高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(提升版)(新高考地區(qū)專用)7.2空間幾何的體積與表面積(精練)(提升版)(原卷版+解析)

7.2空間幾何的體積與表面積（精練）（提升版）題組一題組一柱錐臺的表面積1．(2023·陜西西安）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為2和，將該三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．2．(2023·山東日照）某正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為45°，則該正四棱錐的側(cè)面與底面的面積之比為（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知中，，，是斜邊上的高，與繞旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積分別為和，則的值為（

）A． B． C． D．4．(2023·寧夏石嘴山·一模（文））過圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，交底面圓于，兩點(diǎn)，已知圓的半徑為，，，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．5．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模（文））攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分．多見于亭閣式建筑，園林建筑．如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個(gè)圓錐，已知其軸截面(過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面)是底邊長為6m，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)膫?cè)面積約為(

)A． B． C． D．6．(2023·江西·贛州市第三中學(xué)）斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，如圖給出了它的畫法：以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，…為邊的正方形依序拼成長方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.如果用圖中接下來的一段圓弧所對應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，那么該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．7(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則（

）A．該圓臺的高為B．該圓臺軸截面面積為C．該圓臺的體積為D．一只小蟲從點(diǎn)沿著該圓臺的側(cè)面爬行到的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為8．(2023·湖北·武漢二中模擬預(yù)測）陀螺是中國民間的娛樂工具之一，也叫作陀羅.陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示，由一個(gè)同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長分別為，，r，且，設(shè)圓錐體的側(cè)面積和圓柱體的側(cè)面積分別為S1和S2，則___________.題組二題組二柱錐臺的體積1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在正四棱錐中，，若正四棱錐的體積是8，則該四棱錐的側(cè)面積是（

）A． B． C．4 D．2．(2023·湖北武漢·高三開學(xué)考試）2022年7月，臺風(fēng)“暹芭”登陸我國.某興趣小組為了解臺風(fēng)“暹芭”對本市降雨量的影響，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺形的容器接雨水.已知該容器上底直徑為56cm，下底直徑為24cm，容器深18cm，若容器中積水深9cm，則平地降雨量是（

）（注：平地降雨量等于容器中積水體積除以容器的上底面積）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2，則下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．直線與為異面直線B．平面C．三棱錐的表面積為D．三棱錐的體積為4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是3和9，且，則該圓臺的（

）A．高為 B．體積為C．表面積為 D．上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為5．(2023·重慶）（多選）攢尖是中國傳統(tǒng)建筑表現(xiàn)手法，是雙坡屋頂形式之一，多用于面積不大的建筑，如塔、亭、閣等，常用于圓形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圓攢尖和多邊形攢尖．以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°，側(cè)棱長為米，則該正四棱錐的（

）A．底面邊長為4米 B．側(cè)棱與底面所成角的正弦值為C．側(cè)面積為平方米 D．體積為32立方米題組三題組三球的體積與表面積1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，一個(gè)四分之一球形狀的玩具儲物盒，若放入一個(gè)玩具小球，合上盒蓋，可放小球的最大半徑為.若是放入一個(gè)正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長為，則（

）A． B． C． D．2．(2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）如圖，在底面半徑為1，高為5的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切．一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓．則該橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．3（2023·全國·高三專題練習(xí)）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為，圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）圓柱上、下底面的圓周都在一個(gè)體積為的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的體積為_______5．(2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）某球形巧克力設(shè)計(jì)了一種圓柱形包裝盒，每盒可裝7個(gè)球形巧克力，每盒只裝一層，相鄰的球形巧克力相切，與包裝盒接觸的6個(gè)球形巧克力與包裝盒相切，如圖是平行于底面且過圓柱母線中點(diǎn)的截面，設(shè)包裝盒的底面半徑為，球形巧克力的半徑為，每個(gè)球形巧克力的體積為，包裝盒的體積為，則________6．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)棱長為a的正方體木塊可以在一個(gè)圓錐形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，若圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則a的最大值為______.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中點(diǎn)，將分別沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，則所得幾何體ABCDE的外接球的體積為______．題組四題組四空間幾何截面1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）若一個(gè)圓錐的母線長為4，且其側(cè)面積為其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為（

