高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點探究與題型突破第60講事件的相互獨立性與條件概率(原卷版+解析)

第60講事件的相互獨立性與條件概率1.相互獨立事件(1)概念：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，那么A與eq\o(B,\s\up6(－))__，eq\o(A,\s\up6(－))與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也都相互獨立.2.條件概率(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A)＞0，我們稱P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.(2)兩個公式①利用古典概型，P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).3.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\a\vs4\al(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我們稱上面的公式為全概率公式.考點1相互獨立事件的概率[名師點睛]求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．(2)當(dāng)正面計算較復(fù)雜或難以入手時，可從其對立事件入手計算．[典例]1.(2023·新高考全國Ⅰ)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立2.(多選)甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事件B與事件A1相互獨立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件[舉一反三]1.(2023·福州模擬)投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲．晉代在廣泛開展投壺活動中，對投壺的壺也有所改進，即在壺口兩旁增添兩耳，因此在投壺的花式上就多了許多名目，如“貫耳(投入壺耳)”．每一局投壺，每一位參賽者各有四支箭，投入壺口一次得1分，投入壺耳一次得2分．現(xiàn)有甲、乙兩人進行投壺比賽(兩人投中壺口、壺耳是相互獨立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壺口的概率為eq\f(1,3)，投中壺耳的概率為eq\f(1,5).四支箭投完，以得分多者贏．請問乙贏得這局比賽的概率為()A.eq\f(13,75)B.eq\f(3,75)C.eq\f(8,15)D.eq\f(8,75)2.(2023·全國Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為eq\f(1,2).(1)求甲連勝四場的概率；(2)求需要進行第五場比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率.考點2條件概率[名師點睛]求條件概率的常用方法(1)定義法：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).(2)樣本點法：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解．[典例]1.某公司為方便員工停車，租了6個停車位，編號如圖所示．公司規(guī)定：每個車位只能停一輛車，每個員工只允許占用一個停車位．記事件A為“員工小王的車停在編號為奇數(shù)的車位上”，事件B為“員工小李的車停在編號為偶數(shù)的車位上”，則P(A|B)等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)2.(多選)(2023·濱州模擬)為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和2道填空題)，不放回地依次隨機抽取2道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是()A．P(A)＝eq\f(3,5) B．P(AB)＝eq\f(3,10)C．P(B|A)＝eq\f(1,2) D．P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)[舉一反三]1.已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同.現(xiàn)需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,3) C.eq\f(3,8) D.eq\f(2,9)2.對標有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的條件下，第二次摸到正品的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5) C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)考點3全概率公式的應(yīng)用[名師點睛]利用全概率公式的思路(1)按照確定的標準，將一個復(fù)雜事件分解為若干個互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計算．[典例]甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7.飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中，飛機必定被擊落，求飛機被擊落的概率.[舉一反三]1.已知在所有男子中有5%患有色盲癥，在所有女子中有0.25%患有色盲癥，隨機抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，其為男子的概率為(設(shè)男子和女子的人數(shù)相等)()A.eq\f(10,11)B.eq\f(20,21)C.eq\f(11,21) D.eq\f(1,12)2.葫蘆山莊襟渤海之遼闊，仰天角之雄奇，勘葫蘆之蘊涵，顯人文之魅力，是渤海灣著名的人文景區(qū)，是葫蘆島市“葫蘆文化與關(guān)東民俗文化”代表地和中小學(xué)綜合實踐教育基地．山莊中葫蘆品種分為亞腰、瓢、長柄錘、長筒、異型、花皮葫蘆等系列．其中亞腰胡蘆具有天然迷彩花紋，果實形狀不固定，觀賞性強，每株亞腰葫蘆可結(jié)出果實20～80個.2021年初葫蘆山莊播種用的一等亞腰葫蘆種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子，一、二、三、四等種子長出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實的概率分別為0.5，0.15,0.1,0.05，則這批種子所生長出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實的概率為________．第60講事件的相互獨立性與條件概率1.相互獨立事件(1)概念：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，那么A與eq\o(B,\s\up6(－))__，eq\o(A,\s\up6(－))與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也都相互獨立.2.條件概率(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A)＞0，我們稱P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.(2)兩個公式①利用古典概型，P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).3.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\a\vs4\al(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我們稱上面的公式為全概率公式.考點1相互獨立事件的概率[名師點睛]求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．(2)當(dāng)正面計算較復(fù)雜或難以入手時，可從其對立事件入手計算．[典例]1.(2023·新高考全國Ⅰ)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立答案B解析事件甲發(fā)生的概率P(甲)＝eq\f(1,6)，事件乙發(fā)生的概率P(乙)＝eq\f(1,6)，事件丙發(fā)生的概率P(丙)＝eq\f(5,6×6)＝eq\f(5,36)，事件丁發(fā)生的概率P(丁)＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6).事件甲與事件丙同時發(fā)生的概率為0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A錯誤；事件甲與事件丁同時發(fā)生的概率為eq\f(1,6×6)＝eq\f(1,36)，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正確；事件乙與事件丙同時發(fā)生的概率為eq\f(1,6×6)＝eq\f(1,36)，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C錯誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨立事件，故D錯誤．2.