重慶綦江區(qū)2025屆九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

重慶綦江區(qū)2025屆九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，已知的內(nèi)接正方形邊長為2，則的半徑是（）A．1 B．2 C． D．2．如圖，在⊙O中，AE是直徑，半徑OC垂直于弦AB于D，連接BE，若AB=2，CD=1，則BE的長是A．5 B．6 C．7 D．83．某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（kPa）是氣體體積V（）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于120kPa時(shí)，氣球?qū)?，為了安全起見，氣球的體積應(yīng)（）A．不小于 B．大于 C．不小于 D．小于4．將n個(gè)邊長都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)A1，A2，…，An分別是正方形對角線的交點(diǎn)，則n個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．（）ncm25．三角形的內(nèi)心是（）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn)C．三邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三條角平分線的交點(diǎn)6．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交BC于D，AC的中垂線交BC于E，∠DAE＝20°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．70° B．80° C．90° D．100°7．下列詩句所描述的事件中，是不可能事件的是（）A．黃河入海流B．鋤禾日當(dāng)午C．大漠孤煙直D．手可摘星辰8．已知點(diǎn)A（﹣1，﹣1），點(diǎn)B（1，1），若拋物線y＝x2﹣ax+a+1與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（包含線段AB端點(diǎn)），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．≤a＜﹣1 B．≤a≤﹣1 C．＜a＜﹣1 D．＜a≤﹣19．將拋物線y＝2x2向左平移3個(gè)單位得到的拋物線的解析式是()A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3C．y＝2(x+3)2 D．y＝2(x﹣3)210．兩個(gè)相似三角形對應(yīng)高之比為，那么它們的對應(yīng)中線之比為（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．計(jì)算：2sin245°﹣tan45°＝______．12．方程的兩根為，，則=．13．已知一元二次方程有一個(gè)根為，則另一根為________．14．若弧長為4π的扇形的圓心角為直角，則該扇形的半徑為．15．二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1，則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的根為_____．16．若，且，則的值是______．17．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)且a≠0）中的x與y的部分對應(yīng)值如下表：x－2－1012345y50－3－4－30512給出了結(jié)論：（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最小值，最小值為－3；（2）當(dāng)－＜x＜2時(shí)，y＜0；（3）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們分別在y軸兩側(cè)．則其中正確結(jié)論是_________（填上正確的序號）18．關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．三、解答題(共66分)19．（10分）先化簡，再求值：(1+)，其中，x＝﹣1．20．（6分）如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、CD上的一點(diǎn)，且DF＝BE.求證：AF=CE.21．（6分）定義：若函數(shù)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，若，中至少存在一個(gè)值，滿足（或），則稱該函數(shù)為友好函數(shù)．如圖，函數(shù)與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3，滿足，稱為友好函數(shù)．（1）判斷是否為友好函數(shù)，并說明理由；（2）請?zhí)骄坑押煤瘮?shù)表達(dá)式中的與之間的關(guān)系；（3）若是友好函數(shù)，且為銳角，求的取值范圍．22．（8分）等腰中，，作的外接圓⊙O.（1）如圖1，點(diǎn)為上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接AD、CD、AO，記與的交點(diǎn)為.①設(shè)，若，請用含與的式子表示；②當(dāng)時(shí)，若，求的長；（2）如圖2，點(diǎn)為上一點(diǎn)（不與B、C重合），當(dāng)BC=AB，AP=8時(shí)，設(shè)，求為何值時(shí)，有最大值？并請直接寫出此時(shí)⊙O的半徑．23．（8分）如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向終點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線運(yùn)動，它們的速度均為每秒5個(gè)單位長度，點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，、同時(shí)停止運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，以、為鄰邊作．設(shè)與重疊部分圖形的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為．（1）①的長為______；②的長用含的代數(shù)式表示為______；（2）當(dāng)為矩形時(shí)，求的值；（3）當(dāng)與重疊部分圖形為四邊形時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．24．（8分）如圖，在中，，是上任意一點(diǎn).（1）過三點(diǎn)作⊙，交線段于點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）；（2）若弧DE=弧DB，求證：是⊙的直徑.25．（10分）如圖是某學(xué)校體育看臺側(cè)面的示意圖，看臺的坡比為，看臺高度為米，從頂棚的處看處的仰角，距離為米，處到觀眾區(qū)底端處的水平距離為米．（，，結(jié)果精確到米）（1）求的長；（2）求的長．26．（10分）對于二次函數(shù)y＝x2﹣3x+2和一次函數(shù)y＝﹣2x+4，把y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）稱為這兩個(gè)函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實(shí)數(shù)，其圖象記作拋物線L．現(xiàn)有點(diǎn)A（2，0）和拋物線L上的點(diǎn)B（﹣1，n），請完成下列任務(wù)：（嘗試）（1）當(dāng)t＝2時(shí)，拋物線y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）判斷點(diǎn)A是否在拋物線L上；（3）求n的值；（發(fā)現(xiàn)）通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實(shí)數(shù)，拋物線L總過定點(diǎn)，坐標(biāo)為．（應(yīng)用）二次函數(shù)y＝﹣3x2+5x+2是二次函數(shù)y＝x2﹣3x+2和一次函數(shù)y＝﹣2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】如圖，連接BD，根據(jù)圓周角定理可得BD為⊙O的直徑，利用勾股定理求出BD的長，進(jìn)而可得⊙O的半徑的長.