備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分層練習(xí)第八章平面解析幾何第4講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系

第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.[2024江蘇無錫市第一中學(xué)?？糫已知點(diǎn)M（x0，y0）在圓x2＋y2＝2外，則直線x0x+y0yA.相切 B.相交 C.相離 D.不確定解析因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，y0）為圓x2＋y2＝2外一點(diǎn)，所以x02＋y02＞2，又圓x2＋y2＝2的圓心為（0，0），半徑r＝2，所以圓心（0，0）到直線x0x＋y0y＝2的距離d＝｜0+0－2｜x02＋y02<222.[2024廣東百校聯(lián)考]若直線l：kx－y＋2－k＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y－4＝0交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)△ABC的周長最小時(shí)，k＝（C）A.12 B.－12 C.1 D.解析直線l恒過點(diǎn)D（1，2），圓心C（2，1），點(diǎn)D在圓內(nèi)，當(dāng)CD⊥l時(shí)，｜AB｜最小，△ABC的周長最小，由C（2，1），D（1，2），易得kCD＝－1，所以k＝1，故選C.3.已知圓M：x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直線x＋y＝0所得線段的長度是22，則圓M與圓N：（x－1）2＋（y－1）2＝1的位置關(guān)系是（B）A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離解析由題知圓M：x2＋（y－a）2＝a2（a＞0），圓心（0，a）到直線x＋y＝0的距離d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圓M與圓N的圓心距｜MN｜4.[2024福建漳州質(zhì)檢]已知A，B分別為x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓與直線2x＋y－4＝0相切，則該圓面積的最小值為（C）A.π5 B.2π5 C.4解析設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為直徑的圓為圓C，與直線2x＋y－4＝0相切于點(diǎn)D，點(diǎn)O到直線2x＋y－4＝0的距離為d，d＝45，圓C的半徑為r，則2r＝｜CO｜＋｜CD｜≥d，即r≥25，當(dāng)且僅當(dāng)O，C，D三點(diǎn)共線時(shí)取等號，故圓C的面積S＝πr2≥5.[2024河北石家莊質(zhì)檢]“a≥22”是“圓C1：x2＋y2＝4與圓C2:x－a2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析記圓C1、圓C2的半徑分別為r1，r2，由題意可知C1（0，0），r1＝2，C2a,-a，r2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)圓C1和圓C2內(nèi)含時(shí)，兩圓沒有公切線，即圓C1和圓C2有公切線的充要條件為｜C1C2｜≥r1－r2＝2－1＝1，即2a2≥1，解得a≤－22或a≥22.因?yàn)椤癮≥22”是“a≤－22或a≥22”的充分不必要條件，所以“a≥22”6.[2024河南省適應(yīng)性測試]過圓x2＋y2＝4上的一點(diǎn)作圓x2＋y2＝1的兩條切線，則連接兩切點(diǎn)的線段長為（D）A.2 B.1 C.32 D.解析如圖，記P是圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)，過P作圓x2＋y2＝1的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，連接OA，OB，AB，OP，則OA⊥AP.可得｜OA｜＝1，｜OP｜＝2，在Rt△OAP中，cos∠AOP＝12，∴∠AOP＝60°，∴∠AOB＝2∠AOP＝120°，又｜OA｜＝｜OB｜＝1，∴｜AB｜＝37.已知圓C：x2＋y2＋4x＋1＝0，過圓外一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A.若｜PA｜＝2｜PO｜（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則｜PC｜的最小值為（D）A.4 B.4－2C.4－3 D.4－5解析圓C：x2＋y2＋4x＋1＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋2）2＋y2＝3，則圓C的圓心為C（－2，0），半徑為3.