高考數(shù)學(xué)大題精做專題06數(shù)列中的最值問題(第二篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第二篇數(shù)列與不等式專題06數(shù)列中的最值問題類型對應(yīng)典例利用二次函數(shù)的最值求數(shù)列的最值典例1利用導(dǎo)數(shù)工具求數(shù)列的最值典例2借助基本初等函數(shù)的單調(diào)性求最值典例3利用函數(shù)的性質(zhì)求數(shù)列的最值典例4利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值典例5利用基本不等式求數(shù)列的最值典例6利用不等式恒成立求數(shù)列中的最值典例7【典例1】【2019年10月廣東省廣州市天河區(qū)一?！吭诘缺葦?shù)列中，公比，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)化簡，，聯(lián)立即可解出答案（2）根據(jù)寫出，求出，寫出，再求出其前n項(xiàng)的和，判斷即可?！镜淅?】【貴州省凱里市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期模擬考試】在等差數(shù)列中，已知.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求的最小值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量運(yùn)算，得到首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)（2）根據(jù)（1）求出的等差數(shù)列，得到其前項(xiàng)和，表示出，然后找到其最小值，注意.【典例3】【2019屆高三第一次全國大聯(lián)考】已知數(shù)列對任意滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得成立的正整數(shù)的最小值．【思路引導(dǎo)】（1）由，可得，兩式相減可得，然后再驗(yàn)證是否滿足上式即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)（1）中的通項(xiàng)公式求出，然后根據(jù)題意得到不等式，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集后可得所求．【典例4】【河北省衡水市衡水中學(xué)2019屆高三下學(xué)期六調(diào)】已知為公差不等于零的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，且為常數(shù)列.（1）求；（2）.設(shè)，僅當(dāng)時(shí)，最大，求.【思路引導(dǎo)】（1）將等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和全部用基本量表示，然后對整理，令的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)為，得到答案.（2）表示出通項(xiàng)，然后化成反比例函數(shù)平移的形式，根據(jù)對稱中心，得到公差的范圍，然后根據(jù)，得到的值，再求出的通項(xiàng).【典例5】【寧夏銀川一中2019屆高三第四次月考】已知數(shù)列，，，且滿足（且）（1）求證：為等差數(shù)列；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最大值.【思路引導(dǎo)】(1)將式子變形得到，故得到數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列；（2）通過第一問的結(jié)論，以及累加法的應(yīng)用得到，代入表達(dá)式得到，設(shè)，，將此式和0比即可得到最大項(xiàng).【典例6】已知等差數(shù)列中，公差，其前項(xiàng)和為，且滿足：．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）通過公式構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列．若也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)；（Ⅲ）求的最大值．【典例7】【天津市南開區(qū)2019屆高三第二學(xué)期模擬考試（二】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足.（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的的最大值.【思路引導(dǎo)】(Ⅰ)利用，整理可得數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，利用裂項(xiàng)相消法求得，解不等式可得結(jié)果.【針對訓(xùn)練】1.【晉冀魯豫中原名校2019屆高三第三次聯(lián)考】已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求及的最大值.2.【遼寧省大連市瓦房店市高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月月考】已知數(shù)列中，，，且，（1）求；（2）若，，當(dāng)為何值時(shí)，取最小值？并求出最小值.3.已知函數(shù)（為常數(shù)，且），且數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值.4.【安徽省黃山市2019-2020學(xué)年上學(xué)期高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測】已知等比數(shù)列中，，，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若前的前項(xiàng)和，求的最大值.5.【2020屆廣東省深圳市高三上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)】記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.遞增的等比數(shù)列滿足，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求滿足的最大正整數(shù)n的值.6.【浙江省溫州九校2019屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知數(shù)列中，，（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.7.【2020屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三第5次月考】已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對于數(shù)列，若存在一個(gè)區(qū)間，均有，則稱為數(shù)列的“容值區(qū)間”.設(shè)，試求數(shù)列的“容值區(qū)間”長度的最小值.8.