2021天一大聯(lián)考屆高三數(shù)學(文+理)高考模擬測試卷含答案

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2021天一大聯(lián)考屆高三數(shù)學(文+理)高考模擬測試卷含答案

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天一大聯(lián)考

“頂尖計劃”2021屆高中畢業(yè)班第三次考試

文科數(shù)學

考生注意：

1.冬題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上

的指定位JC

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用招筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將冬案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和參題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.集合4=IzeNl--3xV0|,8=|-1,0,1,21,則4cB=

A.I-1,0,1,21B.|1,2|C.10,1,2)D.1-1,0,

2.(2-3i)(l-2i)=

A.8+iB.-4+iC.8-7iD.-4-7i

3.已知兩條不同的電線/,m和平面a.,mUa,則/〃a是/〃m的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.若拋物線/=2px(p>0)上的點4(3,%)到焦點的距離是點A到y(tǒng)軸距離的3倍，則均等于

A.±6&B.±6C.±12&D.i12

5.函數(shù)/(,)=2X+(:。52*的圖象在點(音7(得))處的切線方程為

A.x-y+普一亨=0B.x-y-碧+亨=0

C.x+y+*-號=0D.x+y+y-=0

6.已知等比數(shù)列1%I中,5=8,a；=2。6,則。7+Q*=

A.384B.768C.788D.1536

7.已知函數(shù)/(%)=2sin(2#+w)-l(0“<”)的圖象關于直線*=得對稱，則下面不是/⑴的零點的為

文科數(shù)學試題第1頁(共4頁)

8.下面是某手機APP的圖標，其設計靈感來源于傳統(tǒng)照相機快門的機械結構.該圖形是一個正六邊形和六

個全等的“曲邊三角形”拼成的一個圓，且48=8C.若在圓內(nèi)隨機取一點，則該點取自正六邊形內(nèi)部的概

率為

9.函數(shù)/(4)=4COS2X-4cos*x+sinxcosx的最小值是

A--B—C—D—

168164

10.過雙曲線cX-^-=l(a>0,t>0)的右焦點F作X軸的垂線，與雙曲線C及其一條漸近線在第一象限

分別交于A,B兩點，且/=204-0B(0為坐標原點)，則該雙曲線的離心率是

A.2B.^3C.挈D.攣

23

11.若圓/+/=6上的兩個動點4,5滿足I罰I=24,點M在圓6+/=]6上運動，則I加+凝I的最小

值是

A.2B.3C.4D.5

12.設/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且當#WO時/⑴=1。&(3-4).若對任意的％w[0,6+1],均有/(#+

b)可⑵)，則實數(shù)b的最大值是

A.-3B.C.OD.1

34

二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若Q1。&3=1?，則3。+9。=.

14.某小學為r解學生的身體素質(zhì)情況，從1500名學生中隨機抽取100名，測試他們一分鐘跳繩的個數(shù)，統(tǒng)

計數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布直方圖如圖.根據(jù)頻率分布直方圖估計,1500名學生中一分鐘跳繩個數(shù)不

少于80的學生數(shù)為.

15.已知平面區(qū)域D是以點4(-1,3),8(2,0),C(-2,-1)為頂點的三角形區(qū)域(含邊界)，若在區(qū)域0內(nèi)

存在無窮多個點(*y)能使目標函數(shù)z”+my取得最小值，則.

16.已知數(shù)列||滿足明.產(chǎn)嚓1，且5=1，設4=寫'則數(shù)列i的前100項和為.

文科數(shù)學試題第2頁(共4頁)

三、解答題：共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都

必須作答.第22,23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

1Z（12分）

△ABC的內(nèi)角A,B.C的對邊分別為已知asinHsinB+ccosA=（acosA-f26）cosB.

（I）求&

（u）若6=2乃,誦?）=6,求△ABC的周長.

18.(12分)

某蛋糕店制作的蛋糕尺寸有6,8,10.12.14.16（單位:英寸）六種，根據(jù)日常銷售統(tǒng)計,將蛋糕尺寸#（英

寸）、平均月銷量）（個）以及成本和單.價的數(shù)據(jù)整理得到如F的表格.

