上海市曹楊第二中學2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試卷【含答案】

曹楊二中2023學年第二學期高二年級數(shù)學期末一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，，，則．2．曲線在點處的切線斜率為.3．在二項式的展開式中，的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）4．若隨機變量X服從標準正態(tài)分布，則．5．一批種子，如果每1粒種子發(fā)芽的概率均為，那么播下5粒種子，發(fā)芽種子數(shù)量的方差是．6．將序號分別為的4張參觀券全部分給3人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是．7．某新能源汽車銷售公司統(tǒng)計了某款汽車行駛里程x（單位：萬千米）對應(yīng)維修保養(yǎng)費用y（單位：萬元）的四組數(shù)據(jù)，這四組數(shù)據(jù)如下表：行駛里程萬千米/萬千米1245維修保養(yǎng)費用萬元/萬元0.500.902.302.70若用最小二乘法求得回歸直線方程為，則估計該款汽車行駛里程為10萬千米時的維修保養(yǎng)費是．8．已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），則．9．已知袋中有（為正整數(shù)）個大小相同的編號球，其中黃球8個，紅球個，從中任取兩個球，取出的兩球是一黃一紅的概率為，則的最大值為.10．采礦、采石或取土時，常用炸藥包進行爆破，部分爆破呈圓錐漏斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑R，若要使爆破體積最大，則炸藥包埋的深度為11．已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球.若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個球，則第二次抽到3號球的概率為.12．在n維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標可表示為n維坐標，其中．定義：在n維空間中兩點與的曼哈頓距離為在5維“立方體”的頂點中任取兩個不同的頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離，則．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4小題，13，14每題4分，15，16每題5分13．調(diào)查某校高三學生的身高和體重得到如圖所示散點圖，其中身高和體重相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．學生身高和體重沒有相關(guān)性B．學生身高和體重呈正相關(guān)C．學生身高和體重呈負相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是14．已知函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，則“在上嚴格增”是“在上嚴格增”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件15．設(shè)，，隨機變量X的分布列是（

）a則方差（

）A．既與有關(guān)，也與有關(guān) B．與有關(guān)，但與無關(guān)C．與有關(guān)，但與無關(guān) D．既與無關(guān)，也與無關(guān)16．數(shù)列的前n項和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的定義域為；②數(shù)列與函數(shù)均單調(diào)增；③存在正整數(shù)，使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”.給出下列兩個命題：（

）①與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有有限個；②與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個.A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題三、解答題（本大題滿分78分）17．袋中裝有大小和質(zhì)地相同的5個球，其中2個黑球，3個白球．從中隨機地摸出3個球，用X表示摸出的黑球個數(shù)．(1)采用不放回摸球，求X的分布；(2)采用有放回摸球，求X的分布、期望．18．設(shè)，已知函數(shù)．(1)若函數(shù)曲線在點處的切線斜率為－1，求實數(shù)a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，求實數(shù)a的取值范圍．19．某校準備在體育鍛煉時間提供三項體育活動供學生選擇．為了解該校學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），隨機調(diào)查了200名學生，得到的反饋數(shù)據(jù)如下：（單位：人）男生女生合計同意7050120不同意305080合計100100200(1)能否有的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態(tài)度與性別有關(guān)?(2)假設(shè)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩這三項體育活動供學生選擇．①若甲、乙兩名學生從這三項運動中隨機選一種假設(shè)他們選擇各項運動的概率相同并且相互獨立互不影響．記事件為“學生甲選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學生都沒有選擇籃球”，求，并判斷事件，是否獨立，請說明理由．②若該校所有學生每分鐘跳繩個數(shù)．根據(jù)往年經(jīng)驗，該校學生經(jīng)過訓(xùn)練后，跳繩個數(shù)都有明顯進步．假設(shè)經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個數(shù)比開始時個數(shù)均增加10個，若該校有1000名學生，請預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘跳169個以上的學生人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．參考公式和數(shù)據(jù)：，其中，．若，，，．20．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，且．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，是否存在正整數(shù)m；使得成立，并說明理由．(3)設(shè)，數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)將數(shù)列中剔除的項后、不改變其原來順序所組成的數(shù)列記為，求的值．21．已知，設(shè)函數(shù)的表達式為（其中）(1)設(shè)，，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，，集合，記，若在D上有兩個不同的極值點，求b的取值范圍；(3)當，，時，記，其中n為正整數(shù)．求證：．

