浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

鎮(zhèn)海中學(xué)2023學(xué)年第二學(xué)期期末考試試題高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．求值：（

）A． B． C． D．13．已知，下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．4．已知三個(gè)平面向量滿足，則“向量均是單位向量”是“向量方向相同”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若且，則B．若，則C．若且，則D．若不垂直于，且，則必不垂直于6．一個(gè)袋子中有個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個(gè)為紅球，其余均為綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地摸出2個(gè)球.已知摸出的2個(gè)球都是紅球的概率為，則兩次摸到的球顏色不相同的概率為（

）A． B． C． D．7．已知正方體的棱長(zhǎng)為3，以為球心，為半徑的球面與正方體表面的交線記為曲線，則曲線的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．8．已知，記集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．的最大值為2B．的最小值為1C．的最大值為2D．的最小值為110．已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，若對(duì)任意且，都有，下列結(jié)論一定正確的是（

）A．B．2是的一個(gè)周期C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱11．一個(gè)同學(xué)投擲10次骰子，記錄出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，在下列情況中可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的有（

）A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為4B．中位數(shù)為4，眾數(shù)為3C．平均數(shù)為2，方差為2.1D．中位數(shù)為3，方差為0.85三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知，則.13．如圖，在長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)在線段（端點(diǎn)除外）上，現(xiàn)將沿折起為，設(shè)，二面角的大小為.若，則三棱錐體積的最大值為.14．在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15．已知函數(shù).(1)求的最小正周期和最大值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間.16．鎮(zhèn)海中學(xué)采購(gòu)了一批電子白板電容筆，這一批電容筆使用三年后即被淘汰.電容筆頭屬于消耗品，現(xiàn)在需要決策在購(gòu)買電容筆時(shí)筆頭的數(shù)量，為此搜集并整理了10支筆在一年內(nèi)消耗的筆頭數(shù)（單位：個(gè)），發(fā)現(xiàn)均落在范圍內(nèi)，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成六組，第一組，第二組，……第六組，畫出頻率分布直方圖如圖所示.(1)求的值；(2)估計(jì)10支筆一年內(nèi)消耗筆頭數(shù)量的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）和第30百分位數(shù)(3)在搜集這10支筆的使用情況數(shù)據(jù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)其中3支是高一班級(jí)在使用，另外7支是高二班級(jí)在使用，現(xiàn)已知高二班級(jí)消耗的筆頭數(shù)的平均值和方差分別為50和221，所有班級(jí)消耗的筆頭數(shù)的方差為200，試估計(jì)高一班級(jí)消耗的筆頭數(shù)的平均值和方差.17．如圖，在中，是的中點(diǎn)，在邊上，且與交于點(diǎn).(1)用表示；(2)若，求的值.18．如圖，在五面體中，四邊形為矩形，為等腰直角三角形，且.面面.(1)求證：：(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．懸鏈線出現(xiàn)在建筑領(lǐng)域，最早是由十七世紀(jì)英國(guó)杰出的科學(xué)家羅伯特·胡克提出的，他認(rèn)為當(dāng)懸鏈線自然下垂時(shí).處于最穩(wěn)定的狀態(tài)，反之如果把懸鏈線反方向放置，它也應(yīng)該是一種穩(wěn)定的狀態(tài)，后來(lái)由此演變出了懸鏈線拱門，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為(1)求的值；(2)若直線與函數(shù)和的圖象共有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，證明：；(3)函數(shù)，若對(duì)任意的恒成立，求的最大值.1．C【分析】先求出集合，再根據(jù)交集，補(bǔ)集和子集得定義即可得解.【詳解】，所以，，故ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.2．D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角得正弦公式求解即可.【詳解】.故選：D.3．B【分析】利用作差法即可判斷A，利用不等式的性質(zhì)即可判斷B，舉出反例即可判斷CD.【詳解】對(duì)于A，，因?yàn)?，所以，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：B.4．A【分析】先根據(jù)推得，再利用充分性和必要性的判斷方法分析即得.【詳解】由可得，，兩邊取平方可得，（*）.若向量均是單位向量，則由（*）可得，，整理得，，因，故得，即向量方向相同，故“向量均是單位向量”是“向量方向相同”的充分條件；若向量方向相同，則有，代入（*）可得，，即，雖方向相同，但因不能確定向量的方向，故不滿足，即“向量均是單位向量”不是“向量方向相同”的必要條件；故“向量均是單位向量”是“向量方向相同”的充分不必要條件.故選：A.5．C【分析】利用線面所成角的定義理解可得選項(xiàng)C正確；對(duì)于A，滿足條件得到的結(jié)論有兩種，可排除；對(duì)于B，利用特殊情況，即可排除結(jié)論；對(duì)于D，可借助于正方體模型推理排除結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，由且可得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，不妨設(shè)，若使，，則易得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由知，直線與平面成的角，因，故直線與平面也成的角，即，故C正確；