蛋稔尺寸“英寸）68卜'°14)6

平均月銷量，（個）91215138

成本（元）20406080100120

單價（元）5090140180200220

（I）求該蛋糕店銷售蛋糕的平均月利潤（利潤:銷售收入-成本）；

（n）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，從y=。+以與y=c+d（x-ll）2兩個模型中選擇更合適的，建立y關于X的回歸

方程（系數(shù)精確到0.01）.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（U］必），（5,%）,…，（〃“，心）,其回歸直線方程。:加+&的斜率和裁距的最小

￡(U,-U)(vi-V)

二乘法估計分別為B=――；--------------9a=v-B小

￡(%-W

isl

參考數(shù)據(jù)：Z(y,-y)(Xi-x)=-2,￡(陽-幻2=70；

tSII=I

Z(r-r)(*,-0=-i60，i?-，)，~6oo,其中i,=(x;-n)\i=:￡卬

IeIl?I0??I

19.（12分）

如圖，四棱臺ABCD-A?GA的上、下底面均為菱形,CMJ.平面ABCD、乙BAD=60°^A.AD=Z.A.AH=

45。43:249=2.

（I）證明：平面4.A8J.平面4A。；

（0）求四棱臺4BCD-4QCR的體積.

B

文科數(shù)學試題第3頁（共4頁）

20.(12分)

已知橢圓「。『仆必如的右焦點為心⑨門如曲心率為攣經(jīng)過「且垂直于,軸的直

a0/

線交r于第一象限的點M,。為坐標原點，且IOMI;半

(1)求橢圓廠的方程.

(U)設不經(jīng)過原點0且斜率為4的直線交橢圓r于A,8兩點,4,8關于原點0對稱的點分別是C,D,

試判斷四邊形力HCO的面積有沒有最大值.若有，請求出最大值;若沒有，請說明理由.

21.(12分)

已知函數(shù)/(*)=inx+ax((jeR).

(I)討論/(*)的單調(diào)性；

(II)設晨x)=/(為+2,若以%)至少有兩個不同的零點，求。的最大值.

(二)選考題:共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.：選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

在極坐標系中，已知曲線C：0=1^.

1-acos8

(I)若0<?<1,曲線。與極軸所在直線交于/1,8兩點,且1/1m=4&,求。的值；

(n)若a=】，直線44經(jīng)過極點且相互垂直4與c交于尸，。兩點4與。交于M,%兩點，求IPQI+

的最小值.

23」選修4-5：不等式選講］(10分)

已知函數(shù)/(#)=I2X-II+lx+ll.

(I)解關于人的不等式/(4)<8；

(II)若不等式/(口2川*1恒成立，求實數(shù)人的取值范圍.

文科數(shù)學試題第4頁(共4頁)

天一大聯(lián)考2021屆高考"三聯(lián)"數(shù)學試卷與答案(理數(shù))：

第12題，可以用阿氏圓簡潔求解；

第16題，等效替代，頂點定位，對稱化快速求解；

第20題，將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積就可輕松搞定；

第21題，又是多法可解，其中凹凸反轉(zhuǎn)最為簡潔。

天一大聯(lián)考

“頂尖計劃”2021屆高中畢業(yè)班第三次考試

理科數(shù)學

考生注意：

■題苜.才生務必將白己的姓名、考生號康寫在試卷和羋題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上

的指定位JL

2.回答選擇題時.選出每小題餐案后.用裕筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如離改動.用模皮擦

干凈后,再選涂其他餐案標號.回答非選擇題時，將春案用在卷題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后.將本試卷和各題卡一并交sr

一、選擇星:本題共12小題，每小發(fā)5分，共60分在匐小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.2：［的虛部為

A.=BHC-hDB

2.巳知集合4=beNI*??2|=0|，則4U3?

A.|2|B.|-2,0,1,21C.(0.1.21D.I-2,1,2|

3.巳知兩條不同的直線l.m和平面%eUa,則/〃a是l//m的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.若拋物線/=2為8>0)上的點4(3.”)到焦點的距離是點A到y(tǒng)軸距離的3倍，則,。等于

A.±6&B.±6C.±12&D.±12

5.函數(shù)〃*)=2x+CO.2X的圖象在點(音［得))處的切線方程為

。-八雪-亨=0B.—y韋+亨=0

6.已知函數(shù)〃x)-iM2x+。)"(0"<a)衣兩個相鄰的零點為和竽,則6:

A.1B.gC,D."I

22

7.(?+2x-3)，的展開式中x的系數(shù)為

A.8I0B.405C.-190D.-675

理科數(shù)學試題第1頁(共4頁)

