河南省百師聯(lián)盟聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023—2024學(xué)年度高二6月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考場號?座位號?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時間為120分鐘，滿分150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，若，則實數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．52．某學(xué)校4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只能去1個小區(qū)，且每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．3．已知為等比數(shù)列，公比，則（

）A．81 B．27 C．32 D．164．甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，破譯的概率分別為，則密碼被破譯的概率為（

）A． B． C． D．5．如圖，是雙曲線與橢圓的公共焦點，點是在第一象限的公共點，若，則的離心率是

A． B．C． D．6．哈雷彗星大約每76年環(huán)繞太陽一周，因英國天文學(xué)家哈雷首先測定其軌道數(shù)據(jù)并成功預(yù)言回歸時間而得名.已知哈雷是1682年觀測到這顆彗星，則人們最有可能觀測到這顆彗星的時間為（

）A．2041年～2042年 B．2061年～2062年C．2081年～2082年 D．2101年～2102年7．已知正方體的棱長為3，分別在上，且，則（

）A．3 B． C． D．48．若則（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列結(jié)論正確的是（

）A．若隨機(jī)變量服從二項分布，則B．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則C．若隨機(jī)變量服從兩點分布，，則D．若隨機(jī)變量的方差，則10．已知點在圓上，點，，則（

）A．存在點，使得 B．C．存在點，使得 D．11．已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，以下說法正確的是（

）A．B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，不是數(shù)列中的項D．若是數(shù)列中的項，則的值可能為712．設(shè)是三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為三次函數(shù)的“拐點”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心．設(shè)函數(shù)，則以下說法正確的是（