對(duì)于D，如圖正方體

中，設(shè)為直線，平面為，為直線，顯然不垂直于，易得，因,,則，因,故得平面，因平面，故有,即D錯(cuò)誤.故選：C.6．D【分析】先由條件“摸出的2個(gè)球都是紅球的概率為”，利用古典概率公式求得，再計(jì)算“兩次摸到的球顏色不相同的概率”即得.【詳解】依題意，，即，解得，即袋中共有3個(gè)紅球，4個(gè)綠球，則兩次摸到的球顏色不相同的概率為：.故選：D.7．B【分析】作出輔助線，得到以為球心，為半徑的球面與平面的交線為以為圓心，為半徑的，同理可得另外兩段弧，求出弧長(zhǎng)即可得到答案.【詳解】如圖，在棱上分別取，使得，在Rt中，，同理可得，因?yàn)椤推矫?，平面，所以⊥，⊥，故，所以以為球心，為半徑的球面與平面的交線為以為圓心，為半徑的，同理，與平面的交線為為半徑的，與平面的交線為為半徑的，由可知，同理，故，這三段弧長(zhǎng)相等，均為，故曲線的長(zhǎng)度為.故選：B8．C【分析】作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，求出，即得，即，要使，結(jié)合圖象知，需使，消元后求解不等式即得.【詳解】如圖，作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖.由可得，因，解得，即，由可得，即,因，結(jié)合圖象，可得：，消去可得，，因，即得，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)數(shù)型絕對(duì)值函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于難題.解題思路即是，先作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，由求出自變量的范圍，再將套函數(shù)內(nèi)的看成整體自變量，推得的范圍，結(jié)合及函數(shù)圖象，可得，消元后解之即得.9．AC【分析】由題可得，可令，，即，，代入選項(xiàng)依次化簡(jiǎn)即可結(jié)果.【詳解】由，可得，令，，所以，，對(duì)于A，則，當(dāng)時(shí)，取最大值為2，故A正確對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，的最大值為1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D，由B可得，由，則，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC10．ACD【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性，結(jié)合賦值法逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由是偶函數(shù)，，得，則，A正確；對(duì)于B，由對(duì)任意且，都有，得在上單調(diào)遞增，則，而，于是，因此2不是的周期，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，4是的一個(gè)周期，，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，D正確；對(duì)于C，由，得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C正確.故選：ACD11．ABD【分析】ABD舉例，C用反證法證明不能出現(xiàn)6.【詳解】對(duì)于A：10次點(diǎn)數(shù)為符合題意，故A正確；對(duì)于B：10次點(diǎn)數(shù)為符合題意，故B正確；對(duì)于C：設(shè)10次點(diǎn)數(shù)為且，平均數(shù)為，假設(shè)有一次點(diǎn)數(shù)為，不妨設(shè)，由方差公式，代入相關(guān)數(shù)據(jù)得：，即，顯然最大只能取，不妨設(shè)得，此時(shí)方程無(wú)解，所以，當(dāng)時(shí)得：，最大只能取，不妨設(shè)得，此時(shí)方程有唯一解，，即10次點(diǎn)數(shù)為，但此時(shí)平均數(shù)為不合題意，所以，當(dāng)?shù)萌〉?，此時(shí)方程無(wú)解（其余情況也均無(wú)解），所以，當(dāng)時(shí)，平均數(shù)為不合題意.綜上所述，假設(shè)有一次點(diǎn)數(shù)為不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：10次點(diǎn)數(shù)為符合題意，故D正確.故選：ABD12．【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再求其模長(zhǎng)即得.【詳解】由可得，，則.故答案為：.13．