8.下面是某手機APP的圖標，其設計靈感來源于傳統(tǒng)照相機快門的機械結構.該圖形是一個正六邊形和六

個全等的“曲邊三角形”拼成的一個圓，且48=BC.若在圓內(nèi)隨機取一點，則該點取自正六邊形內(nèi)部的概

率為

10.若圓/+/=6上的兩個動點48滿足I建I=2々.點M在圈?+/=16上運動，則I就+前I的最小

值是

A.2B.3C.4D.5

II.設〃幻是定義在R上的偶函數(shù)，且當MW0時若對任意的工€[0"+1],均有〃=+

b)K/(2x),則實數(shù)6的最大值是

-fCOD.l

12.在△ABC中,48=3,4C=2BC,則△川8c的面積的取值范圉是

A.(0,2]C.(0,3]D.(0,6]

二、填空題:本18共4小題,每小題5分,共20分.

13.若alog.3=T?.則3*+9*=.

14.已知平面區(qū)域I)是以點4(-l,3),fi(2,0).C(-2,-1)為頂點的三角形區(qū)域(含邊界)，若在區(qū)域0內(nèi)

存在無窮多個點(*.y)能使目標函數(shù)工=工+my取得最小值，則m=.

15.過雙曲線C：。-/=1(a>0,b>0)的右焦點F作x軸的垂線，，雙曲線C及其一條漸近線在第一象限

分別交于兒8兩點,且今=2成-阿(。為坐標原點).則該雙曲線的離心率是：.

16.正方體ABCD-A,B,C,D,的校長為3,46〃平面明8?！ㄆ矫鎍,則正方體在平面a內(nèi)的正投影面積為

三、解答題:共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步?第17-2118為必考題，每個試題考生都

必瘦作答.第22,23題為選考J3,考生根據(jù)要求作答.

(一)必考通：共60分.

17.(12分)

已知數(shù)列l(wèi)a」的前n項和為S.=-：/+

(I)求Ia.I的通項公式；

(n)求數(shù)列上而任明的前2021項之和.

[8.(12分)

如圖，四梭臺ABCD-A,BtC,D,的上、下底面均為夔形，CG!?平面ABCD,4&40=60°,Z4,4D=

Z.4,4B=45°,4B=241fi,=2.

(I)證明:平面4,481.平面冊4D;

(口)求直線C4,與平面4Afi所成角的正弦值.

19.(12分)

某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝.每箱100件,每箱產(chǎn)品在交付用戶之前至多要作兩輪檢驗,先從這箱產(chǎn)品

中隨機抽取10件作初檢.根據(jù)初檢結果決定是否再抽取10件進行復檢.如檢驗出不合格品，則更換為

合格晶，每件產(chǎn)品的檢驗跣用為50元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對銀件不合格品支付200

元賠償費用.

(I)假設某箱產(chǎn)品中僅有2件不合格品.求這2件不合格品在初檢時都被抽到的概率.

(H)若初檢時檢驗出x(xeN且0WXW10)件不合格品，則認為該箱剩余的每件產(chǎn)品為不合格品的微

率均為言，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.以一箱產(chǎn)品的檢臉費用和賠償費用之和的期望

值為抉策依據(jù)，分析x為何值時，不需要進行復檢.

20.(12分)

巳知橢圓/'，+疥1(。>6>0)的右焦點為".0)(0>0),離心率為季.級過5且垂直于，軸的直

線交「于第一象限的點”,。為坐標原點，且IQMI=李.

(1)求精air的方程.

(n)設不經(jīng)過原點。且斜率為十的I!［線交桶08r于4.8兩點,4,8關于原點O對稱的點分別明C.D.

試判斷四邊形48CD的面積有沒有最大值.若有.請求出最大值;若沒有.請說明理由.

21.(12分)

巳知函數(shù)/(*)=2e'"+u

(I)討論函數(shù)/(*)的單調(diào)性；

(n)時任熊”0,求證w求>”ln…).

(二)選號JB:共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程J(10分)

在極坐標系中.已知曲線C：p=j_

(I)若0<a<l,曲線C與極軸所在直線交于A,8兩點,且l4川=4應■，求a的值：

(H)若a=l,直線經(jīng)過極點且相互垂直4與C交于P,Q兩點4與C交于的點.求IPQI+

IMNI的最小值.

23.［選修4-5：不等式選講)(10分)

巳知函數(shù)，X)=3-H+IH+II.

