第十章　計(jì)算原理、概率、隨機(jī)變量及其分布-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第一節(jié)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理[學(xué)習(xí)要求]1.理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.會(huì)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.[知識(shí)梳理]知識(shí)點(diǎn)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類(lèi)不同的方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.[小題診斷]1.中國(guó)人民解放軍東部戰(zhàn)區(qū)領(lǐng)導(dǎo)和指揮江蘇、浙江、上海、安徽、福建、江西的武裝力量.某日東部戰(zhàn)區(qū)下達(dá)命令，要求從江西或福建派出一架偵察機(jī)對(duì)臺(tái)海空域進(jìn)行偵查，已知江西有m架偵察機(jī)，福建有n架偵察機(jī)，則不同的分派方案共有（）A.m＋n種B.C.m種D.n種答案：A解析：根據(jù)題意，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，不同的分派方案共有（m＋n）種.2.由于用具簡(jiǎn)單、趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動(dòng)，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，其中也能把“炮”吃掉的可能路線有（）A.10條B.8條C.6條D.4條答案：C解析：由題意可知，“兵”吃掉“馬”的最短路線需橫走三步，豎走兩步；其中也能把“炮”吃掉的路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有3種走法；第二步，橫走一步，豎走一步，有2種走法.所以所求路線共有3×2＝6（條）.3.（易錯(cuò)題）如圖，從A城到B城有3條路；從B城到D城有4條路；從A城到C城有4條路，從C城到D城有5條路，則某旅客從A城到D城共有條不同的路線.答案：32考點(diǎn)一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理[例1]（2024·江蘇揚(yáng)州模擬）某人從一層上到二層需跨10級(jí)臺(tái)階，他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱(chēng)為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱(chēng)為二階步，最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱(chēng)為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有（）A.10種B.9種C.8種D.12種[答案]A[解析]按題意要求，不難驗(yàn)證這6步中不可能沒(méi)有三階步，也不可能有多于1個(gè)的三階步.因此，只能是1個(gè)三階步，2個(gè)二階步，3個(gè)一階步.為形象起見(jiàn)，以白、黑、紅三種顏色的球來(lái)記錄從一層到二層跨越10級(jí)臺(tái)階的過(guò)程：白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步，每一過(guò)程可表為3個(gè)白球、2個(gè)黑球、1個(gè)紅球的一種同色球不相鄰的排列.下面分三種情形討論.（1）第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側(cè)，此時(shí)，共有4個(gè)黑白球之間的空位放置紅球，所以此種情況共有4種可能的不同排列；（2）第1球不是白球.（?。┑?球?yàn)榧t球，則余下5球只有一種可能的排列；（ⅱ）若第1球?yàn)楹谇?，則余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，此種情形共有3種不同排列；（3）第6球不是白球，同（2），共有3種不同排列.總之，按題意要求從一層到二層共有4＋3＋3＝10種可能的不同過(guò)程.學(xué)生用書(shū)?第218頁(yè)?運(yùn)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)注意點(diǎn)121.如圖，某貨場(chǎng)有兩堆集裝箱，一堆2個(gè)，一堆3個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能取其中一堆最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過(guò)程中不同取法的種數(shù)是（）A.6B.10C.12D.24答案：B解析：將題圖中左邊的集裝箱從上往下分別記為1，2，3，右邊的集裝箱從上往下分別記為4，5.分兩種情況討論：若先取1，則有12345，12453，12435，14523，14235，14253，共6種取法；若先取4，則有45123，41235，41523，41253，共4種取法，故共有6＋4＝10種取法.考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理[例2]（2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬）某公園有如圖所示A至H共8個(gè)座位，現(xiàn)有2個(gè)男孩2個(gè)女孩要坐下休息，要求相同性別的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，則不同的坐法總數(shù)為（）ABCDEFGHA.168B.336C.338D.84[答案]B[解析]第一步：排男生，第一個(gè)男生在第一行選一個(gè)位置有四個(gè)位置可選，第二個(gè)男生在第二行有三個(gè)位置可選，由于兩名男生可以互換，故男生的排法有4×3×2＝24（種），第二步：排女生，若男生選AF，則女生有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7種選擇，由于女生可以互換，故女生的排法有2×7＝14（種），根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有24×14＝336（種）.?運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的三個(gè)注意點(diǎn)1232.（2024·河北石家莊模擬）教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，由一層到五層的走法有（）A.10種B.25種C.52種D.24種答案：D解析：每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有24種不同的走法.