加入1人的組有1種方法，再將兩組從3輛纜車中選兩輛排入有＝6種方法，故共有4×1×6＝24種方法．綜上共有：288+36+24＝348種方法．故選：C．3．某校教學大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，一學生由一層到五層的走法有（）A．10種 B．25種 C．52種 D．24種【分析】通過層與層之間的走法，利用分步計數原理求解一層到五層的走法．【解答】解：共分4步：一層到二層2種，二層到三層2種，三層到四層2種，四層到五層2種，一共24＝16種．故選：D．4．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數a，b，組成復數a+bi，其中虛數有（）A．36個 B．42個 C．30個 D．35個【分析】本題是一個分步計數問題，從集合中任取兩個互不相等的數a，b，組成復數a+bi，要求是一個虛數，也就是b不能為0，先選有限制條件的元素b，不能選0，在依據兩個互不相等的數a，b，依據分步計數原理得到結果．【解答】解：∵a，b互不相等且為虛數，∴全部b只能從{1，2，3，4，5，6}中選一個有6種，a從剩余的6個選一個有6種，∴依據分步計數原理知虛數有6×6＝36（個）．故選：A．5．如圖，湖面上有4個相鄰的小島A，B，C，D，現要建3座橋梁，將這4個小島連接起來共有m種不同的方案，則m的值為（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】依據題意，利用解除法分析：首先分析在4個小島之間建立橋梁的全部數目，再解除其中不能把4個小島連接起來的狀況，分析可得答案．【解答】解：依據題意，4個小島之間共有6個位置可以建設橋梁，在其中任選3個建立橋梁，有C63＝20種結果，其中有4種不能把4個小島連接起來，則符合題意的建立方法有20﹣4＝16種；故選：D．6．學校支配在周一至周四的藝術節(jié)上展演《雷雨》、《茶館》、《天籟》、《馬蹄聲碎》四部話劇，每天一部，受多種因素影響，話劇《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶館》不能在周一、周三上演；《天籟》不能在周三、周四上演；《馬蹄聲碎》不能在周一、周四上演，則全部的可能狀況有（）種．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由題意，周一只能上演《天籟》，周四只能上演《茶館》，而周二和周三則可《馬蹄聲碎》和《雷雨》，從而得出結論．【解答】解：由題意，周一只能上演《天籟》，周四只能上演《茶館》，故周二上演《雷雨》，周三上演《馬蹄聲碎》；或者周二上演《馬蹄聲碎》，周三上演《雷雨》．故全部的可能狀況有2種，故選：C．7．電路如圖所示，在A，B間有四個開關，若發(fā)覺A，B之間電路不通，則這四個開關打開或閉合的方式有（）A．3種 B．8種 C．13種 D．16種【分析】依據題意，有間接法分析：先計算4個開關打開或閉合的可能狀況數目，再分析電路接通的狀況，據此分析可得答案．【解答】解：依據題意，在A，B間有四個開關，每個開關有2種狀況，則四個開關有2×2×2×2＝16種狀況，其中電路接通的狀況有1、2、4閉合、1、3、4閉合或1、2、3、4閉合，有3種狀況，則電路不通的狀況有16﹣3＝13種；故選：C．8．一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成，一個程序模塊從起先到結束的路途稱為該程序模塊的執(zhí)行路徑．如圖是一個計算機程序模塊，則該程序模塊的不同的執(zhí)行路徑的條數是（）A．6 B．14 C．49 D．84【分析】依據分類分步計數原理可得．【解答】解：依據分類分步計數原理可得（2+2+3）×（4+3）＝49種，故選：C．9．設集合A＝{（a1，a2，a3，a4，a5，a6）|ai∈{﹣1，1}，i＝1，2，3，4，5，6}，那么集合A中滿意條件“﹣2≤a1+a2+a3+a4+a5+a6≤2”的元素的個數為（）A．35 B．50 C．60 D．180【分析】由題意可得a1+a2+a3+a4+a5+a6只能取﹣2，0，2三種狀況，依據分類計數原理可得．【解答】解：∵集合A＝{（a1，a2，a3，a4，a5，a6）|ai∈{﹣1，1}，i＝1，2，3，4，5，6}，要滿意“﹣2≤a1+a2+a3+a4+a5+a6≤2”由題可得：ai中有2個﹣1，4個1，或3個﹣1，3個1，或4個﹣1，2個1，共三類狀況符合條件．