(I)解關于工的不等式/(*)<8；

(a)若不等式/(x)N&IXI恒成立,求實數(shù)k的取值范困.

天一大聯(lián)考

“頂尖計劃”2021屆高中畢業(yè)班第三次考試

理科數(shù)學?答案

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分.

1.答案D

命題意圖本題考布復數(shù)的概念和堪本運算.

解析由題意得f=,="浮':V9,故其虛部為生

2+31（2+31）（2-31）13131313

2.答案B

命題意圖本題考杳集合的表示與運算.

解析因為A=10.1,2|.6二以|1-4=0}={-2,2],所以AU6=|-2,0,1,2|.

3.答案D

命題意圖本題考查空間位置關系的推理,以及充分條件和必要條件的判斷.

解析若/〃也不能說明直線/平行于平面?內(nèi)的任意?條直線,所以不一定有/〃，〃，故充分性不成立;若/〃

m且mUa,也不能說明/〃*因為還彳f可能/Ua.故必要性不成工

4.答案A

命題意圖本題考杳拋物線的性質(zhì).

解析因為3+或■=9,所以〃=12=24*,又點.4（3,%）在拋物線/=24x匕所以代入得犬=24x3,解得打=

±6y/2.

5.答案A

命題意圖本題考杳導數(shù)的兒何意義.

解析由題意得/'（#）=2-2sin2x，所以/（i）在點（音得））處的切線斜率為k=/[jyj=2-2sin=1,

乂./（普卜祥條所以函數(shù)/（r）的圖象在點（凈（部處的切線方程為>-（浮與）=.浮即*-y+

梁年。?

122

6.答案C

命題意圖本題考杳一:角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

解析由題意得*=+”（"+苧j=得是/（*：）圖象的,條對稱軸.所以2xjy+^>=-j-+Air（A-GZ）,f'J<^=

卜宣--j-（A:eZ），又0<⑦<f，所以w=半，由/（言）=sin（2x吉+苧）+〃=0,得/）二一/

7.答案A

命題意圖本題考查二項式定理的應用.

解析（./+2—3）'=（工+3）“無一1）5,所以工的系數(shù)為《、3‘xC；（-I）5+C；x35xC^x（-I）4=810.

8.答案B

命題意圖本題學杳幾何概型的概率計算.

解析如圖所示,設0是圓心，則0也是正六邊形的中心.設正六邊形的邊長為1,則OA=1,AC=2,OC=4,

即圓的+徑為有，所以圓的面積為3”,正六邊形的面積為6xgx『=坐，所以所求的概率為g.

422ir

B

9.答案B

命題意圖本題芍杳三角恒等變換的應用.

Ian2a+tan-y-1ctiAo

解析rfltanf2a+手)=一片,得-------------=-亍,得；"；a；=-〒，解得tan2a=-彳,則"叫牛=

14,7132麗97「由2a731Tan2a

4

22

4,1.CAL、sin2a-cosa2sinacosa-eosaI,

--T，解傳tana=--(ztana=2舍去).一:----------=------;；-------=tana--=-I.

321+cos2a2cosF2

10.答案C

命題意圖本題考查圓的方程以及平面向量:的線性運算.

解析由『+『=6可知圓心為坐標原點0(0.0).半徑為,=用，因為I同I=2衣,所以網(wǎng)心到直線AB的距

離“=、/『-(挈，=2,設/IE的中點為M則=d=2,所以N點在以原點為圓心.以。=2為半徑的圓

I：,所以N點的軌跡方程為『+y2=4.因為N為AR的中點，所以而+而=2不鬲,因為點W在圓/+『=|6

上運動.圓/+?=16的半徑Q=4,所以Im=q-r,=2,所以I獻+詞111M=2IWVI?,?=4.

1L答案B

命題意圖本翹號查函數(shù)的奇偶性和單詞性.

解析由于當*近0時J(x)=1"&(3-*)為單詞遞減函數(shù),乂因為函數(shù)/(*)為偶函數(shù),所以'”>0時/(*)為

單調(diào)遞增函數(shù).所以/(*+〃)>/(2r)等價于I#+所M12x1,BPI..+61注23由區(qū)間的定義可知6>-1,若x+

20,于是*+b^2x，即說,由于x的最大值為6+1，故〃N*顯然不恒成立;若/>+x<0,所以工+"W-2凡即

“W-/%,所以A+IW---6,即6近-亍,故1)的最大值為-f-.