考點(diǎn)三兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用[例3]如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有個(gè).（用數(shù)字作答）[答案]40[解析]把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類(lèi)：第一類(lèi)，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32（個(gè)）.第二類(lèi)，有兩條公共邊的三角形共有8個(gè).由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，共有32＋8＝40（個(gè)）.?應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類(lèi)和分步.分類(lèi)要做到“不重不漏”，正確把握分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵；分步要做到“步驟完整”，步步相連能將事件完成，較復(fù)雜的問(wèn)題可借助圖表完成.3.如圖，用6種不同的顏色分別給圖中A，B，C，D四塊區(qū)域涂色.若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）A.400種B.460種C.480種D.496種答案：C解析：完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色.當(dāng)使用4種顏色時(shí)：從A開(kāi)始，有6種方法，B有5種，C有4種，D有3種，完成此事共有6×5×4×3＝360種方法；當(dāng)使用3種顏色時(shí)：A，D使用同一種顏色，從A，D開(kāi)始，有6種方法，B有5種，C有4種，完成此事共有6×5×4＝120種方法.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知不同的涂法有360＋120＝480（種）.學(xué)生用書(shū)?第417頁(yè)[A組基礎(chǔ)保分練]1.某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈(zèng)送方法共有（）A.4種B.10種C.18種D.20種答案：B解析：贈(zèng)送1本畫(huà)冊(cè)，3本集郵冊(cè)，需從4人中選取1人贈(zèng)送畫(huà)冊(cè)，其余贈(zèng)送集郵冊(cè)，有4種方法.贈(zèng)送2本畫(huà)冊(cè)，2本集郵冊(cè)，只需從4人中選出2人贈(zèng)送畫(huà)冊(cè)，其余2人贈(zèng)送集郵冊(cè)，有6種方法.由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可知，不同的贈(zèng)送方法共有4＋6＝10（種）.2.（2024·廣東汕頭模擬）電腦調(diào)色板有紅、綠、藍(lán)三種基本顏色，每種顏色的色號(hào)均為0～255.在電腦上繪畫(huà)可以分別從三種顏色的色號(hào)中各選一個(gè)配成一種顏色，那么在電腦上可配成的顏色種數(shù)為（）A.2563B.27C.2553D.6答案：A解析：分3步取色，第一、第二、第三次都有256種取法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共可配成256×256×256＝2563種顏色.3.（2024·山西太原模擬）現(xiàn)有拾圓、貳拾圓、伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成的幣值有（）A.3種B.6種C.7種D.8種答案：C解析：由題意得，三種幣值取一張，共有3種取法，幣值分別為拾圓、貳拾圓、伍拾圓；三種幣值取兩張，共有3種取法，幣值分別為叁拾圓、陸拾圓、柒拾圓；三種幣值全取，共有1種取法，幣值為捌拾圓.一共可以組成的幣值有3＋3＋1＝7（種）.4.數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲.如圖是數(shù)獨(dú)的一個(gè)簡(jiǎn)化版，由3行3列9個(gè)單元格構(gòu)成.玩該游戲時(shí)，需要將數(shù)字1，2，3（各3個(gè)）全部填入單元格，每個(gè)單元格填一個(gè)數(shù)字，要求每一行、每一列均有1，2，3這三個(gè)數(shù)字，則不同的填法有（）A.12種B.24種C.72種D.216種答案：A解析：先填第一行，有3×2×1＝6種不同填法，再填第二行第一列，有2種不同填法，當(dāng)該單元格填好后，其他單元格唯一確定.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，共有6×2＝12種不同的填法.5.（多選）現(xiàn)安排高二年級(jí)A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工廠，則下列說(shuō)法正確的是（）A.共有43種不同的安排方法B.若甲工廠必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種C.若A同學(xué)必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種D.若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種答案：ABD解析：對(duì)于A，A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)學(xué)生有4種選法，則三個(gè)學(xué)生有4×4×4＝43種選法，故A正確；對(duì)于B，三人到4個(gè)工廠，有43＝64種情況，其中甲工廠沒(méi)有人去，即三人全部到乙、丙、丁三個(gè)工廠的情況有33＝27（種），則甲工廠必須有同學(xué)去的安排方法有64－27＝37（種），故B正確；對(duì)于C，若同學(xué)A必須去甲工廠，剩下2名同學(xué)安排到4個(gè)工廠即可，有42＝16種安排方法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若三名同學(xué)所選工廠各不相同，有4×3×2＝24種安排方法，故D正確.6.如圖，a省分別與b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案種數(shù)為（）A.480B.600C.720D.840答案：C解析：依題意，按c與d涂的顏色相同和不同分成兩類(lèi)：若c與d涂同色，先涂d有5種方法，再涂a有4種方法，涂c有1種方法，涂e有3種方法，最后涂b有3種方法，由分步計(jì)數(shù)原理得到不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180（種），若c與d涂不同色，先涂d有5種方法，再涂a有4種方法，涂c有3種方法，涂e，b也各有3種方法，由分步計(jì)數(shù)原理得到不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540（種），所以，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720（種）.7.