如圖，連接AC，因?yàn)镻A是圓C的切線，切點(diǎn)為A，所以PA⊥AC，所以PC2-PA2=3，又｜PA｜＝2設(shè)P（x，y），則（x＋2）2＋y2－2（x2＋y2）＝3，整理得x2＋y2－4x＝1，即（x－2）2＋y2＝5，可知點(diǎn)P在以M（2，0）為圓心，5為半徑的圓上，所以｜PC｜的最小值為｜CM｜－5＝4－5，故選D.8.[多選/2024吉林長春模擬]已知兩個(gè)圓C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和C2：x－a2+y2=A.－2 B.0 C.1 D.2解析因?yàn)閤2＋y2－2x＋4y＋4＝0，所以（x－1）2＋（y＋2）2＝1，所以圓C1的圓心為C1（1，－2），半徑r1＝1，且圓C2的圓心為C2（a，0），半徑r2＝2.因?yàn)閮蓤A相交，所以｜r1－r2｜＜｜C1C2｜＜｜r1＋r2｜，即1＜（a－1）2解得1－5＜a＜1＋5，結(jié)合選項(xiàng)可知，符合條件的為B，C，D.9.[開放創(chuàng)新]寫出與直線x－y－4＝0和圓x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的一個(gè)圓的方程：（x－1）2＋（y＋1）2＝2（答案不唯一）.解析x2＋y2＋2x－2y＝0可化為（x＋1）2＋（y－1）2＝（2）2，所以與直線x－y－4＝0和圓x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的圓的圓心可以在直線y＝－x上，直線y＝－x與圓x2+y2+2x-2y=0的交點(diǎn)為O（0，0），P（－2，2），直線y＝－x與直線x－y－4＝0的交點(diǎn)為A（2，－2）.若所求的圓與直線x－y－4＝0相切，與圓x2＋y2＋2x－2y＝0外切，則圓心坐標(biāo)為（1，－1），半徑為2，此時(shí)圓的方程為（x－1）10.已知直線l：x－y＋2＝0，圓C：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0.（1）求證：直線l與圓C相交；（2）若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求以弦AB為直徑的圓的方程.解析（1）由x2＋y2+2x+2y－2=0，解得x＝－3或x＝－1，所以y＝－1或y＝1，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，－1），（－1，1），所以直線l與圓C相交.（2）由（1）知線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0），｜AB｜＝[－3－（－1所以以弦AB為直徑的圓的方程為（x＋2）2＋y2＝2.11.已知A，B是圓C：（x－3）2＋（y－1）2＝9上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且｜AB｜＝25，若P0，－3，則點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為（A.2 B.3 C.4 D.7解析圓C：（x－3）2＋（y－1）2＝9的圓心C（3，1），半徑r＝3，則｜PC｜＝（3－設(shè)P，C到直線AB的距離分別為d1，d2，因?yàn)椋麬B｜＝2r2－d22＝29－d22如圖，分別過P，C作PN⊥AB，CM⊥AB，垂足分別為N，M，過C作CD⊥PN，垂足為D，明顯當(dāng)P，C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離較大，則d1＝｜PD｜＋｜DN｜＝|PC|2-|CD|2+d2=25－|CD|2+2≤7，當(dāng)且僅當(dāng)｜CD｜12.[全國卷Ⅰ]已知☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作☉M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)｜PM｜·｜AB｜最小時(shí)，直線AB的方程為（D）A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0解析由☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，得☉M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，所以圓心M（1，1）.如圖，連接AM，BM，易知四邊形PAMB的面積為12｜PM｜·｜AB｜，欲使｜PM｜·｜AB｜最小，只需四邊形PAMB的面積最小，即只需△PAM的面積最小.因?yàn)椋麬M｜＝2，所以只需｜PA｜最小.又｜PA｜＝｜PM｜2所以只需直線2x＋y＋2＝0上的動(dòng)點(diǎn)P到M的距離最小，其最小值為｜2+1+2｜5＝5，此時(shí)PM易求出此時(shí)直線PM的方程為x－2y＋1＝0.由2x＋y+2=0，x－2y+1=0，易知P，A，M，B四點(diǎn)共圓，所以以PM為直徑的圓的方程為x2＋（y－12）2＝（52）2，即x2＋y2－y－1＝0①－②得，直線AB的方程為2x＋y＋1＝0.13.