）A．的拐點為 B．有極值點，則C．過的拐點有三條切線 D．若，，則三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在的展開式中，的系數(shù)為.14．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是．15．已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，則的最小值為.16．已知點在拋物線上，過作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，點為的焦點．若，點的橫坐標(biāo)為1，則．四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17．已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的零點個數(shù)．18．2024年1月4日，教育部在京召開全國“雙減”工作視頻調(diào)度會，會議要求進(jìn)一步提高雙減政治站位，將“雙減”工作作為重中之重，堅定不移推進(jìn)，成為受老師和家長關(guān)注的重要話題．某學(xué)校為了解家長對雙減工作的滿意程度進(jìn)行問卷調(diào)查（評價結(jié)果僅有“滿意”、“不滿意”），從所有參與評價的對象中隨機(jī)抽取120人進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示（單位：人）：滿意不滿意合計男性1050女性60合計120(1)請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為“對雙減工作滿意程度的評價與性別有關(guān)”？(2)若將頻率視為概率，從所有給出“滿意”的家長中隨機(jī)抽取3人，用隨機(jī)變量表示被抽到的男性家長的人數(shù)，求的分布列；(3)在抽出的120人中，從給出“滿意”的家長中利用分層抽樣的方法抽取10人，從給出“不滿意”的對象中抽取人．現(xiàn)從這人中，隨機(jī)抽出2人，用隨機(jī)變量表示被抽到的給出“滿意”的女性家長的人數(shù)．若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不小于1，求的最大值．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．已知等差數(shù)列的前項和為，且，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.20．如圖，在四面體中，平面，點為棱的中點，，．(1)證明：；(2)求平面和平面夾角的余弦值．21．已知橢圓方程為，離心率為且過點．(1)求橢圓方程；(2)過左焦點的直線交橢圓于兩點，是否存在實數(shù)，使恒成立？若存在，求此時的最小值；若不存在，請說明理由．22．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)，若恒成立，求的取值范圍.1．C【解析】根據(jù)可得直線l的方向向量與平面的法向量平行，然后根據(jù)空間向量的平行關(guān)系可求的值.【詳解】因為，所以直線l的方向向量與平面的法向量平行，所以，解得；故選：C.2．D【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，先從4人中選出2人作為一組，有種方法，再與另外2人一起進(jìn)行排列，有種方法，相乘即可得到答案.【詳解】4名學(xué)生分到3個小區(qū)，每名同學(xué)只能去1個小區(qū)，且每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，∴4名同學(xué)不同的分組方法只能為2，1，1，∴不同的安排方法有(種).故選：D.3．A【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算即可求解.【詳解】根據(jù)可得，所以或，若，則不符合要求，若，則符合要求，故，故選：A4．B【分析】密碼被破譯分三種情況：甲破譯出密碼乙未破譯，乙破譯出密碼甲未破譯，甲乙都破譯出密碼，根據(jù)相互獨立事件的概率和公式可求解出答案.【詳解】設(shè)“甲獨立地破譯一份密碼”為事件A，“乙獨立地破譯一份密碼”為事件B，則，，，，設(shè)“密碼被破譯”為事件C，則，故選：B.【點睛】本題以實際問題為背景考查相互獨立事件的概念及其發(fā)生的概率的計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.5．C【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義和離心率公式即可得到答案.【詳解】由題意知，，∵，∴，∴，∵，∴的離心率是，故選：C.6．B【分析】構(gòu)造等差數(shù)列求出其通項公式，給賦值即可．【詳解】由題意，可將哈雷彗星的回歸時間構(gòu)造成一個首項是1682，公差為76的等差數(shù)列，則等差數(shù)列的通項公式為，，，可預(yù)測哈雷彗星在本世紀(jì)回歸的年份為2062年．故選：B．7．A【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合條件求得的坐標(biāo)，再利用空間向量的模的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】依題意，以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，因為，所以，所以，故.故選：A..8．A【分析】先化簡，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)、研究單調(diào)性、極值、最值比較大小即可.【詳解】由題意知：，令，，由，解得，在，在，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.因為，所以，即，也就是，又，因為在上僅有一個極大值，所以，即最大，所以.故選：A.9．AB【分析】根據(jù)二項分布的概率，正態(tài)曲線的對稱性，兩點分布的期望，方差的性質(zhì)，即可分別求解.【詳解】對于A，若隨機(jī)變量服從二項分布，則，故選項A正確.對于B，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，故，故選項B正確.對于C，若，，，故選項C錯誤.對于D，根據(jù)方差的計算公式，，則，故選項D錯誤.故選：AB.10．ABD【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而判斷A、B，設(shè)，若，推出恒成立，即可判斷C、D.【詳解】圓即，圓心，半徑，又，所以，因為點在圓上，所以，所以存在點，使得，故A對．因為，所以點在圓外，又，點在圓內(nèi)，所以當(dāng)與圓相切時，取最大值，此時，所以，故B對．對于D，設(shè)，若，又點在圓上，一定成立，故D對，C錯.故選：ABD．11．ABD【分析】求出通項判斷A；求出公差、通項判斷BC；探討數(shù)列與的下標(biāo)關(guān)系判斷D.【詳解】對于A，由題意得，A正確；對于B，新數(shù)列的首項為2，公差為2，故，B正確；對于C，由B選項知，令，則，即是數(shù)列的第8項，C錯誤；對于D，插入個數(shù)，則，則等差數(shù)列中的項在新的等差數(shù)列中對應(yīng)的下標(biāo)是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，于是，而是數(shù)列的項，令，當(dāng)時，，D正確.故選：ABD12．ABD【分析】A選項，二次求導(dǎo)，解方程，求出拐點為；B選項，有變號零點，由根的判別式得到不等式，得到B正確；C選項，舉出反例，求出過的拐點只有1條切線；D選項，二次求導(dǎo)得到函數(shù)的拐點，從而得到對稱中心，，得到D正確.【詳解】A選項，，，令，解得，故的拐點為，A正確；B選項，有極值點，則有變號零點，故，故，B正確；C選項，不妨設(shè)，此時，拐點為，，切點為，，故切線方程為，將代入得，，故過的拐點有1條切線，C錯誤；D選項，，時，，，，令得，，則，故拐點為，則關(guān)于點對稱，所以，D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：三次函數(shù)是近兩年高考?？伎键c，需要對三次函數(shù)圖象理解到位，由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，故常常利用二次函數(shù)的性質(zhì)來研究三次函數(shù)的性質(zhì)比如三次函數(shù)零點問題，極值點情況等.13．【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項式定理分析可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因為的展開式的通項為，令，解得，所以的系數(shù)為.故答案為：.14．【分析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，然后利用分離參數(shù)法即可得出答案.【詳解】解：，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，又在上遞減，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.15．12【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)得，結(jié)合已知得，利用基本不等式求解即可.【詳解】由于數(shù)列為正項等比數(shù)列，所以，因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，故的最小值為12.故答案為：1216．【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求得，得到直線的傾斜角為，結(jié)合斜率公式，列出方程，即可求解.【詳解】如圖所示，不妨設(shè)點在第一象限，因為點的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立方程組，解得，即，又由，可得軸，因為，可得，所以直線的傾斜角為，因為拋物線的焦點為，則，整理得且，解得，即，解得或（舍去）.故答案為：.