（2024·安徽宿州模擬）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)為（）A.12B.24C.36D.48答案：C解析：第1類(lèi)，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12＝24（個(gè)）；第2類(lèi)，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè).所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24＋12＝36（個(gè)）.8.（2024·福建南平質(zhì)檢）甲與其他四位同事各有一輛私家車(chē)，車(chē)牌尾數(shù)分別是9，0，2，1，5，為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定（奇數(shù)日車(chē)牌尾數(shù)為奇數(shù)的車(chē)通行，偶數(shù)日車(chē)牌尾數(shù)為偶數(shù)的車(chē)通行），五人商議拼車(chē)出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車(chē)，但甲的車(chē)最多只能用一天，則不同的用車(chē)方案種數(shù)為.答案：80解析：某月5日至9日，日期尾數(shù)分別為5，6，7，8，9，有3天是奇數(shù)日，2天是偶數(shù)日.第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有2×2＝4種用車(chē)方案；第二步，安排奇數(shù)日出行，分兩類(lèi)，第一類(lèi)，選1天安排甲的車(chē)，另外2天安排其他車(chē)，有3×2×2＝12種用車(chē)方案，第二類(lèi)，不安排甲的車(chē)，每天都有2種選擇，共有23＝8種用車(chē)方案，共計(jì)12＋8＝20種用車(chē)方案.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，不同的用車(chē)方案種數(shù)為4×20＝80.[B組能力提升練]9.（多選）（2024·山東濰坊模擬）現(xiàn)有4個(gè)興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說(shuō)法正確的是（）A.選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為30B.每組選1名組長(zhǎng)的選法種數(shù)為3024C.若推選2人發(fā)言，這2人需來(lái)自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335D.若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種答案：ABC解析：對(duì)于A，選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)：6＋7＋8＋9＝30，故A正確；對(duì)于B，每組選1名組長(zhǎng)的選法：6×7×8×9＝3024，故B正確；對(duì)于C，2人需來(lái)自不同的小組的選法：6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335，故C正確；對(duì)于D，依題意：若不考慮限制，每個(gè)人有4種選擇，共有43種選擇，若第一組沒(méi)有人選，每個(gè)人有3種選擇，共有33種選擇，所以不同的選法有：43－33＝37，故D錯(cuò)誤.學(xué)生用書(shū)?第418頁(yè)10.如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”平面模型，圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”（由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成），△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個(gè)三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色，且相鄰區(qū)域（即圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域）不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)是（）A.48B.54C.72D.108答案：C解析：設(shè)“趙爽弦圖”ABCD為①區(qū)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個(gè)三角形分別為②，③，④，⑤區(qū).第一步給①區(qū)涂色，有4種涂色方法.第二步給②區(qū)涂色，有3種涂色方法.第三步給③區(qū)涂色，有2種涂色方法.第四步給④區(qū)涂色，若④區(qū)與②區(qū)同色，⑤區(qū)有2種涂色方法.若④區(qū)與②區(qū)不同色，則④區(qū)有1種涂色方法，⑤區(qū)有1種涂色方法.所以共有4×3×2×（2＋1×1）＝72種涂色方法.11.幾只猴子在一棵枯樹(shù)上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝A，B，C；（2）乙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝G，A，C；（4）丁在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝B，D，H；（5）戊在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝I，C，E，則這九根樹(shù)枝從高到低不同的順序共有（）A.23種B.24種C.32種D.33種答案：D解析：不妨設(shè)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I代表樹(shù)枝的高度，九根樹(shù)枝從上至下共九個(gè)位置，根據(jù)甲依次撞擊到樹(shù)枝A，B，C；乙依次撞擊到樹(shù)枝D，E，F(xiàn)；丙依次撞擊到樹(shù)枝G，A，C；丁依次撞擊到樹(shù)枝B，D，H；戊依次撞擊到樹(shù)枝I，C，E，可得G＞A＞B，且G，A，B在前四個(gè)位置，C＞E＞F，D＞E＞F，且E，F(xiàn)一定排在后四個(gè)位置，（1）若I排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，前四個(gè)位置有4種排法，若第五個(gè)位置排C，則第六個(gè)位置一定排D，后三個(gè)位置共有3種排法，若第五個(gè)位置排D，則后四個(gè)位置共有4種排法，所以I排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置時(shí)，共有4×（3＋4）＝28種排法；（2）若I不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，則G，A，B，D按順序排在前四個(gè)位置，由于I＞C＞E＞F，所以后五個(gè)位置的排法就是H的不同排法，共5種排法，即若I不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置共有5種排法，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得，這九根樹(shù)枝從高到低不同的順序有28＋5＝33（種）.12.