專題9.1直線與直線方程2

專題9.1直線與直線方程【核心素養(yǎng)】1.通過(guò)考查直線的斜率與傾斜角、考查直線方程的幾種形式，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2.通過(guò)考查兩直線的平行與垂直的判斷、兩直線的平行與垂直的條件的應(yīng)用、考查與充要條件、基本不等式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等相結(jié)合，以及考查直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)應(yīng)用的核心素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角①定義．當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸的正方向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.②范圍：傾斜角的范圍為．2．直線的斜率①定義．一條直線的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即，傾斜角是90°的直線沒(méi)有斜率．當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),,.②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式為.3.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率．傾斜角為90°的直線斜率不存在．、斜率k之間的大小變化關(guān)系：（1）當(dāng)時(shí)，越大，斜率越大；（2）當(dāng)時(shí)，越大，斜率越大.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二直線的方程：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為，則直線的方程為：.這個(gè)方程就叫做直線點(diǎn)斜式方程.特別地，直線過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為：.這個(gè)方程叫做直線的斜截式方程.直線過(guò)兩點(diǎn)其中，則直線的方程為：.這個(gè)方程叫做直線的兩點(diǎn)式方程.當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，所以直線方程為：；當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，直線方程為：.特別地，若直線過(guò)兩點(diǎn)，則直線的方程為：，這個(gè)方程叫做直線的截距式方程.關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程.由一般式方程可得，B不為0時(shí)，斜率，截距.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三兩條直線平行與垂直1．兩直線的平行關(guān)系(1)對(duì)于兩條不重合的直線，其斜率為，有.(2)對(duì)于兩條直線，有.2．兩條直線的垂直關(guān)系(1)對(duì)于兩條直線，其斜率為，有.(2)對(duì)于兩條直線，有.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四距離問(wèn)題1．兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)兩點(diǎn)，則.2．點(diǎn)到直線的距離公式設(shè)點(diǎn)，直線，則點(diǎn)到直線的距離.3．兩平行線間的距離公式設(shè)兩條平行直線，則這兩條平行線之間的距離.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)五兩條直線的交點(diǎn)1.兩條直線相交：對(duì)于兩條直線，若，則方程組有唯一解，兩條直線就相交，方程組的解就是交點(diǎn)的坐標(biāo).2.兩條直線，聯(lián)立方程組，若方程組有無(wú)數(shù)組解，則重合．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)六對(duì)稱問(wèn)題2．兩條直線的垂直關(guān)系(1)對(duì)于兩條直線，其斜率為，有.(2)對(duì)于兩條直線，有.3.中心對(duì)稱：點(diǎn)A(x0，y0)關(guān)于點(diǎn)P(m，n)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(2m－x0,2n－y0)；曲線(直線)f(x，y)＝0關(guān)于點(diǎn)P(m，n)對(duì)稱的曲線(直線)方程為f(2m－x,2n－y)＝0；特別地，點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(－x0，－y0)．4.軸對(duì)稱：（1）點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0的對(duì)稱點(diǎn)P0(x0，y0)，滿足如下關(guān)系：（2）特殊的軸對(duì)稱：（i）點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于x軸、y軸，x＝m，y＝n，y＝x，y＝－x，y＝x＋m，y＝－x＋n的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(x0，－y0)、(－x0，y0)、(2m－x0，y0)、(x0,2n－y0)、(y0，x0)、(－y0，－x0)、(y0－m，x0＋m)、(－y0＋n，－x0＋n)（ii）曲線(直線)f(x，y)＝0關(guān)于x軸，y軸，x＝m、y＝n、y＝x、y＝－x、y＝x＋m、y＝－x＋n對(duì)稱的曲線(直線)方程依次為：f(x，－y)＝0、f(－x，y)＝0、f(2m－x，y)＝0、f(x,2n－y)＝0、f(y，x)＝0、f(－y，－x)＝0、f(y－m，x＋m)＝0、f(－y＋n，－x＋n)＝0．?？碱}型剖析常考題型剖析題型一：直線的傾斜角與斜率【典例分析】例11．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）例12.（2023秋·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）直線的傾斜角是，則的值是（

）A． B． C． D．1【規(guī)律方法】1.求直線的斜率與傾斜角.若已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則直接利用斜率公式求斜率；若條件中給出一條直線，則求出直線上的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用斜率公式求斜率.求直線的傾斜角，則先求出直線的斜率，再利用求傾斜角.2.k是含參數(shù)的一個(gè)式子，則利用函數(shù)或不等式的方法求其范圍；若是給出圖形求斜率與傾斜角的范圍，則采用數(shù)開(kāi)結(jié)合的方法求其范圍．3.從高考題看，對(duì)直線斜率的考查，越側(cè)重其應(yīng)用.【變式訓(xùn)練】變式11.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線l的一個(gè)方向向量，則直線l的傾斜角是.變式12.（2020·北京·高考真題）為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門(mén)要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論：①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________________．題型二：直線的方程例21.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果，，那么直線不通過(guò)（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例22.【多選題】（2023秋·山西大同·高三大同市第三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線的方程可能是（