【詳解】如圖，連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，邊長為2，∴BC=CD=2，∠BCD=90°，∴BD==2，∵正方形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴BD是⊙O的直徑，∴⊙O的半徑是=，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、圓周角定理及勾股定理，根據(jù)圓周角定理得出BD是直徑是解題關(guān)鍵.2、B【分析】根據(jù)垂徑定理求出AD,根據(jù)勾股定理列式求出半徑，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵半徑OC垂直于弦AB，∴AD=DB=AB=在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+()2，解得，OA=4∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關(guān)鍵3、C【解析】由題意設(shè)設(shè)，把（1.6，60）代入得到k=96，推出，當(dāng)P=120時(shí)，，由此即可判斷．【詳解】因?yàn)闅馇騼?nèi)氣體的氣壓p（kPa）是氣體體積V（）的反比例函數(shù)，所以可設(shè)，由題圖可知，當(dāng)時(shí)，，所以，所以.為了安全起見，氣球內(nèi)的氣壓應(yīng)不大于120kPa，即，所以.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于把已知點(diǎn)代入解析式.4、B【分析】根據(jù)題意可得，陰影部分的面積是正方形的面積的，已知兩個(gè)正方形可得到一個(gè)陰影部分，則n個(gè)這樣的正方形重疊部分即為n-1陰影部分的和．【詳解】由題意可得陰影部分面積等于正方形面積的，即是，5個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×4，n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×（n-1）=cm1．故選B．【點(diǎn)睛】考查了正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和的計(jì)算方法，難點(diǎn)是求得一個(gè)陰影部分的面積．5、D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心的定義解答即可．【詳解】解：因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心為三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是要熟記內(nèi)心的定義和性質(zhì)．6、D【分析】先根據(jù)垂直平分線的特點(diǎn)得出∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，然后根據(jù)△ABC的內(nèi)角和及∠DAE的大小，可推導(dǎo)出∠DAB+∠EAC的大小，從而得出∠BAC的大小．【詳解】如下圖∵DM是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB，同理∠C＝∠EAC，∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE＝180°，∵∠DAE=20°∴∠DAB+∠EAC＝80°，∴∠BAC＝100°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用整體思想，得出∠DAB+∠EAC＝80°．7、D【解析】不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．【詳解】A、是必然事件，故選項(xiàng)錯誤；B、是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)錯誤；C、是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)錯誤；D、是不可能事件，故選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了必然事件，不可能事件，隨機(jī)事件的概念．理解概念是解決這類基礎(chǔ)題的主要方法．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．8、A【分析】根據(jù)題意，先將一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析式聯(lián)立方程，求出使得這個(gè)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)a的取值范圍，然后再求得拋物y＝x2﹣ax+a+1經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的a的值，即可求得a的取值范圍．【詳解】解：∵點(diǎn)A（﹣1，﹣1），點(diǎn)B（1，1），∴直線AB為y＝x，令x＝x2﹣ax+a+1，則x2﹣（a+1）x+a+1＝0，若直線y＝x與拋物線x2﹣ax+a+1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則△＝（a+1）2﹣4（a+1）＞0，解得，a＞3（舍去）或a＜﹣1，把點(diǎn)A（﹣1，﹣1）代入y＝x2﹣ax+a+1解得a＝﹣，由上可得﹣≤a＜﹣1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．9、C【解析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，從而選出答案.【詳解】y＝2x2向左平移3個(gè)單位得到的拋物線的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變換規(guī)律，解本題的要點(diǎn)在于熟知“左加右減，上加下減”的變化規(guī)律.10、A【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，對應(yīng)中線的比等于相似比解答．【詳解】∵兩個(gè)相似三角形對應(yīng)高之比為1:2，∴它們的相似比是1:2，∴它們對應(yīng)中線之比為1:2.故選A.【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì).二、填空題(每小題3分,共24分)11、0【解析】原式==0，故答案為0.12、．【解析】試題分析：∵方程的兩根為，，∴，，∴===．故答案為．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．13、4【分析】先把x=2代入一元二次方程，即可求出c，然后根據(jù)一元二次方程求解即可.【詳解】解：把x=2代入得4﹣12+c=0c=8,（x-2）（x-4）=0x1=2，x2=4,故答案為4.【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是求出c的值.14、1．【分析】根據(jù)扇形的弧長公式計(jì)算即可，【詳解】∵扇形的圓心角為90°，弧長為4π，∴，即4π=，則扇形的半徑r=1．故答案為1考點(diǎn)：弧長的計(jì)算．15、x1＝1，x2＝﹣1．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的圖象，可以得到該函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，從而可以得到一元二次方程-x2+bx+c=0的解，本題得以解決．【詳解】由圖象可得，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），對稱軸是直線x＝﹣1，則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），即當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣x2+bx+c，此時(shí)方程的解是x1＝1，x2＝﹣1，故答案為：x1＝1，x2＝﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．16、-20；【分析】由比例的性質(zhì)得到，從而求出a和b+c的值，然后代入計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例的性質(zhì)，正確得到，．17、（2）（3）【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝1，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解．