2025屆新高考數(shù)學沖刺突破復習 二項式定理

2025屆新高考數(shù)學沖刺突破復習二項式定理高考

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二項式定理題型1二項展開式中的特定項和特定項的系數(shù)題型2二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和考點二項式定理1.二項式定理:(a+b)n=

an+

an-1b+…+

an-kbk+…+

bn(n∈N*).2.二項式系數(shù):

(k=0,1,2,…,n).3.二項展開式的通項:Tk+1=

an-kbk,它表示展開式的第k+1項.4.二項式系數(shù)的性質(1)對稱性:與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等,即

=

.(2)增減性與最大值①增減性:(i)當k<

(n∈N*)時,

隨k的增加而增大;(ii)當k>

(n∈N*)時,

隨k的增加而減小.②最大值:(i)當n為偶數(shù)時,中間的一項

取得最大值;(ii)當n為奇數(shù)時,中間的兩項

與

相等,且同時取得最大值.(3)各二項式系數(shù)的和①(a+b)n展開式的各二項式系數(shù)的和等于2n,即

+

+

+…+

=2n;②在(a+b)n的展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和,即

+

+

+…=

+

+

+…=2n-1.即練即清判斷正誤(對的打“√”,錯的打“?”)(1)已知

的展開式中各項系數(shù)的和為243,則這個展開式中x3項的系數(shù)是80.(

)(2)若(x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a4-a3+a2-a1+a0=16.

(

)(3)

的展開式中所有二項式系數(shù)和為64,且展開式中的常數(shù)項為-160,則a=2.(

)(4)(1-2x)5(1+3x)4的展開式中含x2項的系數(shù)為-26.

(

)√√√(a=1)×題型1二項展開式中的特定項和特定項的系數(shù)1.求形如(a+b)n(n∈N*)的展開式的特定項(或其系數(shù))的方法求通項Tk+1=

an-kbk→令字母的指數(shù)符合要求→解k的值→代回通項即可得特定項(或其系數(shù)).2.求形如(a+b)n(c+d)m(n,m∈N*)的展開式的特定項(或其系數(shù))的方法求通項Tk+1Tr+1=

an-kbk·

cm-rdr=

an-k·bkcm-rdr→令字母的指數(shù)符合要求→解k和r的值→代回通項即可得特定項(或其系數(shù)).例1

(1)(2023北京,5,4分)在

的展開式中,x的系數(shù)為

(

)A.-40

B.40

C.-80

D.80(2)(2023湖北武漢四調,13)(x-1)(2x+1)6的展開式中含x2項的系數(shù)為

.

解析

(1)

的展開式的通項為Tk+1=

(2x)5-k

=(-1)k25-k

x5-2k,令5-2k=1,得k=2.所以

的展開式中,x的系數(shù)為(-1)2×25-2×

=80.故選D.(2)(2x+1)6的展開式的通項為Tk+1=

×(2x)6-k×1k=26-k×

×x6-k,所以(x-1)(2x+1)6的展開式中含x2項為-

·(2x)2+

(2x)·x=(12-60)x2=-48x2,所以(x-1)(2x+1)6的展開式中含x2項的系數(shù)為-48.

答案

(1)D

(2)-48即練即清1.(2020課標Ⅰ理,8,5分)

(x+y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為

(

)A.5

B.10

C.15

D.20C2.(2023湖北八市聯(lián)考,13)已知二項式(2x-a)n的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大,

且展開式中x3項的系數(shù)為20,則實數(shù)a的值為

.答案-

題型2二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和1.(a+b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n.可由展開式求二項式系數(shù)的和或已知

二項式系數(shù)的值反求n.2.賦值法求各項系數(shù)的和(1)對形如(ax+by)n(a、b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,對于(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,則(a+bx)n的展開式中各項的

系數(shù)的和為g(1),奇數(shù)項的系數(shù)和為

[g(1)+g(-1)],偶數(shù)項的系數(shù)和為

[g(1)-g(-1)].例2

(2022北京,8,4分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a0+a2+a4=

(

)A.40

B.41

C.-40

D.-41

解析

∵(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,∴令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,得a4-a3+a2-a1+a0=34,∴a0+a2+a4=

×(1+34)=41.故選B.

答案

B即練即清3.(多選)(2024屆重慶七校聯(lián)考,11)已知(1-2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2023x2023+a2024x2024,則

(

)A.展開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項B.展開式中所有項的系數(shù)和為1C.

+

+

+…+

+

=-1D.a1+2a2+3a3+…+2023a2023+2024a2024=4048BCD