所以A中滿意條件“﹣2≤a1+a2+a3+a4+a5+a6≤2”的元素的個數為：++＝50；故選：B．10．一只螞蟻從正四面體A﹣BCD的頂點A動身，沿著正四面體A﹣BCD的棱爬行，每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機的，則螞蟻第1秒后到點B，第4秒后又回到A點的不同爬行路途有（）A．6條 B．7條 C．8條 D．9條【分析】依據已知，可做出右圖，由圖知，不同的爬行路途有7條，問題得以解決．【解答】解：依據已知，可作出右圖，由圖知，不同的爬行路途有7條，故選：B．11．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的誕生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現有十二生肖的祥瑞物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學寵愛牛和馬，乙同學寵愛牛、狗和羊，丙同學哪個祥瑞物都寵愛，假如讓三位同學選取禮物都滿意，則選法有（）A．30種 B．50種 C．60種 D．90種【分析】探討甲同學選擇的兩種不同的狀況，確定乙，丙的個數．【解答】解：①甲同學選擇牛，乙有2種，丙有10種，選法有1×2×10＝20種，②甲同學選擇馬，乙有3種，丙有10種，選法有1×3×10＝30種，所以總共有20+30＝50種．故選：B．12．將5種不同的花卉種植在如圖所示的四個區(qū)域中，每個區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數是（）A．420 B．180 C．64 D．25【分析】由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，探討A，D同色和異色，依據乘法原理可得結論．【解答】解：方法一：由題意，由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，A，D不同色，D有3種，C有2種涂法，有5×4×3×2＝120種，A，D同色，D有4種涂法，C有3種涂法，有5×4×3＝60種，∴共有180種不同的涂色方案．方法二：分步，比如先排BCD，兩兩不同色，有5×4×3＝60種，再排A，只要與BC不同，有3種，故共180種故選：B．13．假如某人有壹元、貳元、伍元、拾元、貳拾元、伍拾元、壹佰元的紙幣各兩張，要支付貳佰壹拾玖（219）元的貨款（不找零），則有種不同的支付方式．【分析】依據個位上的9元的支付狀況分類，三個數位上的錢數分步計算，相加即可．【解答】解：9元的支付有兩種狀況，5+2+2或者5+2+1+1，①當9元接受5+2+2方式支付時，200元的支付方式為2×100，或者1×100+2×50或者1×100+1×50+2×20+10共3種方式，10元的支付只能用1張10元，此時共有1×3×1＝3種支付方式；②當9元接受5+2+1+1方式支付時：200元的支付方式為2×100，或者1×100+2×50或者1×100+1×50+2×20+10共3種方式，10元的支付只能用1張10元，此時共有1×3×1＝3種支付方式；所以總的支付方式共有3+3＝6種．故答案為：6．14．2024年女排世界杯共有12支參賽球隊，賽制接受12支隊伍單循環(huán)，兩兩捉對廝殺一場定輸贏，依次進行，則此次杯賽共有場球賽．【分析】干脆利用組合數的應用求出結果．【解答】解：依據題意利用組合數得．故答案為：66．15．4位學生和1位老師站成一排照相，若老師站中間，男生甲不站最左端，男生乙不站最右端，則不同排法的種數是．【分析】由題意，須要分兩類，第一類，男生甲在最右端，其次類，男生甲不在最右端，依據分類計數原理可得答案．【解答】解：第一類，男生甲在最右端，其他人全排，故有A33＝6種，其次類，男生甲不在最右端，男生甲有兩種選擇，男生乙也有兩種選擇，其余2人隨意排，故有A21A21A22＝8，依據分類計數原理可得，共有6+8＝14種，故答案為：14．16．若A∪B＝{1，2，3}，則集合A，B共有種組合．【分析】依據集合A中元素的個數進行分類，沒有元素，1個元素，2個元素，3個元素，依據分類計數原理可得答案．