高考數(shù)學一輪復習考點探究與題型突破第11講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(原卷版+解析)

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1．根式(1)根式的概念①若，則x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．②a的n次方根的表示：xn＝a?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，當n為奇數(shù)且n∈N*，n>1時，,x＝±\r(n,a)，當n為偶數(shù)且n∈N*時.))(2)根式的性質(zhì)①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))n為偶數(shù).))2．有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關概念①正分數(shù)指數(shù)冪：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②負分數(shù)指數(shù)冪：a－eq\s\up6(\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于，0的負分數(shù)指數(shù)冪．(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝ax(a>0且a≠1)a>10<a<1圖象定義域值域性質(zhì)過定點當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)考點1指數(shù)冪的運算[名師點睛]1．對于指數(shù)冪的運算，首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應注意：(1)必須是同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運算的先后順序．2．當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù)．3．運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習）（1）計算；（2）若，求的值．2．(2023·全國·高三專題練習）化簡下列各式(其中各字母均為正數(shù))．（1）；（2）；（3）；（4）.[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習）計算：.2．(2023·全國·高三專題練習）（1）計算：；（2）化簡：.3．(2023·全國·高三專題練習）已知，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）.4．(2023·全國·高三專題練習）已知，求的值．5．(2023·全國·高三專題練習）分別計算下列數(shù)值：（1）；（2）已知，，求.6．(2023·全國·高三專題練習）化簡：（1）（2）(a>0，b>0).（3）.考點2指數(shù)函數(shù)的圖象及應用[名師點睛]1．對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖像問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．2．有關指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖像，數(shù)形結合求解．[典例]1．(2023·浙江·寧波諾丁漢附中模擬預測）函數(shù)（且）的圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．2．(2023·北京·高三專題練習）若函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過定點P，則點P的坐標是（

）A． B． C． D．[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（且）的圖象過定點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．（多選）(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（

）A． B．C． D．考點3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用[名師點睛]1．比較指數(shù)式的大小的方法：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大?。?．指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行轉化．3．涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)的相關性質(zhì)，其次要明確復合函數(shù)的構成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．[典例]1．(2023·天津河西·一模）設，，，則a，b，c的大小關系為（

）．A． B．C． D．2．（多選）(2023·全國·高三專題練習）若指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的和為，則的值可能是（