【江蘇省鹽城市鹽城中學(xué)2019-2020學(xué)年高三11月月考】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第二篇數(shù)列與不等式專題06數(shù)列中的最值問題類型對應(yīng)典例利用二次函數(shù)的最值求數(shù)列的最值典例1利用導(dǎo)數(shù)工具求數(shù)列的最值典例2借助基本初等函數(shù)的單調(diào)性求最值典例3利用函數(shù)的性質(zhì)求數(shù)列的最值典例4利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值典例5利用基本不等式求數(shù)列的最值典例6利用不等式恒成立求數(shù)列中的最值典例7【典例1】【2019年10月廣東省廣州市天河區(qū)一?！吭诘缺葦?shù)列中，公比，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)化簡，，聯(lián)立即可解出答案（2）根據(jù)寫出，求出，寫出，再求出其前n項(xiàng)的和，判斷即可。解：（1），可得，由，即，①，由，可得，，可得，即，②由①②解得舍去），，則；（2），可得，，則，可得或9時(shí)，取最大值18．則的值為8或9．【典例2】【貴州省凱里市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期模擬考試】在等差數(shù)列中，已知.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求的最小值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量運(yùn)算，得到首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)（2）根據(jù)（1）求出的等差數(shù)列，得到其前項(xiàng)和，表示出，然后找到其最小值，注意.解：(Ⅰ)由得，由，得，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，，令，,當(dāng)；當(dāng)則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)或時(shí)，，取到最小值，即的最小值為.【典例3】【2019屆高三第一次全國大聯(lián)考】已知數(shù)列對任意滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得成立的正整數(shù)的最小值．【思路引導(dǎo)】（1）由，可得，兩式相減可得，然后再驗(yàn)證是否滿足上式即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)（1）中的通項(xiàng)公式求出，然后根據(jù)題意得到不等式，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集后可得所求．解：（1）因?yàn)棰?，所以②，①②兩式相減，得，所以③．又當(dāng)時(shí)，得，不滿足上式．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，，所以不成立，當(dāng)時(shí)，，由，得．令，則為增函數(shù)，又．因此要使成立，只需，故使成立的正整數(shù)的最小值為7．【典例4】【河北省衡水市衡水中學(xué)2019屆高三下學(xué)期六調(diào)】已知為公差不等于零的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，且為常數(shù)列.（1）求；（2）.設(shè)，僅當(dāng)時(shí)，最大，求.【思路引導(dǎo)】（1）將等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和全部用基本量表示，然后對整理，令的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)為，得到答案.（2）表示出通項(xiàng)，然后化成反比例函數(shù)平移的形式，根據(jù)對稱中心，得到公差的范圍，然后根據(jù)，得到的值，再求出的通項(xiàng).解：（1）設(shè)首項(xiàng)為，公差為，則整理得：對任意的恒成立，只須解得：.（2）由題意可知，數(shù)列的對稱中心為因?yàn)閮H當(dāng)時(shí)，最大，所以，解得，又因，所以,【典例5】【寧夏銀川一中2019屆高三第四次月考】已知數(shù)列，，，且滿足（且）（1）求證：為等差數(shù)列；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最大值.【思路引導(dǎo)】(1)將式子變形得到，故得到數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列；（2）通過第一問的結(jié)論，以及累加法的應(yīng)用得到，代入表達(dá)式得到，設(shè)，，將此式和0比即可得到最大項(xiàng).解：（1），則.所以是公差為2的等差數(shù)列.（2）.當(dāng)滿足.則.∴，∴，設(shè)，∴，∴∴當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，∴，則的最大值為【典例6】已知等差數(shù)列中，公差，其前項(xiàng)和為，且滿足：．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）通過公式構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列．若也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)；（Ⅲ）求的最大值．解：(1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列．∴a2＋a3＝a1＋a4＝14，由，解得或．∵公差d>0，∴a2＝5，a3＝9．∴d＝a3－a2＝4，a1＝a2－d＝1．∴．(2)∵Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，∴．∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，∴2b2＝b1＋b3，∴2·＝＋，解得(c＝0舍去)．∴．顯然{bn}成等差數(shù)列，符合題意，∴．(3)由（2）可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．∴f(n)的最大值為．【典例7】【天津市南開區(qū)2019屆高三第二學(xué)期模擬考試（二】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足.（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的的最大值.【思路引導(dǎo)】(Ⅰ)利用，整理可得數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，利用裂項(xiàng)相消法求得，解不等式可得結(jié)果.解：(Ⅰ)，當(dāng)時(shí)，，，

化為，，即當(dāng)時(shí),，

令,可得,即.又,數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.