(多選)甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事件B與事件A1相互獨立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件答案BD解析易知A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，P(B|A1)＝eq\f(PBA1,PA1)＝eq\f(\f(5,10)×\f(5,11),\f(5,10))＝eq\f(5,11)，P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq\f(5,10)×eq\f(5,11)＋eq\f(2,10)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22).[舉一反三]1.(2023·福州模擬)投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲．晉代在廣泛開展投壺活動中，對投壺的壺也有所改進，即在壺口兩旁增添兩耳，因此在投壺的花式上就多了許多名目，如“貫耳(投入壺耳)”．每一局投壺，每一位參賽者各有四支箭，投入壺口一次得1分，投入壺耳一次得2分．現(xiàn)有甲、乙兩人進行投壺比賽(兩人投中壺口、壺耳是相互獨立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壺口的概率為eq\f(1,3)，投中壺耳的概率為eq\f(1,5).四支箭投完，以得分多者贏．請問乙贏得這局比賽的概率為()A.eq\f(13,75)B.eq\f(3,75)C.eq\f(8,15)D.eq\f(8,75)答案A解析由題意，若乙要贏得這局比賽，按照乙第三支箭的情況可分為兩類：(1)第三支箭投中壺口，第四支箭必須投入壺耳，其概率為P1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)；(2)第三支箭投入壺耳，第四支箭投入壺口、壺耳均可，其概率為P2＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))＝eq\f(8,75)，所以乙贏得這局比賽的概率為P＝P1＋P2＝eq\f(1,15)＋eq\f(8,75)＝eq\f(13,75).2.(2023·全國Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為eq\f(1,2).(1)求甲連勝四場的概率；(2)求需要進行第五場比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率.解(1)甲連勝四場的概率為eq\f(1,16).(2)根據(jù)賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽.比賽四場結(jié)束，共有三種情況：甲連勝四場的概率為eq\f(1,16)；乙連勝四場的概率為eq\f(1,16)；丙上場后連勝三場的概率為eq\f(1,8).所以需要進行第五場比賽的概率為1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).(3)丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)；比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負、輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負勝，勝負空勝，負空勝勝，概率分別為eq\f(1,16)，eq\f(1,8)，eq\f(1,8).因此丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,16).考點2條件概率[名師點睛]求條件概率的常用方法(1)定義法：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).(2)樣本點法：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解．[典例]1.某公司為方便員工停車，租了6個停車位，編號如圖所示．公司規(guī)定：每個車位只能停一輛車，每個員工只允許占用一個停車位．記事件A為“員工小王的車停在編號為奇數(shù)的車位上”，事件B為“員工小李的車停在編號為偶數(shù)的車位上”，則P(A|B)等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)答案D解析根據(jù)條件概率的計算公式可得，P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(3,6)×\f(3,5),\f(3,6))＝eq\f(3,5).2.(多選)(2023·濱州模擬)為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和2道填空題)，不放回地依次隨機抽取2道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是()A．P(A)＝eq\f(3,5) B．P(AB)＝eq\f(3,10)C．P(B|A)＝eq\f(1,2) D．P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)答案ABC解析P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,5)，故A正確；P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)，故B正確；P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2)，故C正確；P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(P\x\to(A)B,P\x\to(A))＝eq\f(\f(3,10),\f(2,5))＝eq\f(3,4)，故D錯誤．[舉一反三]1.已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同.現(xiàn)需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,3) C.eq\f(3,8) D.eq\f(2,9)答案B解析設(shè)“第一次拿到白球”為事件A，“第二次拿到紅球”為事件B，依題意P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(AB)＝eq\f(2×3,10×9)＝eq\f(1,15)，故P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,3).2.對標有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的條件下，第二次摸到正品的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5) C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)答案D解析記A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由題意知，P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(4,15)，則P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(4,15),\f(2,5))＝eq\f(2,3).考點3全概率公式的應(yīng)用[名師點睛]利用全概率公式的思路(1)按照確定的標準，將一個復(fù)雜事件分解為若干個互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計算．[典例]甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7.飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中，飛機必定被擊落，求飛機被擊落的概率.解設(shè)B＝“飛機被擊落”，Ai＝“飛機被i人擊中”，i＝1，2，3，則B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3).為求P(Ai)，設(shè)Hi＝{飛機被第i人擊中}，i＝1，2，3，且H1，H2，H3相互獨立，則P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，故P(A1)＝P(H1eq\o(H,\s\up6(－))2eq\o(H,\s\up6(－))3＋eq\o(H,\s\up6(－))1H2eq\o(H,\s\up6(－))3＋eq\o(H,\s\up6(－))1eq\o(H,\s\up6(－))2H3)＝P(H1)P(eq\o(H,\s\up6(－))2)P(eq\o(H,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(H,\s\up6(－))1)P(H2)·P(eq\o(H,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(H,\s\up6(－))1)P(eq\o(H,\s\up6(－))2)P(H3)＝0.36，P(A2)＝P(H1H2eq\o(H,\s\up6(－))3＋H1eq\o(H,\s\up6(－))2H3＋eq\o(H,\s\up6(－))1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(eq\o(H,\s\up6(－))3)＋P(H1)P(eq\o(H,\s\up6(－))2)P(H3)＋P(eq\o(H,\s\up6(－))1)P(H2)P(H3)＝0.41，P(A3)＝P(H1H2H3)＝P