（2024·河北保定模擬）算籌是一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子，是中國(guó)古代用來(lái)記數(shù)、列式和進(jìn)行各種數(shù)與式演算的一種工具，是中國(guó)古代的一項(xiàng)偉大、重要的發(fā)明.在算籌計(jì)數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來(lái)表示數(shù)字，如表所示：用算籌計(jì)數(shù)法表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類(lèi)推，遇零則置空，知“＝｜”表示的三位數(shù)為；如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示能?整除的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.答案：62114解析：由題意，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)和圖形，知“＝｜”表示的三位數(shù)為621；共有5根算籌，要能被5整除，則個(gè)位數(shù)必須為0或5，①當(dāng)個(gè)位數(shù)為5時(shí)，不符合題意；②當(dāng)個(gè)位數(shù)為0時(shí)，則5根算籌全部放在十位和百位，若百位有1根，十位有4根，則共有1×2＝2個(gè)三位數(shù)；若百位有2根，十位有3根，則共有2×2＝4個(gè)三位數(shù)；若百位有3根，十位有2根，則共有2×2＝4個(gè)三位數(shù)；若百位有4根，十位有1根，則共有2×1＝2個(gè)三位數(shù)；若百位有5根，十位有0根，則共有2個(gè)三位數(shù).所以共有2＋4＋4＋2＋2＝14個(gè)三位數(shù).13.（2024·湖南懷化模擬）世界杯參賽球隊(duì)共32支，現(xiàn)分成8個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，決出16強(qiáng)（各組的前2名小組出線），這16支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，決出8強(qiáng)，再?zèng)Q出4強(qiáng)，直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進(jìn)行的總場(chǎng)數(shù)為.答案：64解析：因?yàn)?個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，每小組進(jìn)行6場(chǎng)小組賽，所以小組賽的場(chǎng)數(shù)為8×6＝48.因?yàn)?6支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，所以淘汰賽的場(chǎng)數(shù)為8＋4＋2＋2＝16，因此比賽進(jìn)行的總場(chǎng)數(shù)為48＋16＝64.14.若m，n均為非負(fù)整數(shù)，在做m＋n的加法時(shí)，各位均不進(jìn)位（例如：134＋3802＝3936），則稱(chēng)（m，n）為“簡(jiǎn)單的”有序數(shù)對(duì)，m＋n為有序數(shù)對(duì)（m，n）的值，那么值為1942的“簡(jiǎn)單的”有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是.答案：300解析：第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2種組合方式；第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10種組合方式；第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5種組合方式；第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3種組合方式.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，值為1942的“簡(jiǎn)單的”有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為2×10×5×3＝300.學(xué)生用書(shū)?第219頁(yè)第二節(jié)排列與組合[學(xué)習(xí)要求]1.理解排列、組合的概念.2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用排列、組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.[知識(shí)梳理]知識(shí)點(diǎn)一排列與排列數(shù)1.排列與排列數(shù)（1）排列：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)不同的元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.（2）排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)不同的元素，所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作An2.排列數(shù)公式及性質(zhì)（1）排列數(shù)公式Anm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋＝n?。╪－m)!（m，n∈N*（2）性質(zhì)：①Ann＝n②0?。?.知識(shí)點(diǎn)二組合與組合數(shù)1.組合與組合數(shù)（1）組合：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.（2）組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，所有不同組合的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作Cn2.組合數(shù)的公式及性質(zhì)（1）組合數(shù)公式Cnm＝Anm＝n！m!(n－m)!（m，n∈N（2）組合數(shù)性質(zhì)①Cn0＝1②Cnm＝③Cn+1m＝C[小題診斷]1.A42＋A.35B.47C.45D.57答案：B解析：A42＋C73＝4×32.