【詳解】由表格數(shù)據(jù)可知，二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝1，所以，當(dāng)x＝1時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有最小值，最小值為?4；故（1）小題錯誤；根據(jù)表格數(shù)據(jù)，當(dāng)?1＜x＜3時(shí)，y＜0，所以，?＜x＜2時(shí)，y＜0正確，故（2）小題正確；二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為（?1，0）（3，0），它們分別在y軸兩側(cè)，故（3）小題正確；綜上所述，結(jié)論正確的是（2）（3）共2個(gè)．故答案為：（2）（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，拋物線與x軸的交點(diǎn)，仔細(xì)分析表格數(shù)據(jù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18、且【解析】根據(jù)根的判別式△≥0且二次項(xiàng)系數(shù)求解即可.【詳解】由題意得，16-4≥0，且，解之得且.故答案為：且.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式?=b2﹣4ac與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵.當(dāng)?>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)?=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)?<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.三、解答題(共66分)19、，1﹣【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序及運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再把x的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式化簡求值，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握分式通分和分式加減乘除運(yùn)算法則．20、證明見解析【解析】由SAS證明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．21、（1）是，理由見解析；（2）；（1）或，且【分析】（1）根據(jù)友好函數(shù)的定義，求出函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)以及與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可進(jìn)行判斷；（2）先求出函數(shù)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c，再根據(jù)定義，可得當(dāng)x=c時(shí)，y=0，據(jù)此可得出結(jié)果；（1）分一下三種情況求解：（ⅰ）當(dāng)在軸負(fù)半軸上時(shí)，由（2）可得：，進(jìn)而可得出結(jié)果；（ⅱ）當(dāng)在軸正半軸上時(shí)，且與不重合時(shí)，畫出圖像可得出結(jié)果；（ⅲ）當(dāng)與原點(diǎn)重合時(shí)，不符合題意．【詳解】解：（1）是友好函數(shù)．理由如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或1，∴與軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是1．故是友好函數(shù)．（2）當(dāng)時(shí)，，即與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．∵是友好函數(shù)．∴時(shí)，，即在上．代入得：，而，∴．（1）（?。┊?dāng)在軸負(fù)半軸上時(shí)，由（2）可得：，即，顯然當(dāng)時(shí)，，即與軸的一個(gè)交點(diǎn)為．則，∴只需滿足，即．∴．（ⅱ）當(dāng)在軸正半軸上時(shí)，且與不重合時(shí)，∴顯然都滿足為銳角．∴，且．（ⅲ）當(dāng)與原點(diǎn)重合時(shí)，不符合題意．綜上所述，或，且．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的新定義問題以及二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是理解題意．22、（1）①；②；（2）PB=5時(shí)，S有最大值，此時(shí)⊙O的半徑是.【分析】（1）①連接BO、CO，利用SSS可證明△ABO≌△ACO，可得∠BAO=∠CAO=y，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可用y表示出∠ABC，由圓周角定理可得∠DCB=∠DAB=x，根據(jù)即可得答案；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可得AF的長，利用勾股定理可求出OF的長，由（1）可得，由AB⊥CD可得n=90°，即可證明y=x，根據(jù)AB⊥CD，OF⊥AC可證明△AED∽△AFO，設(shè)DE=a，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可，由∠D=∠B，∠AED=∠CEB=90°可證明△AED∽△CEB，設(shè)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)線段的和差關(guān)系和勾股定理列方程組可求出a、b的值，根據(jù)△AED∽△AFO即可求出AD的值；（2）延長到，使得，過點(diǎn)B作BD⊥AP于D，BE⊥CP，交CP延長線于E，連接OA，作OF⊥AB于F，根據(jù)BC=AB可得三角形ABC是等邊三角形，根據(jù)圓周角定理可得∠APM=60°，即可證明△APM是等邊三角形，利用角的和差關(guān)系可得∠BAP=∠CAM，利用SAS可證明△BAP≌△CPM，可得BP=CM，即可得出PB+PC=AP，設(shè)，則，利用∠APB和∠BPE的正弦可用x表示出BD、BE的長，根據(jù)可得S與x的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S取最大值時(shí)x的值，利用∠BPA的余弦及勾股定理可求出AB的長，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及垂徑定理求出OA的長即可得答案.【詳解】（1）①連接BO，CO，∵，且為公共邊，∴，∴，∴，∴∵，∵，∴∴.②過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴△AED∽△AFO，∴=，即，設(shè)，則∵，∴△AED∽△CEB，∴，即設(shè)，則，∴解得：或，∵a>0，b>0，∴，即DE=，∵△AED∽△AFO，∴，∴AD==3=.（2）延長到，使得，過點(diǎn)B作BD⊥AP于D，BE⊥CP，交CP延長線于E，連接OA，作OF⊥AB于F，∵BC=AB，AB=AC，∴是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵∠BAP+∠PAC=∠CAM+∠PAC=60°，∴在△BAP和△CAM中，，∴，∴，∴設(shè)，則，∵∠APB=∠ACB=60°，∠APM=60°，∴∠BPE=60°，∴BE=PB·sin60°=，PD=PB·sin60°=，∵，∴S=PC·BE+×AP·BD=，∴當(dāng)時(shí)，即PB=5時(shí)，S有最大值，∴BD==，PD=PB·cos60°=，∴AD=AP-PD=，∴AB==7，∵△ABC是等邊三角形，O為△ABC的外接圓圓心，∴∠OAF=30°，AF=AB=，∴OA==.∴此時(shí)的半徑是.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、求二次函數(shù)的最值及解直角三角形，綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵.23、（1）①3；②3t；（2）；（3）當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=-3t2+48t；當(dāng)＜t＜3，S=t2?14t+1．【分析】（1）①根據(jù)勾股定理即可直接計(jì)算AB的長；②根據(jù)三角函數(shù)即可計(jì)算出PN；