1．3【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得答案.【詳解】等比數(shù)列中，因為，所以，又為正項的等比數(shù)列，所以.故答案為：3.2．【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義運算求解.【詳解】因為，則，可知曲線在點處的切線斜率.故答案為：.3．10【分析】利用二項展開式的通項公式求解.【詳解】設(shè)展開式的第項為含的項，則，由,所以的系數(shù)為.故答案為：104．##【詳解】因為隨機變量X服從標準正態(tài)分布，即，所以.故答案為：.5．【分析】根據(jù)給定條件，利用二項分布的方差公式計算即得.【詳解】每1粒種子發(fā)芽的概率為，發(fā)芽種子數(shù)量，所以發(fā)芽種子數(shù)量的方差是.故答案為：6．【分析】根據(jù)條件，將序號分別為的4張參觀券分成三組，，，每組分給人，有種分法，再利用分步計數(shù)原理，即可求出結(jié)果.【詳解】將序號分別為的4張參觀券分成三組，且2張參觀券連號在一組，有，，三種情況，每組分給人，有種，所以不同的分法種數(shù)為，故答案為：.7．5.66【分析】先利用線性回歸方程必過樣本中心點，求出，再用回歸方程進行估計.【詳解】因為，，由利用線性回歸方程必過樣本中心點，得：，所以當時，.故答案為：5.668．【分析】已知式減去的遞推式可得解.【詳解】當時，，當時，，，兩式相減得，可得，綜上，.故答案為：.9．【分析】根據(jù)題意分別計算出任取兩個球和取出的兩球是一黃一紅的種類數(shù)，利用概率計算公式可得出的表達式，再利用基本不等式和為正整數(shù)即可求得的最大值.【詳解】根據(jù)題意可得，黃球8個，紅球個，從中任取兩個球總共有種，取出的兩球是一黃一紅總共有種；所以從袋中任取兩個球，取出的兩球是一黃一紅的概率；令，利用基本不等式可得，當且僅當時等號成立，但為正整數(shù)，所以當時，；當時，；即當或時，的最小值為，所以，即的最大值為故答案為：10．【分析】根據(jù)題意，得到，求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值點，即可求解.【詳解】由題意，圓錐的體積為因為，可得，所以，可得，令，可得；令，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，當處，函數(shù)取得極大值，也時最大值，所以炸藥包埋在深處.故答案為：.11．【分析】記第一次抽到第i號球的事件分別為，記第二次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事件分別為，再利用全概率公式求解即可.【詳解】記第一次抽到第i號球的事件分別為，則有，，記第二次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事件分別為，而，，兩兩互斥，和為，，，，記第二次抽到3號球的事件為B，．故答案為:12．【分析】確定樣本總點數(shù)，再求出的取值及其對應(yīng)的概率，即可求出的分布列，再由數(shù)學期望公式求解即可.【詳解】對于5維坐標有兩種選擇，故共有種選擇，即5維“立方體”的頂點個數(shù)是個頂點；對于的隨機變量，在坐標與中有k個坐標值不同，即，剩下個坐標值滿足，此時所對應(yīng)情況數(shù)為種，即故分布列為：12345所以數(shù)學期望.故答案為：.13．B【分析】由散點圖的特點可分析相關(guān)性的問題，從而判斷選項，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可判斷選項.【詳解】由散點圖可知，散點的分布集中在一條直線附近，所以學生身高和體重具有相關(guān)性，不正確；又身高和體重的相關(guān)系數(shù)為，相關(guān)系數(shù)，所以學生身高和體重呈正相關(guān)，正確，不正確；從樣本中抽取一部分，相關(guān)性可能變強，也可能變?nèi)酰赃@部分的相關(guān)系數(shù)不一定是，不正確.故選：.14．D【分析】通過特例可得兩個條件之間的推出關(guān)系，從而可得正確的選項.【詳解】取，則，而為上嚴格增函數(shù)，而不是上嚴格增函數(shù)，故“在上嚴格增”推不出“在上嚴格增”.取，，則是上嚴格增函數(shù)，而不是上嚴格增函數(shù)，故“在上嚴格增”推不出“在上嚴格增”.故“在上嚴格增”是“在上嚴格增”的非充分非必要條件，故選：D.15．B【分析】根據(jù)方差公式求出方差，再判斷即可.【詳解】由分布列可得，故.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握期望和方差的公式.16．C【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項和公式求出，再取一個單調(diào)遞增函數(shù)，按給定的條件使方程有正整數(shù)解的函數(shù)個數(shù)即可判斷.【詳解】對于①，數(shù)列單調(diào)遞增，令函數(shù)，顯然，由，得，整理得，此方程有正整數(shù)解，如方程中取，則，即，對進行不同的取值即可保證數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個，①錯誤；對于②，數(shù)列單調(diào)遞增，，令，由，得，取，顯然對每一個正整數(shù)都有唯一的正數(shù)，并且不同的值，值不同，因此與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個，②正確，所以①是假命題，②是真命題.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.17．(1)分布列見解析(2)分布列見解析；【分析】（1）服從超幾何分布，依據(jù)超幾何分布的公式計算即可；（2），依據(jù)二項分布寫出分布列，計算期望和方差即可.【詳解】（1）各次試驗的結(jié)果不獨立，故X服從超幾何分布.，其中.X的分布為X012P（2）每次摸到黑球的概率為，且各次試驗的結(jié)果是獨立的，故.，其中.X的分布為，X0123P期望.18．(1)；減區(qū)間是，增區(qū)間是(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由，求出a的值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性討論a的范圍即得.【詳解】（1）由得，由曲線在處切線斜率為-1，可得，.,當單調(diào)遞增；單調(diào)遞減.減區(qū)間是，增區(qū)間是.（2）由得：①