）A． B． C． D．3．(2023·遼寧·建平縣實驗中學模擬預測）已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.4．(2023·北京·高三專題練習）設是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，若對任意的，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．(2023·重慶市朝陽中學高三開學考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù).（1）求和的值；（2）設，若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.[舉一反三]1．(2023·天津·一模）設，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．2．(2023·山西呂梁·二模）已知，則（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在處取得最小值，且，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．4．(2023·上海市進才中學高三期中）設函數(shù)，若存在使不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍為______.5．(2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，則使得不等式成立的實數(shù)的取值范圍是________6．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若方程有解，則實數(shù)的取值范圍是_________．7．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（且）是定義在R上的偶函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在上的最小值是1，求m的值.8．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)且．（1）求的值；（2）若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍．（3）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．9．(2023·北京·高三專題練習）定義在上的函數(shù)，如果滿足:對任意存在常數(shù)都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.已知.（1）當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)﹐請說明理由﹔（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1．根式(1)根式的概念①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．②a的n次方根的表示：xn＝a?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，當n為奇數(shù)且n∈N*，n>1時，,x＝±\r(n,a)，當n為偶數(shù)且n∈N*時.))(2)根式的性質(zhì)①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))n為偶數(shù).))2．有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關概念①正分數(shù)指數(shù)冪：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②負分數(shù)指數(shù)冪：a－eq\s\up6(\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝ax(a>0且a≠1)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(0，1)當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)考點1指數(shù)冪的運算[名師點睛]1．對于指數(shù)冪的運算，首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應注意：(1)必須是同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運算的先后順序．2．當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù)．3．運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習）（1）計算；（2）若，求的值．【解】（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．（2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．2．(2023·全國·高三專題練習）化簡下列各式(其中各字母均為正數(shù))．（1）；（2）；（3）；（4）.【解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式.[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習）計算：.【解】，，，.2．(2023·全國·高三專題練習）（1）計算：；（2）化簡：.【解】（1）原式；（2）原式.3．(2023·全國·高三專題練習）已知，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）.【解】（1）將兩邊平方得，所以．（2）將兩邊平方得，所以．（3）由（1）（2）可得4．(2023·全國·高三專題練習）已知，求的值．【解】設，則，所以，于是，，而，將平方得，于是，所以原式.5．(2023·全國·高三專題練習）分別計算下列數(shù)值：（1）；（2）已知，，求.【解】（1）原式，，，（2）∵，∴∵，∴，∴，又∵，∵，∴，∴.6．(2023·全國·高三專題練習）化簡：（1）（2）(a>0，b>0).（3）.【解】（1）原式（2）原式＝.（3）原式.考點2指數(shù)函數(shù)的圖象及應用[名師點睛]1．對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖像問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．2．有關指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖像，數(shù)形結合求解．[典例]1．(2023·浙江·寧波諾丁漢附中模擬預測）函數(shù)（且）的圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因為，由圖得，所以，所以排除AB，因為由圖象可知當時，，所以，所以排除C，故選：D2．(2023·北京·高三專題練習）若函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過定點P，則點P的坐標是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因為，所以當，即時，函數(shù)值為定值0，所以點P坐標為.另解：因為可以由向右平移一個單位長度后，再向下平移1個單位長度得到，由過定點，所以過定點.故選：B[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（且）的圖象過定點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】當時，，故，所以不等式為，解得，所以不等式的解集為.故選：D2．（多選）(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】解：令，解得、，根據(jù)二次函數(shù)圖形可知，、兩個數(shù)一個大于，一個大于且小于，①當，時，則在定義域上單調(diào)遞增，且，即，所以滿足條件的函數(shù)圖形為C；②當，時，則在定義域上單調(diào)遞減，且，所以滿足條件的函數(shù)圖形為A；故選：AC考點3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用[名師點睛]1．比較指數(shù)式的大小的方法：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大小；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小．2．指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行轉化．3．涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)的相關性質(zhì)，其次要明確復合函數(shù)的構成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．[典例]1．(2023·天津河西·一模）設，，，則a，b，c的大小關系為（

）．A． B．C． D．答案：D【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，可得，所以，由，，所以，即，所以.故選：D2．（多選）(2023·全國·高三專題練習）若指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的和為，則的值可能是（

）A． B． C． D．答案：BC【解析】當時，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，，當時，，所以，即，解得或，因為，所以；當時，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，當時，，當時，，所以，即，解得或，因為，所以.綜上可得，實數(shù)的值為或.故選：BC3．(2023·遼寧·建平縣實驗中學模擬預測）已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.答案：【解析】①當時，，在上單調(diào)遞增，，又，恒成立；②當時，，，又，恒成立；③當時，，，；恒成立；④當時，，，，，解得：，；綜上所述：不等式的解集為.故答案為：.4．(2023·北京·高三專題練習）設是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，若對任意的，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，則當時，，，故對任意的，，對任意的，不等式恒成立，即，即對任意的恒成立，且為正數(shù)，則，可得，所以，，可得.故選：A.5．(2023·重慶市朝陽中學高三開學考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù).（1）求和的值；（2）設，若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.【解】解：（1）因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以得，則，經(jīng)檢驗是奇函數(shù).又是偶函數(shù)，所以得，則，經(jīng)檢驗是偶函數(shù)，∴.（2），，則由已知得，存在，使不等式成立，因為，易知單調(diào)遞增，∴，∴，∴.所以，又，解得，所以.[舉一反三]1．(2023·天津·一模）設，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，，，，；，，；.故選：C.2．(2023·山西呂梁·二模）已知，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因為函數(shù)單調(diào)遞減，故.因為，所以.又，所以.綜上，故選B.3．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在處取得最小值，且，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由函數(shù)在處取得最小值得，則且當時，又，所以，得．又，所以，即，整理得，，解得．綜上，.故選：C．4．(2023·上海市進才中學高三期中）設函數(shù)，若存在使不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍為______.答案：【解析】解：由，得，兩邊同除，即，又，當且僅當，即時取等號,所以，所以.故答案為：5．(2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，則使得不等式成立的實數(shù)的取值范圍是________答案：【解析】函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并由解析式可知函數(shù)是增函數(shù)，原不等式可化為，所以，解得，故的取值范