從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男、女生都有的選法種數(shù)是（）A.18B.24C.30D.36答案：C解析：選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有C42C31＝18（種），選出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有C41C32＝12（種），故33.從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái)，其中至少有原裝計(jì)算機(jī)和組裝計(jì)算機(jī)各2臺(tái)，則不同的取法有種.答案：3504.將4名學(xué)生分別安排到甲、乙、丙三地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)地方至少安排一名學(xué)生參加，則不同的安排方案共有種.答案：36解析：第一步，先從4名學(xué)生中任取兩人組成一組，與剩下2人分成三組，有C42＝6種不同的方法；第二步，將分成的三組安排到甲、乙、丙三地，則有A33＝6種不同的方法.故共有6×6考點(diǎn)一排列問(wèn)題[例1]（1）（2024·江蘇南通模擬）某人將斐波那契數(shù)列的前6項(xiàng)“1，1，2，3，5，8”進(jìn)行排列設(shè)置數(shù)字密碼，其中兩個(gè)“1”必須相鄰，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有（）A.120種B.240種C.360種D.480種（2）（2024·江蘇揚(yáng)州模擬）為了強(qiáng)化學(xué)校的體育教育教學(xué)工作，提高學(xué)生身體素質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生之間的溝通，凝聚班級(jí)集體的力量，激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)體育的熱情.某中學(xué)舉辦田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班從甲、乙等6名學(xué)生中選4名學(xué)生代表班級(jí)參加學(xué)校4×100米接力賽，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都參加的不同棒次安排方案總數(shù)為（）A.48B.36C.24D.12[答案]（1）A（2）B[解析]（1）將兩個(gè)1捆綁在一起，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有A55＝120（種（2）當(dāng)甲排第1棒時(shí)，乙可排第2棒或第4棒，共有A21A42＝當(dāng)甲排第2棒時(shí)，乙只能排第4棒，共有A42＝12（種故甲、乙都參加的不同棒次安排方案總數(shù)為24＋12＝36（種）.學(xué)生用書(shū)?第220頁(yè)?解決排列問(wèn)題的主要方法1.4個(gè)男生，3個(gè)女生站成一排.（1）3個(gè)女生必須排在一起，有多少種不同的排法？（2）任何兩個(gè)女生彼此不相鄰，有多少種不同的排法？（3）甲、乙二人之間恰好有三個(gè)人，有多少種不同的排法？解：（1）先排3個(gè)女生作為一個(gè)元素與其余的4個(gè)元素做全排列有A33A55＝（2）男生排好后，5個(gè)空再插女生有A44A53＝（3）甲、乙先排好后，再?gòu)钠溆嗟?人中選出3人排在甲、乙之間，把排好的5個(gè)元素與最后的2個(gè)元素全排列，分步有A22A53A考點(diǎn)二組合問(wèn)題[例2]（1）（2024·江蘇南通模擬）如圖，湖面上有4個(gè)小島A，B，C，D，現(xiàn)要建3座橋梁，將這4個(gè)小島聯(lián)通起來(lái)，則所有不同的建橋方案種數(shù)為（）A.6B.16C.18D.20（2）（2024·江蘇揚(yáng)州模擬）某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步走完，則第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為（）A.17B.C.37D.[答案]（1）B（2）C[解析]（1）由題意可知，四個(gè)小島兩兩相連，共有AB，AC，AD，BC，BD，CD6座橋梁，從中任選3座橋梁共有C63＝其中選擇{AB，AC，AD}、{AB，BC，BD}、{AC，BC，CD}、{AD，BD，CD}四種不行，因此，共有20－4＝16種不同的方案.（2）10級(jí)臺(tái)階要用7步走完，則4步是上一級(jí)，三步是上兩級(jí)，共C73＝7×若第二步走兩級(jí)臺(tái)階，則其余6步中有兩步是上兩級(jí)，共C62＝6×所以第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為1535＝3?組合問(wèn)題常有以下兩類(lèi)題型1將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.2逆向思維，用間接法處理.2.某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.（1）其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？（2）其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？（3）恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？（4）至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？（5）至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？解：（1）從余下的34種商品中，選取2種有C342＝所以某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種.（2）從34種可選商品中，選取3種，有C343種或者C353－C342所以某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種.（3）從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有C201C15所以恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種.（4）選取2種假貨有C201C152種，選取3種假貨有C153種，共有選取方式C201C152所以至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種.（5）法一（間接法）：選取3種的總數(shù)為C353，因此共有選取方式C353－C153＝6545－455所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.法二（直接法）：共有選取方式C203＋C202C151＋所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.學(xué)生用書(shū)?