）A． B． C． D．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的母線長為5，側(cè)面積為，過此圓錐的頂點(diǎn)作一截面，則截面面積最大為__________3．(2023湖南）古人為避雷和便于雨水下泄，常將屋頂設(shè)計(jì)成圓錐形狀，多見于我國東南沿海地帶，經(jīng)測算某圓錐屋頂?shù)妮S截面為一個(gè)斜邊長約為20米的等腰直角三角形，則圓錐的側(cè)面積約為______平方米.4．(2023·甘肅）軸截面為正方形的圓柱，它的兩底面圓周上的各點(diǎn)都在一個(gè)直徑為的球的球面上，則該圓柱的體積為_________.7.2空間幾何的體積與表面積（精練）（提升版）題組一題組一柱錐臺的表面積1．(2023·陜西西安）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為2和，將該三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】如圖所示，在直角中，，可得，可得，即旋轉(zhuǎn)體的底面圓的半徑為，所以該旋轉(zhuǎn)體的表面積為：.故選：A.2．(2023·山東日照）某正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為45°，則該正四棱錐的側(cè)面與底面的面積之比為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如圖，是正四棱錐的高，設(shè)底面邊長為，則底面積為，因?yàn)檎睦忮F的側(cè)棱與底面所成的角為，所以，又，所以，所以是正三角形，面積為，所以，即正四棱錐的側(cè)面與底面的面積之比為故選：D.3．(2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知中，，，是斜邊上的高，與繞旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積分別為和，則的值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題意得，，，過點(diǎn)作，垂足為，則，所以，，所以．故選：A.4．(2023·寧夏石嘴山·一模（文））過圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，交底面圓于，兩點(diǎn)，已知圓的半徑為，，，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如圖所示，在中因?yàn)榍宜詾檎切嗡运詧A錐的側(cè)面積故選：B5．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模（文））攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分．多見于亭閣式建筑，園林建筑．如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個(gè)圓錐，已知其軸截面(過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面)是底邊長為6m，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)膫?cè)面積約為(

)A． B． C． D．答案：B【解析】如圖所示為該圓錐軸截面，由題意，底面圓半徑為，母線，側(cè)面積πrl＝π×3×＝6﹒故選：B.6．(2023·江西·贛州市第三中學(xué)）斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，如圖給出了它的畫法：以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，…為邊的正方形依序拼成長方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.如果用圖中接下來的一段圓弧所對應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，那么該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)之和，即接下來的圓弧所在的扇形的半徑是3+5=8，對應(yīng)的弧長.設(shè)圓錐底面半徑為r，則，即r=2.該圓錐的表面積為.故選：B.7(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則（

）A．該圓臺的高為B．該圓臺軸截面面積為C．該圓臺的體積為D．一只小蟲從點(diǎn)沿著該圓臺的側(cè)面爬行到的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為答案：BCD【解析】如圖，作交于，易得，則，則圓臺的高為，A錯(cuò)誤；圓臺的軸截面面積為，B正確；圓臺的體積為，C正確；將圓臺一半側(cè)面展開，如下圖中，設(shè)為中點(diǎn)，圓臺對應(yīng)的圓錐一半側(cè)面展開為扇形，由可得，則，，又，則，即點(diǎn)到的中點(diǎn)所經(jīng)過的最短路程為，D正確.故選：BCD.8．(2023·湖北·武漢二中模擬預(yù)測）陀螺是中國民間的娛樂工具之一，也叫作陀羅.陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示，由一個(gè)同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長分別為，，r，且，設(shè)圓錐體的側(cè)面積和圓柱體的側(cè)面積分別為S1和S2，則___________.答案：【解析】由題意，圓錐的母線長為，則圓錐的側(cè)面積為，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得圓柱的側(cè)面積為，所以.故答案為：.題組二題組二柱錐臺的體積1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在正四棱錐中，，若正四棱錐的體積是8，則該四棱錐的側(cè)面積是（

）A． B． C．4 D．答案：C【解析】如圖，連接AC，BD，記，連接OP，所以平面ABCD.取BC的中點(diǎn)E，連接.因?yàn)檎睦忮F的體積是8，所以，解得.因?yàn)?，所以在直角三角形?，則的面積為，故該四棱錐的側(cè)面積是.故選：C2．(2023·湖北武漢·高三開學(xué)考試）2022年7月，臺風(fēng)“暹芭”登陸我國.某興趣小組為了解臺風(fēng)“暹芭”對本市降雨量的影響，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺形的容器接雨水.已知該容器上底直徑為56cm，下底直徑為24cm，容器深18cm，若容器中積水深9cm，則平地降雨量是（