【解答】解：當集合A為空集時，集合B＝{1，2，3]有1種，當集合A包含1個元素時，例如A＝{1}，則集合可以為{1，2，3}或{2，3}，故有3×2＝6種，當集合A包含2個元素時，例如A＝{1，2}，則可以為{1，2，3}，{1，3}，{2，3}，{3}故有3×4＝12種，當集合A包含3個元素時，例如A＝{1，2，3}，則集合B可以沒有元素，1個元素，2個元素，3個元素，故有1+3+3+1＝8種，依據分類計數原理可得，共有1+6+12+8＝27種，故答案為：27．17．現用五種不同的顏色，要對如圖中的四個部分進行著色，要求公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有種不同著色方法【分析】本劇題意，分4類進行分析，分狀況探討著色方案，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：依據題意，由分4類進行分析：①當Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ全都不同色時，共有種；②當Ⅰ，Ⅲ同色，Ⅱ，Ⅳ不同色時，共有種；③當Ⅱ，Ⅳ同色，Ⅰ，Ⅲ不同色時，共有60種；④當Ⅰ，Ⅲ同色且Ⅱ，Ⅳ也同色時，共有種；故答案為：260．18．如圖所示，玩具計數算盤的三檔上各有7個算珠，現將每檔算珠分為左右兩部分，左側的每個算珠表示數2，右側的每個算珠表示數1（允許一側無珠），記上、中、下三檔的數字和分別為a，b，c．例如，圖中上檔的數字和a＝9．若a，b，c成等差數列，則不同的分珠計數法有種．【分析】a，b，c的取值范圍都是從7～14，可以依據公差d的狀況進行探討．【解答】解：依據題意，a，b，c的取值范圍都是從7～14共8個數字，故公差d范圍是﹣3到3，①當公差d＝0時，有＝8種，②當公差d＝±1時，b不取7和14，有2＝12種，③當公差d＝±2時，b不取7，8，13，14，有2＝8種，④當公差d＝±3時，b只能取10或11，有2＝4種，綜上共有8+12+8+4＝32種，故填：3219．我國古代數學著作《孫子算經》中記載：“今有三人共車，二車空，二人共車，九人步．問人車各幾何？”其大意是：“每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人步行．問人數和車數各多少？”依據題意，其車數為輛．【分析】設出車數和人數，列方程組即可【解答】解：設車有x輛，人有y人，則，解得x＝15，y＝39．故填：15．20．北京大興國際機場為4F級國際機場、大型國際樞紐機場、國家發(fā)展新動力源，于2024年9月25日正式通航．目前建有“三縱一橫”4條跑道，分別叫西一跑道、西二跑道、東一跑道、北一跑道，如圖所示；若有2架飛往不同目的地的飛機要從以上不同跑道同時起飛，且西一跑道、西二跑道至少有一道被選取，則共有種不同的支配方法．（用數字作答）．【分析】分西一跑道、西二跑道均被選取及西一跑道、西二跑道只有一道被選取兩種狀況，每種狀況依據先組合再排列的方式計算即可．【解答】解：①西一跑道、西二跑道均被選取，有種起飛方式；②西一跑道、西二跑道只有一道被選取，有種起飛方式；由分類計數原理可知，滿意條件的支配方法有2+8＝10種．故答案為：10．21．從分別印有數字0，3，5，7，9的5張卡片中，隨意抽出3張組成三位數．①求可以組成多少個大于500的三位數；②求可以組成多少個三位數；③若印有9的卡片，既可以當9用，也可以當6用，求可以組成多少個三位數．【分析】①．首位是5、7、9的三位數都大于500．即可求解．②．共有三位數：4＝48個．③．求出有數字9的三位數個數即可．【解答】解：①．首位是5、7、9的三位數都大于500．故大于500的三位數有：3＝36個；②．共有三位數：4＝48個．③．取出的三張卡片中有0也有9：有×2×2＝12種狀況，取出的三張卡片中有9但沒有0：C32A33＝18種狀況∴印有9的卡片，既可以當9用，也可以當6用，可以組成48+30＝78個三位數[B組]—強基必備1．如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F，G七個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不對【分析】依據題意，結合計數原理，先排E，F，G，然后依據A，B，C，D的狀況探討．【解答】解：E，F，G分別有4，3，2種方法，①當A與F相同時，A有1種方法，此時B有2種，（1）C若與F相同有C有1種方法，同時D有3種方法，（2）若C與F不同，則