（2）當(dāng)?PQMN為矩形時(shí)，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，即可計(jì)算出t的值．

（3）當(dāng)?PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形時(shí)，有兩種情況，Ⅰ．?PQMN在三角形內(nèi)部時(shí)，Ⅱ．?PQMN有部分在外邊時(shí)．由三角函數(shù)可計(jì)算各圖形中的高從而計(jì)算面積．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=2．

∴AB==3．

∴sin∠CAB＝，

由題可知AP=5t，

∴PN=AP?sin∠CAB=5t?=3t．

故答案為：①3；②3t．

（2）當(dāng)?PQMN為矩形時(shí)，∠NPQ=90°，

∵PN⊥AB，

∴PQ∥AB，

∴，

由題意可知AP=CQ=5t，CP=20-5t，

∴，

解得t=，

即當(dāng)?PQMN為矩形時(shí)t=．

（3）當(dāng)?PQMN△ABC重疊部分圖形為四邊形時(shí)，有兩種情況，

Ⅰ．如解圖（3）1所示．?PQMN在三角形內(nèi)部時(shí)．延長QM交AB于G點(diǎn)，

由（1）題可知：cosA=sinB=，cosB=，AP=5t，BQ=2-5t，PN=QM=3t．

∴AN=AP?cosA=4t，BG=BQ?cosB=9-3t，QG=BQ?sinB=12-4t，

∵．?PQMN在三角形內(nèi)部時(shí)．有0＜QM≤QG，

∴0＜3t≤12-4t，

∴0＜t≤．

∴NG=3-4t-（9-3t）=16-t．

∴當(dāng)0＜t≤時(shí)，?PQMN與△ABC重疊部分圖形為?PQMN，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=PN?NG=3t?（16-t）=-3t2+48t．

Ⅱ．如解圖（3）2所示．當(dāng)0＜QG＜QM，?PQMN與△ABC重疊部分圖形為梯形PQGN時(shí)，

即：0＜12-4t＜3t，解得：＜t＜3，

?PQMN與△ABC重疊部分圖形為梯形PQGN的面積S=NG(PN+QG)=(16?t)(3t+12?4t)=t2?14t+1．

綜上所述：當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=-3t2+48t．當(dāng)＜t＜3，S=t2?14t+1．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，分情況進(jìn)行討論，避免出現(xiàn)漏解．24、（1）如圖1所示見解析；（2）見解析.【解析】（1）作AB與BD的垂線，交于點(diǎn)O，點(diǎn)O就是△ABD的外心，⊙O交線段AC于點(diǎn)E；

（2）連結(jié)DE，根據(jù)圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，即可得到AD是等腰三角形ABC底邊上的高線，從而證明AB是⊙O的直徑；【詳解】（1）如圖1所示（2）如圖2連結(jié)，∵∴∵，∴，∴∠ADB=90°，∴是⊙的直徑.【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段垂直