）（注：平地降雨量等于容器中積水體積除以容器的上底面積）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm答案：B【解析】根據(jù)題意可得，容器下底面面積為，上底面面積為,因?yàn)槿萜髦蟹e水高度為容器高度的，則積水上底面恰為容器的中截面，所以積水上底直徑為cm，積水上底面面積為，所以積水體積為，則平地降雨量是cm.故選：B.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2，則下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．直線與為異面直線B．平面C．三棱錐的表面積為D．三棱錐的體積為答案：D【解析】因?yàn)槠矫?平面,平面,,所以直線與為異面直線,故A對.平面，平面，平面，故B對.,,所以三棱錐的表面積為，故C對.,故D錯(cuò).故選:D4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是3和9，且，則該圓臺的（

）A．高為 B．體積為C．表面積為 D．上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為答案：AC【解析】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，則，解得．圓臺的母線長，圓臺的高為，則選項(xiàng)正確；圓臺的體積，則選項(xiàng)錯(cuò)誤；圓臺的上底面積為，下底面積為，側(cè)面積為，則圓臺的表面積為，則正確；由前面可知上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．5．(2023·重慶）（多選）攢尖是中國傳統(tǒng)建筑表現(xiàn)手法，是雙坡屋頂形式之一，多用于面積不大的建筑，如塔、亭、閣等，常用于圓形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圓攢尖和多邊形攢尖．以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°，側(cè)棱長為米，則該正四棱錐的（

）A．底面邊長為4米 B．側(cè)棱與底面所成角的正弦值為C．側(cè)面積為平方米 D．體積為32立方米答案：BD【解析】如圖，在正四棱錐中，O為底面ABCD的中心，E為CD的中點(diǎn)，，設(shè)底面邊長為2a，正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為，所以，則，，，所以，即，可得．底面邊長為米，A錯(cuò)誤；側(cè)棱與底面所成角的正弦值為，B正確；側(cè)面積，C錯(cuò)誤；體積，D正確．故選：BD題組三題組三球的體積與表面積1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，一個(gè)四分之一球形狀的玩具儲物盒，若放入一個(gè)玩具小球，合上盒蓋，可放小球的最大半徑為.若是放入一個(gè)正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長為，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】設(shè)儲物盒所在球的半徑為，如圖，小球最大半徑滿足，所以，正方體的最大棱長滿足，解得：，∴，故選：D.2．(2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）如圖，在底面半徑為1，高為5的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切．一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓．則該橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．答案：C【解析】如圖所示，，，，則，∴，即，而，即，∴，∴．故選：C．3（2023·全國·高三專題練習(xí)）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為，圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設(shè)球半徑為，圓錐的底面半徑為，若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為，設(shè)母線為，則，所以直角圓錐的側(cè)面積為：，可得：，，圓錐的高，由，解得：，所以球的體積等于，故選：B4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）圓柱上、下底面的圓周都在一個(gè)體積為的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的體積為_______答案：【解析】球的半徑為，，解得，圓柱的高為：．可得．故答案為：．5．(2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）某球形巧克力設(shè)計(jì)了一種圓柱形包裝盒，每盒可裝7個(gè)球形巧克力，每盒只裝一層，相鄰的球形巧克力相切，與包裝盒接觸的6個(gè)球形巧克力與包裝盒相切，如圖是平行于底面且過圓柱母線中點(diǎn)的截面，設(shè)包裝盒的底面半徑為，球形巧克力的半徑為，每個(gè)球形巧克力的體積為，包裝盒的體積為，則________答案：【解析】由圖知，包裝盒的高為，因此，，又，所以.故答案為：6．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)棱長為a的正方體木塊可以在一個(gè)圓錐形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，若圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則a的最大值為______.答案：【解析】問題等價(jià)于求圓錐的內(nèi)切球的半徑r，由題意得：圓錐的軸截面為等邊三角形，且邊長為2，則內(nèi)切圓半徑為，即，所以，解得.故答案為：7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中