時，，∴在遞增，滿足函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，②

時，時，，在遞增，若函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，綜上可得19．(1)有關(guān)(2)①，不獨立，理由見解析；②977【分析】（1）計算出卡方，即可判斷；（2）①求出，，，再由條件概率公式求出，由相互獨立事件的定義即可判斷；②由已知，經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個數(shù)，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，從而估計出人數(shù).【詳解】（1）提出假設(shè)：學生對該問題的態(tài)度與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得，．因為當成立時，的概率約為，所以有的把握認為，學生對該觀點的態(tài)度與性別有關(guān)．（2）①因為事件為“學生甲選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學生都沒有選擇籃球”，所以事件為“學生甲選擇足球，學生乙不選擇籃球”，所以，，，所以，因為，所以事件、不獨立．②記經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個數(shù)為，由已知，經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個數(shù)．因為，所以．所以（人）．所以經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘跳個以上人數(shù)約為．20．(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題中遞推公式結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；（2）由（1）可得，，列不等式組求數(shù)列的最大項，進而分析判斷；（3）由題意可得：，，分析可知數(shù)列的前2024項是在數(shù)列的前3034項的基礎(chǔ)上去掉數(shù)列的前10項，結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式運算求解.【詳解】（1）因為的各項均為正數(shù)，，且，則，可得，所以數(shù)列是以首項為，公差為2的等差數(shù)列．（2）不存在，理由如下：由（1）可得：，則，令，即，解得，且，可得，可知數(shù)列的最大項為，所以不存在正整數(shù)m，使得成立.（3）由（2）可得：，其前n項和為；由題意可知：，其前n項和為；因為，，且，對于數(shù)列可知：其前2024項是在數(shù)列的前3034項的基礎(chǔ)上去掉數(shù)列的前10項，所以.21．(1)(2)(3)證明見解析【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某點處的切線方程即可；(2)利用極值點等價于導(dǎo)數(shù)值為零的點，且導(dǎo)數(shù)零點的左右兩側(cè)有正負，通過對導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)的零點進行分析即可得解；(3)利用換元思想，把，即知