第221頁(yè)考點(diǎn)三排列與組合的綜合問(wèn)題?角度（一）相鄰、相間問(wèn)題[例3]（2024·江蘇淮安模擬）3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少與1名女生相鄰，則共有種站法.[答案]96[解析]由題意排除兩名男生相鄰且排在兩端即得結(jié)果，排法數(shù)為A55－2A?12?角度（二）定序問(wèn)題[例4]有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列（不一定相鄰），不同的排法共有種.[答案]840[解析]7名學(xué)生的排列共有A77種，其中女生的排列共有A33種，按照從左到右，女生從矮到高的排列只是其中的一種，故有A77?對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.?角度（三）分組、分配問(wèn)題[例5]（2024·江蘇徐州模擬）六名教師隨機(jī)分配到三所學(xué)校任教，每個(gè)學(xué)校分配兩名教師，則甲、乙被分配到同一所學(xué)校的概率為（）A.15B.14C.13[答案]A[解析]六名教師隨機(jī)分配到三所學(xué)校任教，每個(gè)學(xué)校分配兩名教師有C62C42甲、乙被分配到同一所學(xué)校有C42C22則甲、乙被分配到同一所學(xué)校的概率為1890＝1?分組分配問(wèn)題的三種類(lèi)型及求解策略3.（多選）有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，正確的是（）A.全體站成一排，女生必須站在一起有144種排法B.全體站成一排，男生互不相鄰有1440種排法C.任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種D.全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種排法答案：BCD解析：對(duì)于A，將女生看成一個(gè)整體，考慮女生之間的順序，有A4再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列，有A4故共有A44·A44＝對(duì)于B，先排女生，將4名女生全排列，有A4再安排男生，由于男生互不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生，有A5故共有A44·A53＝對(duì)于C，任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有C73×2×1＝70（種），故對(duì)于D，若甲站在排尾，則有A66種排法，若甲不站在排尾，則有故共有A66＋A51A54.（多選）已知A，B，C，D，E五個(gè)人并排站在一起，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若A，B不相鄰，共有72種排法B.若A不站在最左邊，B不站在最右邊，有72種排法C.若A在B右邊有60種排法D.若A，B兩人站在一起有48種排法答案：ACD解析：對(duì)于A，若A，B不相鄰，共有A33A42＝72（對(duì)于B，若A不站在最左邊，B不站在最右邊，利用間接法有A55－2A44＋A3對(duì)于C，若A在B右邊有A55A22對(duì)于D，若A，B兩人站在一起有A22A44＝5.（2024·江蘇南京模擬）某學(xué)校有6個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組，每個(gè)小組都配備1位指導(dǎo)老師，現(xiàn)根據(jù)工作需要，學(xué)校準(zhǔn)備將其中4位指導(dǎo)老師由原來(lái)的小組均相應(yīng)的調(diào)整到其他興趣小組，其余的2位指導(dǎo)老師仍在原來(lái)的興趣小組（不作調(diào)整），如果調(diào)整后每個(gè)興趣小組仍配備1位指導(dǎo)老師，則不同的調(diào)整方案為（）A.135種B.360種C.90種D.270種答案：A解析：根據(jù)題意，6個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組有位指導(dǎo)老師仍在原來(lái)的興趣小組，則不做調(diào)整的兩個(gè)小組有C62＝其余的4個(gè)小組的指導(dǎo)老師由原來(lái)的小組均相應(yīng)地調(diào)整到其他數(shù)學(xué)興趣小組，假設(shè)4個(gè)小組為1，2，3，4，對(duì)應(yīng)的4位指導(dǎo)老師依次為A，B，C，D，A不能在第1小組，有3種情況，假設(shè)A分到第2小組，則B有3種情況，剩下的兩人有1種情況，則其余的4個(gè)小組有3×3＝9種調(diào)整方案，故有15×9＝135種調(diào)整方案.學(xué)生用書(shū)?第419頁(yè)[A組基礎(chǔ)保分練]1.（2024·山西晉中模擬）（x－2）（x－3）（x－4）…（x－15）x∈A.Ax－213C.Ax－15答案：B解析：x－2＝x＝x－2！x－2.若Am3＝6CmA.9B.8C.7D.6答案：C解析：因?yàn)锳m3＝6Cm4，所以m（m－1）（m－2）＝即1＝m－34，解得3.（2024·福建廈門(mén)模擬）將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法有（）A.240種B.180種C.150種D.540種答案：C解析：5名學(xué)生可分成2，2，1和3，1，1兩種形式，當(dāng)5名學(xué)生分成2，2，1時(shí)，共有12C52C32A33＝90種方法，當(dāng)5名學(xué)生分成3，1，1時(shí)，共有C4.（2024·江蘇鹽城一模）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）A.144個(gè)B.120個(gè)C.96個(gè)D.72個(gè)答案：B解析：根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4，5其中1個(gè)，末位數(shù)字為0，2，4中其中1個(gè)；分兩種情況討論：①首位數(shù)字為5時(shí)，末位數(shù)字有3種情況，在剩余的4個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，放在剩余的3個(gè)位置上，有A43＝24種情況，此時(shí)有3×24＝72（個(gè)②首位數(shù)字為4時(shí)，末位數(shù)字有2種情況，在剩余的4個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，放在剩余的3個(gè)位置上，有A43＝24種情況，此時(shí)有2×24＝48（個(gè)共有72＋48＝120（個(gè)）.5.（2024·浙江寧波模擬）某地環(huán)保部門(mén)召集6家企業(yè)的負(fù)責(zé)人座談，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余5家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為（）A.15B.30C.35D.42答案：B解析：由于甲有兩個(gè)人參加會(huì)議需要分兩類(lèi)：含有甲的選法有C21C52種，不含有甲的選法有C53種，共有6.