于是，.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,,可得，，因?yàn)槭亲匀粩?shù)，所以的最大值為4.【針對訓(xùn)練】1.【晉冀魯豫中原名校2019屆高三第三次聯(lián)考】已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求及的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）利用基本元的思想將已知轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）先求得的表達(dá)式，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值.解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，若，有，，而，故，則，解得.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，則.由二次函數(shù)的對稱軸為，故當(dāng)或15時(shí)有最大值，其最大值為.2.【遼寧省大連市瓦房店市高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月月考】已知數(shù)列中，，，且，（1）求；（2）若，，當(dāng)為何值時(shí)，取最小值？并求出最小值.【思路引導(dǎo)】（1）由，得，兩式作差得，由，計(jì)算得，滿足，得等比數(shù)列，即可求出；（2）由（1）得，滿足，得是等差數(shù)列，計(jì)算出即可.解：（1）在數(shù)列中，①，②①-②得：，.且，在①式中，令，得，，即，是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，.（2）由（1）知，，且，且，所以是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，.時(shí)，最小，最小值為.3.已知函數(shù)（為常數(shù)，且），且數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值.【思路引導(dǎo)】（1）由題意得出，利用對數(shù)運(yùn)算得出，然后計(jì)算出為非零常數(shù)，利用等比數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求出和，利用分組求和法得出，然后分析數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，可得出該數(shù)列的最小值為，由此可得出結(jié)果；解：（1）證明：由題意，即，得，且，．常數(shù)且，為非零常數(shù)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，，，..，數(shù)列是遞增數(shù)列，因而最小值為；4.【安徽省黃山市2019-2020學(xué)年上學(xué)期高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測】已知等比數(shù)列中，，，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若前的前項(xiàng)和，求的最大值.【思路引導(dǎo)】(1)由是等比數(shù)列，令可列出方程求出，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可；（2）表示出的通項(xiàng)公式，由錯(cuò)位相減法可求得，代入已知不等式即可得解.解：（1）由是等比數(shù)列，令可得或（舍去），故.（2）由題，所以又兩式相減得易知單調(diào)遞增，且，故的最大值為.5.【2020屆廣東省深圳市高三上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)】記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.遞增的等比數(shù)列滿足，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求滿足的最大正整數(shù)n的值.【思路引導(dǎo)】（1）當(dāng)時(shí)，解得；時(shí)，利用得到；再計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算，，故，則，計(jì)算得到答案.解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，可得，故，故，.則，，記數(shù)列的公比為q，則，則或，而數(shù)列遞增，故舍去，故.（2）依題意，，而，故，則，因?yàn)?，且，，故滿足的最大正整數(shù)n的值為6.6.【浙江省溫州九校2019屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知數(shù)列中，，（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.【思路引導(dǎo)】（1）由題可得兩式相減，得，即，求出，即可得證；（2）由（1）可知，即，通過累加可得則，而，令，討論的符號可得的最大值，進(jìn)而得到.解：（1）兩式相減，得∴即：∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可知，即也滿足上式令，則，∴最大，即7.【2020屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三第5次月考】已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對于數(shù)列，若存在一個(gè)區(qū)間，均有，則稱為數(shù)列的“容值區(qū)間”.設(shè)，試求數(shù)列的“容值區(qū)間”長度的最小值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)，求出公比，即可得解；（2）對項(xiàng)數(shù)分奇偶討論的取值范圍，即可得到區(qū)間長度的最小值.解：（1）由題意可知：，即，∴，即公比又，∴.（2）由（1）可知.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，易知隨增大而增大，∴，根據(jù)勾型函數(shù)性質(zhì)，此時(shí).當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，易知隨增大而減小，∴，根據(jù)勾型函數(shù)性質(zhì)，此時(shí).又，∴.故數(shù)列的“容