[2024安徽新安中學(xué)?？糫已知點(diǎn)M（1，0），N（1，3），圓C：x2＋y2＝1，直線l過點(diǎn)N.（1）若直線l與圓C相切，求l的方程；（2）若直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，證明：k1＋k2為定值.解析（1）若直線l的斜率不存在，則l的方程為x＝1，此時(shí)直線l與圓C相切，故x＝1符合條件；若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝k（x－1）＋3，即kx－y－k＋3＝0，由直線l與圓C相切，圓心（0，0）到l的距離為1，得｜－k+3｜k2+1＝所以直線l的方程為y＝43（x－1）＋3，即4x－3y＋5＝綜上所述，直線l的方程為x＝1或4x－3y＋5＝0.（2）由（1）可知，l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，斜率存在，此時(shí)設(shè)l的方程為kx－y－k＋3＝0，由kx－y－k+3=0，x2＋y2=1，得（1＋k2）x2－（2k2－6k則Δ＝（2k2－6k）2－4（1＋k2）（k2－6k＋8）＝24k－32＞0，解得k＞43設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝2k2－6kk2+1，x1所以k1＋k2＝y(tǒng)1x1－1＋y2x2－1＝k（x1－1將（*）代入上式整理得k1＋k2＝2k＋－18k－6故k1＋k2為定值－2314.[2024江西廣豐中學(xué)?？糫已知圓H：x2＋（y－3）2＝10，點(diǎn)B（1，0）與C（3，2）為圓H上兩點(diǎn).（1）若直線l過點(diǎn)C，且被圓H截得的弦長為2，求直線l的方程；（2）對于線段BH上的隨意一點(diǎn)P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求圓C的半徑r的取值范圍.解析（1）由圓H：x2＋（y－3）2＝10，可得圓心H（0，3），半徑r＝10.因?yàn)檫^點(diǎn)C的直線l被圓H截得的弦長為2，則圓心H到l的距離d＝（10）2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x＝3，滿意題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝k（x－3）＋2，即kx－y－3k＋2＝0，則d＝｜－3－3k+2｜k所以l的方程為4x－3y－6＝0.綜上，直線l的方程是x＝3或4x－3y－6＝0.（2）因?yàn)锽（1，0），H（0，3），所以直線BH的方程為x＋y3＝1，即3x＋y－3＝設(shè)P（m，n），因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BH上，所以3m＋n－3＝0且m∈[0，1]，所以n＝3－3m.設(shè)N（x，y），因?yàn)镸為線段PN的中點(diǎn)，所以M（m＋x2，n＋y2），即M設(shè)圓C：（x－3）2＋（y－2）2＝r2，由M，N在圓C上得（整理得（若M，N存在，則方程組有解，即圓心為C（3，2），半徑為r的圓與圓心為C'（6－m，3m＋1），半徑為2r的圓有公共點(diǎn)，依據(jù)兩圓的位置關(guān)系可知2r－r≤｜CC'｜≤2r＋r，即r≤[3－（6－m)]2＋[2－（3所以r2≤（m－3）2＋（1－3m）2≤9r2，即r2≤10m2－12m＋10≤9r2，所以r設(shè)f（m）＝10m2－12m＋10＝10（m－35）2＋325，m∈[0，1所以f（m）∈[325，10]所以r2≤325，9r2≥10，即109若M為PN的中點(diǎn)，則點(diǎn)P在圓C外，所以（m－3）2＋（n－2）2＞r2，即（m－3）2＋（1－3m）2＞r2在m∈[0，1]時(shí)恒成立，所以r2＜（10m2－12m+10綜上所述，半徑r的取值范圍為[103，41015.[情境創(chuàng)新/2024安徽屯溪一中模擬]圖為世界名畫《蒙娜麗莎》.假設(shè)蒙娜麗莎微笑時(shí)的嘴唇可看作半徑為1的圓O的一段圓弧，且該段圓弧所對的圓周角為2π5.設(shè)圓C的圓心C在點(diǎn)O與該段圓弧中點(diǎn)的連線所在直線上.若該段圓弧上存在四點(diǎn)滿意過這四點(diǎn)分別作圓O的切線，這四條切線與圓C也相切，則該段圓弧上的點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為（參考數(shù)據(jù)：cos2π5＝5－1A.（0，5－1] B.（0，5]C.（0，5－1） D.（0，5）解析如圖，設(shè)圓弧的中點(diǎn)為M，該段圓弧所對的圓周角為2π5，則其所對的圓心角為4π5，圓O的半徑為｜OM｜＝1，在圓弧上取兩點(diǎn)A，B，則∠AOB≤4π5.由圖可知，當(dāng)過點(diǎn)A，B的切線剛好是圓O與圓C的外公切線時(shí)，劣弧AB上確定還存在點(diǎn)S，T，使過點(diǎn)S，T的切線為兩圓的內(nèi)公切線，