12.答案C

命題意圖本考查二:角形的有關it算.

解析設/；=.3則4c=2x,由余弦定理可知eosH=9+14.「=與￡，△/t8C的面積為；x,1/ixBCx

ox2x2

sinH=-^-xJl-(32；)=-^-^16—(x2-5)2,由2工-*<3<2x+*得I<x<3,所以1<./<9,0<16-

(./_5)zw16,所以△ABC的面積的取值范圍是(0.3].

二、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.答案6

命題意圖本題考查對數(shù)和指數(shù)的運算性質(zhì).

解析由條件得"=ylogl4=log,2，所以3"+9"=2+4=6.

14.答案

4

命題意圖本題考?杳簡單的線性規(guī)劃問題.

—2—

解析由題可知m=0不滿足題意，所以?#0.（11…+啊得>=七"停若-5=**-1,則m=1.

僅當直線y=-X+二經(jīng)過點。時N取得最小值，不符合條件；若-L=A-w=;，則"I=-4,僅當直線y=

ni4

-經(jīng)過點4時z取得最小值.不符合條件港-工="=4,則m=-當直線y=4%-4z與4C重合

44m4

時2取得最小值，符合條件.

15.答案罕

命題意圖本題考杳雙曲線的性質(zhì).

2C__X1?，rJL

{當卞='得點A聯(lián)立/了X''得點8（寸）由條

件可得18FI=2M尸1,所以上=空，則（■=2/，,所以e=工=，:.=,,26.=平.

°aa/46!-hl3

16.答案6笈

命題意圖本題考杳空間幾何體的結構特征.

解析正方體在平面a內(nèi)的正投影如圖所示（各頂點的投影用對應點的字母表示），在正方體中可得.4儲=

3萬,8。=3立,因為〃平面*8"〃平面a.所以在正投影中它們的K度不變.在平面內(nèi)分析可知在

正投影中4和C是/1G的兩個三等分點，所以儆="，=4,C=4.所以正投影的面積為2x3-（在+33）x

挈=6而.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.命題意圖本題考查數(shù)列的通項與求和公式.

解析（I）因為S,,=-[-/+1_n，所以6=s,=；,.......................................（1分）

ooq

當心2時,冊=S1t—S吁]=（+卷〃）+/（"]/-1）=1..................（3分）

〃=1時,%=-1"也符合上式，所以%=1一辛.................................................（5分）

（n）rti（I）知數(shù)列I冊：是公差d=-：的等差數(shù)列，則

<z)sin-y-+a2sinTT+a^sin竽+a4sin2宣=-a3=-2d=

5*1T.r.7ITs,nJC/

a5sin-+?6sinJTT+a7sin-+a84TT=a5—<z7=-2a=—;

根據(jù)正:弦函數(shù)的周期性可知:

.IT.2O21TT1505,20211()07

>in—+a,sinTT++"、sin-----=—x3cUn3c+a,=-r—+I----=---~.（12分）

2-皿22z0u2z1i244

—3—

18.命題意圖本gg考杳空間幾何體的結構特征，空間位置關系的推理與證明，以及利用空間向量計算空間角.

解析(I)作/抗J./1%,垂足為此連接。如圖.

因為四邊形ABCD是菱形，且乙84〃=60148=2,所以:2.......................................................................(1分)

因為/18=力0,.4￡二,4￡,44.”，=44m〃=45。，所以△/48￡會2\/1〃機.............................(2分)

所以BE=DE=?B=&，所以HF：2+DE2=HD2,BPBELDE.......................................................................

(3分)

又因為44fWE=E,/U?,0EU平面44。,所以BE_L平面/MD..................................................................(4分)

因為8EU平面448,所以平面AJBU平面4AD.............................................................................................(5分)

(n)連接"：,以c為坐標原點,分別以CA和CC,所在宜線為*，二軸建立空間立角坐標系.如圖所示.

設C'G=鼠則C(0,0,0)M(2百,0.0),8(6,1,0),兒(后,04)..................................................................(6分)

所以同=(-A,l,0),4A=(-^,0,/!),G4,=(7T,O./1).

春?44?

依題意知cosz..4=T二(8分)

\AB\IA4,

設平面的法向僦為n=(%,3),

n?4B=->/3x+y=0,

則一「樂取#=l.得”=(1.ak).(10分)

//,.4/l1=-Gx+2=0，

因為COS〈〃,可〉=――幺-=---2

HQ/甚x3，

所以直線C4與平面4A8所成角的正弦值為年....................