）A． B．C． D．【規(guī)律方法】求直線方程的常用方法：1.直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫(xiě)出方程．2.待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程．x(y)軸上的截距是直線與x(y)軸交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，所以截距是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)，也可為0，而不是距離．4.從高考命題看，側(cè)重于直線與圓、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的考查.【變式訓(xùn)練】變式21.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角變式22.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線l方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；題型三：兩條直線平行與垂直【典例分析】例31.（2022春·北京密云·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)直線的方向向量為，的法向量為，則“”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例32.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線：，：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【易錯(cuò)提醒】當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．【變式訓(xùn)練】變式31.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線，，若且，則的值為（

）A． B． C． D．2變式32.（2021·臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)高二期中）已知直線：，直線：，若，則_________若，則________題型四：距離問(wèn)題例41.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B．2 C． D．4例42.（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線距離的取值范圍是.【規(guī)律方法】?jī)煞N距離的求解思路(1)點(diǎn)到直線的距離的求法可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．(2)兩平行線間的距離的求法①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．②利用兩平行線間的距離公式(利用公式前需把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式)．【變式訓(xùn)練】變式41.（2019·江蘇高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線y=x+4x(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x變式42.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩條平行直線：，：間的距離為，則．題型五：兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題例51.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為，，直線l：與線段PQ的延長(zhǎng)線相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.例52.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在中，點(diǎn)，的角平分線為，邊上的中線所在直線的為，求邊所在直線l的一般式方程.【規(guī)律方法】求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點(diǎn)的坐標(biāo)．求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡(jiǎn)化解題過(guò)程．3.涉及兩直線的交點(diǎn)問(wèn)題，往往需借助于圖形，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，探索解題思路，這也是解析幾何中分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的重要特征.【變式訓(xùn)練】變式51.（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)定點(diǎn)A，且點(diǎn)，則直線的一個(gè)方向向量為．變式52.（2020秋·河北衡水·高三河北武強(qiáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)，到直線的距離相等，則直線的方程為.題型六：中心對(duì)稱問(wèn)題例61.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是（

）A． B．C． D．例62.（2023秋·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直線，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若直線上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【總結(jié)提升】1.以已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上2.已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直．【變式訓(xùn)練】變式61.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在直線上，直線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則一定在直線上的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．變式62.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中直線y＝2x＋1關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的直線方程是．題型七：軸對(duì)稱問(wèn)題例71.（浙江·高考真題（理））直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是（）A． B．C． D．例72.（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【總結(jié)提升】1.若直線與對(duì)稱軸平行，則在直線上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后用點(diǎn)斜式求解．2.若直線與對(duì)稱軸相交，則先求出交點(diǎn)，然后再取直線上一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，最后由兩點(diǎn)式求解【變式訓(xùn)練】變式71.（安徽·高考真題）已知直線．若直線與關(guān)于l對(duì)稱，則的方程是（

）A． B． C． D．變式72.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.題型八：對(duì)稱有關(guān)的最值問(wèn)題例81.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以為一個(gè)頂點(diǎn)，試在x軸上找一點(diǎn)B，直線l：上找一點(diǎn)C，構(gòu)成，則的最小周長(zhǎng)為.例82.（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知點(diǎn)，在直線和軸上各找一點(diǎn)和，使的周長(zhǎng)最小，并求出和兩點(diǎn)的坐標(biāo)．【概率方法】對(duì)稱有關(guān)的最值問(wèn)題解法：（1）在直線l上找一點(diǎn)P到直線兩側(cè)兩定點(diǎn)A、B的距離之和最小，則點(diǎn)P必在線段AB上，所以要將l同側(cè)的點(diǎn)利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為異側(cè)的點(diǎn)．（2）在直線l上找一點(diǎn)P到直線同側(cè)兩點(diǎn)A，B的距離之差最大，則點(diǎn)P必定在線段AB(或BA)的延長(zhǎng)線上，所以要將l異側(cè)的點(diǎn)利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為同側(cè)的點(diǎn)．簡(jiǎn)記為：異側(cè)和最小，同側(cè)差最大【變式訓(xùn)練】變式81.（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6變式82.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，在中，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．題型九：光線的反射問(wèn)題例91.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，從點(diǎn)處射出的光線經(jīng)x軸反射后，反射光線與平行，且點(diǎn)B到該反射光線的距離為，則實(shí)數(shù)．例92.（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，一束光線從原點(diǎn)射出，經(jīng)反射．(1)寫(xiě)出原點(diǎn)到反射光線距離的取值范圍（只寫(xiě)結(jié)果即可，不需要寫(xiě)出求解過(guò)程）；(2)若反射光線平分，求入射光線對(duì)應(yīng)的直線方程．【變式訓(xùn)練】變式91.（湖南·高考真題）在等腰直角三角形中，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點(diǎn)（如圖）.若光線經(jīng)過(guò)的重心，則等于（）A． B．C． D．變式92.，直線：(1)直線關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱直線的方程；(2)若光線沿直線照射到直線上后反射，求反射光線所在的直線的方程.一、單選題1．（2023·重慶·重慶南開(kāi)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1，這是一座斜拉索大橋，共有10對(duì)永久拉索，在索塔兩側(cè)對(duì)稱排列.如圖2，已知拉索上端相鄰兩個(gè)錨的間距約為4m，拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距，滿足，，以所在直線為軸，所在直線為軸，則最長(zhǎng)拉索所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線，則（）A．若，則B．若，則C．若與坐標(biāo)軸圍成的三角