（多選）（2024·江蘇南京模擬）下列關(guān)于排列組合數(shù)的等式或說(shuō)法正確的有（）A.C33＋C43＋CB.已知n＞m，則等式Cnmm+1＝CnC.設(shè)x＝A9090×2A3D.等式（Cn0）2＋（Cn1）2＋（Cn2）2＋…＋（Cn答案：ABD解析：對(duì)A：由Cnm＋CnC33＋C43＋C53＋…＋C103＝C44＋C43＋C5A正確；對(duì)B：若n＞m，則Cnm＝（n+1)!B正確；對(duì)C：∵n－1Ann＝n－1n?。?（n－1)!－1則2A33＋3A44＋4A55＋…＋89A90故x＝A9090×2A33＋3A4∵A90902＝90！2＝45故x＝A90902－1的個(gè)位數(shù)字是9對(duì)D：∵（1＋x）n的展開(kāi)式通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Cnr×1n－r×xr＝Cnr·xr，r＝0，1，2，…，n，∴（1＋x）n＝Cn0＋C故（x＋1）n（x＋1）n展開(kāi)式的xn的系數(shù)為Cn0Cnn＋Cn1Cnn－1＋…＋CnnCn0.又∵Cnm＝Cnn－m同理可得：（1＋x）2n的展開(kāi)式通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C2nr×12n－r×xr＝C2nr·xr，r＝0，1，2，…，2n，即展開(kāi)式的x由于（x＋1）n（x＋1）n＝（1＋x）2n，故（Cn0）2＋（Cn1）2＋（Cn2）2＋…＋（Cnn7.4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（）A.36B.72C.81D.144答案：D解析：由題意先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到3名女生之間的4個(gè)空位上，故共有A33A44＝6×8.（多選）某中學(xué)為提升學(xué)生勞動(dòng)意識(shí)和社會(huì)實(shí)踐能力，利用周末進(jìn)社區(qū)義務(wù)勞動(dòng).高三一共有6個(gè)班，其中只有1班有2個(gè)勞動(dòng)模范，本次義務(wù)勞動(dòng)一共有20個(gè)名額，勞動(dòng)模范必須參加并不占名額，每個(gè)班都必須有人參加，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若1班不再分配名額，則共有C20B.若1班有除勞動(dòng)模范之外的學(xué)生參加，則共有C19C.若每個(gè)班至少3人參加，則共有90種分配方法D.若每個(gè)班至少3人參加，則共有126種分配方法答案：BD解析：對(duì)于A，若1班不再分配名額，則20個(gè)名額分配到5個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)，根據(jù)插空法，將其分成5組，則共有C194種分配方法，故對(duì)于B，若1班有除勞動(dòng)模范之外的學(xué)生參加，則20個(gè)名額分配到6個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)，根據(jù)插空法，將其分成6組，則共有C195種分配方法，故對(duì)于C、D，若每個(gè)班至少3人參加，相當(dāng)于16個(gè)名額被占用，還有4個(gè)名額需要分到6個(gè)班級(jí)，分5類(lèi)：①4個(gè)名額分到一個(gè)班，有6種；②一個(gè)班3個(gè)名額，一個(gè)班1個(gè)名額，有C61C51＝30（種）；③兩個(gè)班都是2個(gè)名額，有C62＝15（種）；④兩個(gè)班1個(gè)名額，一個(gè)班2個(gè)名額，有C61C52＝60（種）；⑤四個(gè)班都是1個(gè)名額，有C69.2023年成都大運(yùn)會(huì)期間，5名同學(xué)到4個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有（）A.60種B.120種C.240種D.480種答案：C解析：先將5名同學(xué)分為4組，其中1組有2名，另外3組各1名，共有C52＝10種分法，然后將這4組全排列，共有A44＝24種排法，則不同的安排方法共有10×24＝24010.（2024·江蘇南京聯(lián)考）某校有4名同學(xué)到三個(gè)社區(qū)參加新時(shí)代文明實(shí)踐宣傳活動(dòng)，要求每名同學(xué)只去1個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少安排1名同學(xué)，則甲、乙2人被分配到同一個(gè)社區(qū)的概率為.答案：1解析：先將4名同學(xué)中的2名同學(xué)看作一組，選法有C42種，另外兩組各則總分法有C4其中甲、乙2人被分配到同一個(gè)社區(qū)的分法有A3則甲、乙2人被分配到同一個(gè)社區(qū)的概率為P＝A33C[B組能力提升練]11.（2024·江蘇揚(yáng)州模擬）大約公元前300年，歐幾里得在他所著《幾何原本》中證明了算術(shù)基本定理：每一個(gè)比1大的數(shù)（每個(gè)比1大的正整數(shù)）要么本身是一個(gè)素?cái)?shù)，要么可以寫(xiě)成一系列素?cái)?shù)的乘積，如果不考慮這些素?cái)?shù)在乘積中的順序，那么寫(xiě)出來(lái)的形式是唯一的，即任何一個(gè)大于1的自然數(shù)N（N不為素?cái)?shù)）能唯一地寫(xiě)成N＝p1a1·p2a2…pkak（其中pi是素?cái)?shù)，ai是正整數(shù)，1≤i≤k，p1＜p2＜…＜pk，將上式稱(chēng)為自然數(shù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式，且N的標(biāo)準(zhǔn)分解式中有a1＋a2＋…＋A.6B.13C.19D.60答案：C解析：根據(jù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式可得360＝23×32×5，故從2，2，2，3，3，5這6個(gè)素?cái)?shù)中任取3個(gè)組成三位數(shù)，有下列三種情況：①選取3個(gè)2，可以組成1個(gè)三位數(shù)；②選取2個(gè)2后，再?gòu)?或5中選一個(gè)，可以組成C21×C3③選取1個(gè)2后，再選2個(gè)3，可以組成C31·C2④選取2，3，5，可以組成A33＝⑤選取3，3，5，可以組成C31＝所以從120的標(biāo)準(zhǔn)分解式中任取3個(gè)素?cái)?shù)，一共可以組成1＋6＋3＋6＋3＝19個(gè)不同的三位數(shù).12.（2024·江蘇鹽城模擬）某藝術(shù)團(tuán)為期三天公益演出，其表演節(jié)目分別為歌唱、民族舞、戲曲、演奏、舞臺(tái)劇、爵士舞，要求歌唱與民族舞不得安排在同一天進(jìn)行，每天至少進(jìn)行一類(lèi)節(jié)目.