【分析】將三棱錐的底面面積及高用含有的三角函數(shù)來(lái)表示，根據(jù)體積公式寫出棱錐體積，整理化簡(jiǎn)后利用三角函數(shù)求出三棱錐體積的最大值.【詳解】過(guò)作，交于，過(guò)作平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，則，所以二面角的平面角為，則，，，，則三棱錐的高，三棱錐的底面面積，所以，(其中)，故當(dāng)時(shí)，三棱錐體積的最大值為，故答案為：14．##【分析】根據(jù)結(jié)合余弦定理可得，再將所求利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】由余弦定理得，又，所以，即，所以，由正弦定理得，即，因?yàn)椋?，所以或（舍去），所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)結(jié)合余弦定理得出是解決本題的關(guān)鍵.15．(1)；(2)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為【分析】（1）利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的周期公式和最值進(jìn)行求解即可；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間..【詳解】（1）函數(shù)，所以的最小正周期，當(dāng)，即時(shí)，取最大值為；（2）令，解得：，令，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為16．(1)(2)；.(3)；.【分析】（1）由概率之和為即面積為1解出.（2）由頻率分布直方圖的平均值公式算出答案；第30百分位數(shù)即是面積和從左到右為0.3的橫坐標(biāo).（3）由分層抽樣的平均值和方差公式即可解出本題.【詳解】（1）由概率之和為得：，解出.（2）.頻率分布直方圖前兩列面積和為，設(shè)第30百分位數(shù)為a，，解出，所以第30百分位數(shù)為.（3）由題意知總平均數(shù)，設(shè)高一年級(jí)平均數(shù)，方差為，高二年級(jí)平均數(shù)，方差為，，解出；，代入公式得，解出，所以高一班級(jí)消耗的筆頭數(shù)的平均值為，方差為.17．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量得線性運(yùn)算即可求出，設(shè)，分別用及表示，再根據(jù)平面向量基本定理求出，即可求出；（2）先將表示，再根據(jù)平面向量數(shù)量積得運(yùn)算律化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】（1），設(shè)，則，，所以，解得，所以，（2）由（1）得，則，因?yàn)?，所以，即，所以，?18．(1)證明見(jiàn)解析；(2)或.【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定性質(zhì)推理即得.（2）取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，再利用線面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）由矩形，得，而平面平面，平面平面，平面，則平面，又面，于是，而，，平面，因此平面，又平面，所以.（2）取的中點(diǎn)，作，連接，由（1）知，平面，而平面，則，又，，則，即兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，假定在線段上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，于是，整理得，解得或，所以在線段上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，此時(shí)或.19．(1)1(2)答案見(jiàn)解析(3)7【分析】（1）根據(jù)定義直接計(jì)算即可；（2）畫出兩個(gè)函數(shù)的大致圖像得到，只需證明即可；（3）首先通過(guò)換元把絕對(duì)值里的函數(shù)整理成一個(gè)關(guān)于二次函數(shù)，再把不等式去掉絕對(duì)值變成兩個(gè)一元二次不等式的恒成立問(wèn)題，最后在通過(guò)分類討論的方法求出的最大值.【詳解】（1）；（2）令得，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在處取得極小值，當(dāng)，，當(dāng)，，所以的大致圖像如圖所示；恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，當(dāng)，，所以的大致圖像如圖所示，不妨設(shè)，由為偶函數(shù)可得，與圖像有三個(gè)交點(diǎn)