17．(1)(2)0【分析】（1）先求切點，再利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，利用點斜式寫出切線方程.（2）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的極值判斷函數(shù)零點的個數(shù).【詳解】（1）函數(shù)，可得，所以且，即切線的斜率為且切點坐標(biāo)為，所以切線方程為，即．（2）由（1）知，，當(dāng)時，單調(diào)遞減當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，也為最小值，，所以，所以函數(shù)沒有零點，即函數(shù)的零點個數(shù)為0．18．(1)列聯(lián)表見解析，無關(guān)(2)分布列見解析；(3)2【分析】（1）先完善列聯(lián)表，計算出，結(jié)合臨界值表即可求解；（2）先求出抽到男性家長的概率，判斷出隨機(jī)變量服從二項分布，再由二項分布的概率公式列出分布列即可；（3）先由分層抽樣求出滿意的家長中男性家長和女性家長的人數(shù)，得出的取值為0，1，2，分別求出對應(yīng)概率，求出期望，解不等式即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得到列聯(lián)表如下：滿意不滿意合計男性401050女性601070合計10020120零假設(shè)：“對雙減工作滿意程度的評價與性別無關(guān)”，所以沒有充分證據(jù)證明零假設(shè)不成立，所以沒有90%的把握認(rèn)為“對雙減工作滿意程度的評價與性別有關(guān)”.（2）解：從所有給出“滿意”的家長中隨機(jī)抽取1人為男性的概率為，且各次抽取之間相互獨立，所以隨機(jī)變量，所以，，故隨機(jī)變量的分布列為：0123（3）解：從給出“滿意”的觀眾中利用分層抽樣的方法抽取10人，其中男性有人，女性有人，所以隨機(jī)變量的取值為，可得，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，則，解得，又因為，故的最大值為2.19．(1).(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式及求和公式列式計算可得結(jié)果；（2）根據(jù)分組求和法、等差數(shù)列求和公式及等比數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，，解得，所以，故數(shù)列的通項公式（2）由（1）知，，所以.故數(shù)列的前項和.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證平面，再根據(jù)線面垂直證明線線垂直.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦.【詳解】（1）平面，又平面，．，．又平面，平面．又平面，．（2）由題及（1）可知兩兩相互垂直，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則根據(jù)題意可得：，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，則，.取，平面和平面夾角的余弦值為：．21．(1)(2)存在，3【分析】（1）根據(jù)離心率和頂點坐標(biāo)直接求的值，得橢圓方程；（2）分直線斜率為零和不是零討論，當(dāng)直線斜率不為零時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理，進(jìn)行向量運算求解.【詳解】（1）由題，，，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，．當(dāng)直線斜率為零時，不妨設(shè)，則，此時存在，使成立，當(dāng)直線斜率不為零時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組消去得，易知，所以，，，又因為，所以，又因為，當(dāng)時，最小為3．綜上，存在，使成立，最小為3．【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為，；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)得，分類討論、兩種情況下的單調(diào)性即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性可得，即可求解.【詳解】（