(12分)

19.命題意圖本題考查概率的計算，隨機變質(zhì)的數(shù)學期望.

解析(I)從100件產(chǎn)品中抽取10件.2件不合格品都被抽到的概率為

98!

_90!8!_90_1

分)

c!Sn=ioon=99oo=n()'.............................................................................(4

90!10!

(11)①若不進行復檢，令丫表示剩余的倒)件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，則y~E(90%),

則一箱產(chǎn)品的檢驗費用和賠償費用之和1=50x10+2001=5(X)+2(X)Y,

E(X,)=￡(500+200Y)=500+200E(K)=500+1800x；......................................................(7分)

②若進行復檢，令Z表示剩余80件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，則Z~8(80,市卜

則一箱產(chǎn)品的檢驗費川和賠償費用之和％=50x20+200Z=l000+200Z,

E(X2)=E(1(XX)+200Z)=1000+200^(Z)=1000+I600X.........................(10分)

當E(X,)<E[X2)時，不需要進行復檢,

—4—

由5（M）+1800V<I（XX）+I600.v得％<2.5.

即當x=0.1,2時，不需要進行復檢.........................................................（12分）

20.命題意圖本題考查橢圓的方程與橢圓的性質(zhì)，橢圓與自線的位置關系.

解析（I）由題意知上=§.即J=$C2,①..............................................................................................（1分）

a23

乂由a2=b2+J.可得/=全.②.....................................................（2分）

尸土」，則點”（黨）

聯(lián)立工￡解得

17+zT=b

則小〃WW.③...................................................................................................................（3分）

聯(lián)立①?③，解得。=反"=2.4=1.

故橢圓/?的方程為g+/=l.......................................................................................................................（4分）

4

（n）設直線AB的方程為）=y.t+m,

I

y=+m,

聯(lián)立消去？得2A2+4/n.v+4(m2-I)=0,（5分）

t+yF,

所以△=(4m)2_4x2x4(/n2_i)=]6(2—m?)＞0.解得_々＜所＜"...........................(6分)

2

則.tj+x2=-2m,X|X2=2(m-I)....................................................................................................................(7分)

則I.BI=Ji+(lx,—x21

2

=y--/(^i+^2)-4XJX2

=-y\/(-2m)2-4x2(m2-1)

二手/8_4mt.......................................................................................................................................(8分)

原點0到直線AB的距離為d=/皿==建」ml,

則直線CQ到直線48的距離為/=M=竽Iml,......................................................................................（9分）

顯然四邊形ABCD是平行四邊形，

所以S網(wǎng)邊影AUC。=IA81/=與\/8-4〃/?\mI=2/〃/（8-4〃/）=2?4〃J（8-4〃/）...（11分）

這2（十■廣"十號［4/〃）「=4，當且僅當4m2=8-4m*，即/〃;±1時,等號成立，

故四邊形48C。的面積存在最大值，且最大值為4.......................................................................................（12分）

21.命題意圖本題考行利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).

解析（I）/（動的定義域為R.

—5—

f'(x)=2e*2+fl,......................................................................................................................................(1分)

當“NO時/(%)>0恒成立，所以/(%)在RI二單調(diào)遞增；.....................................(2分)

當"<0時，令/(*)>0,解得工>2+ln()；令r(*)<0.解得x<2+Iu(-y),

所以/(x)在(-8.2+ln(-年))上單調(diào)遞減,在(2+ln(-f).+oc)上單調(diào)遞增...............(4分)

(D)要證/(.*)>x(ln.V+〃)，即證2/2+M.r>x(lnx+a).

即證2/-2>Hn*又%>0,所以竺—>一%即證彳-￡--/%>()..............................(5分)

xex

令g(%)=馬?J-hi%，則g'(x)=2(?-一、”?

cxex

令r(x)=2(4-1)e4-e%,貝ljrf[x)=2xev-e2,.......................................................................................(6分)

22

易得「'(*)在(0.+8)上單謝遞增，且「'(1)=2e-e<0./(2)=3?>0t

所以存在唯一的實數(shù)xoe(l,2),使得「'(%)=0,....................................................................................(7分)

所以"％)在(0,3)上單調(diào)遞減，在(領，+8)上單詢遞增......................................(8分)

因為r(0)=-2<0,r(2)=0,

所以當，(.E)>0時,x>