則不同的演出安排方案共有（）A.720種B.3168種C.1296種D.5040種答案：D解析：①若三天演出項(xiàng)目數(shù)量為2，2，2，所有的安排方法數(shù)為C62C42歌唱與民族舞安排在同一天進(jìn)行有3×C42C22則三天演出項(xiàng)目數(shù)量為2，2，2的安排方法數(shù)為：C62C42C22×（A22）3－②若三天演出項(xiàng)目數(shù)量為3，2，1，所有的安排方法數(shù)為C63C32C11歌唱與民族舞安排在第一天進(jìn)行有C41C32C11歌唱與民族舞安排在第二天進(jìn)行有C43C11×A3則三天演出項(xiàng)目數(shù)量為3，2，1的安排方法數(shù)為：C63C32C11×A33×（A33×A22）－C41C③若三天演出項(xiàng)目數(shù)量為4，1，1，所有的安排方法數(shù)為C64×A33歌唱與民族舞安排在第一天進(jìn)行有C42×A33則三天演出項(xiàng)目數(shù)量為4，1，1的安排方法數(shù)為：C64A33×（A44）－C綜上所述，不同的演出安排方案共有576＋3168＋1296＝5040（種）.學(xué)生用書(shū)?第420頁(yè)13.（2024·江蘇蘇州模擬）把分別標(biāo)有1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)的4個(gè)不同的小球放入分別標(biāo)有1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)的3個(gè)盒子中，沒(méi)有空盒子且任意一個(gè)小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號(hào)的盒子中，則不同的放球方法種數(shù)為（）A.8B.12C.16D.20答案：B解析：4個(gè)小球放入3個(gè)盒子，沒(méi)有空盒子，則有兩個(gè)小球放入同一個(gè)盒子，因此分為兩類(lèi)：第一類(lèi)：4號(hào)小球單獨(dú)放入一個(gè)盒子，分2步：第1步，從1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)3個(gè)小球中，選出2個(gè)小球，放入與未被選中小球標(biāo)號(hào)相同的盒子中，有C3第2步，將未被選中的小球和4號(hào)小球，分別放入另外2個(gè)盒子中，有A22∴4號(hào)小球單獨(dú)放入一個(gè)盒子，有C32A22＝3×例如：第1步，選出2號(hào)、3號(hào)小球放入1號(hào)盒；第2步，1號(hào)小球放入2號(hào)盒，4號(hào)小球放入3號(hào)盒.第二類(lèi)：4號(hào)小球與另一小球共同放入一個(gè)盒子，分2步：第1步，從1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)3個(gè)小球中，選出1個(gè)小球，有C3第2步，將4號(hào)小球與第1步選出的小球放入與選出小球標(biāo)號(hào)不同的盒子中，有C2第3步，剩余的2個(gè)小球，其中1個(gè)，與剩余的兩個(gè)空盒其中的1個(gè)標(biāo)號(hào)相同，只有1方法放置.∴4號(hào)小球與另一小球共同放入一個(gè)盒子，有C31C21×1＝3×例如：第1步，選出1號(hào)球；第2步，將1號(hào)、4號(hào)小球放入2號(hào)盒；第3步，2號(hào)小球放入3號(hào)盒，3號(hào)小球放入1號(hào)盒.∴沒(méi)有空盒子且任意一個(gè)小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號(hào)的盒子中，則不同的放球方法種數(shù)為6＋6＝12.14.2023年暑假，5位老師去某風(fēng)景區(qū)游玩，現(xiàn)有“垂云通天河”“嚴(yán)子陵釣臺(tái)”這兩處風(fēng)景供選擇，若每位老師只能選取其中的一處風(fēng)景且每處風(fēng)景最多被3位老師選擇，則不同的選擇方案共有種.（用數(shù)字作答）答案：20解析：依題意得，5位教師中有3位選取其中的一處風(fēng)景游玩，另2位教師選擇另一處風(fēng)景游玩.故可分兩步：第一步：將5位老師分為兩組，一組3人，一組2人，共有C5第二步：將兩組分配到兩處風(fēng)景，共有A22根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有C53A215.若將5名志愿者安排到三個(gè)學(xué)校進(jìn)行志愿服務(wù)，每人只去一個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少去一人，則不同的分配方案共有種.（用數(shù)字作答）答案：150解析：由題意得，三個(gè)學(xué)?？煞值玫闹驹刚呷藬?shù)分別為3，1，1或2，2，1，當(dāng)三個(gè)學(xué)校可分得的志愿者人數(shù)分別為3，1，1時(shí)，分配方案有C53A當(dāng)三個(gè)學(xué)?？煞值玫闹驹刚呷藬?shù)分別為2，2，1時(shí)，分配方案有C52C綜上，不同的分配方案有60＋90＝150種.16.數(shù)字1，2，3，4，5，6按如圖形式隨機(jī)排列，設(shè)第一行的數(shù)為N1，其中N2，N3分別表示第二、三行中的最大數(shù)，則滿足N1＜N2＜N3的所有排列的個(gè)數(shù)是.答案：240解析：（元素優(yōu)先法）由題意知6必在第三行，安排6有C31種方法，第三行中剩下的兩個(gè)空位安排數(shù)字有A52種方法，在留下的三位數(shù)字中，必有一個(gè)最大數(shù)，把這個(gè)最大數(shù)安排在第二行，有C2117.把座位編號(hào)為1，2，3，4，5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）答案：96解析：先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人一張，一人兩張，且分得的票必須是連號(hào)，相當(dāng)于將1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)用3個(gè)板子隔開(kāi)，分為四部分且不存在三連號(hào).在4個(gè)空位插3個(gè)板子，共有C43＝4（種）分法，再對(duì)應(yīng)到4個(gè)人，有A44＝24（種）分法，則共有4×24＝96（18.（2024·江蘇徐州模擬）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Snn＝an＋1，a（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）集合A＝{a1，a2，…，an}，將集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為T(mén)n，求Tn.解：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝a1＋1，則a1＝1，且a2＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn＝nan＋n，2Sn－1＝（n－1）an－1＋n－1，兩式相減得2an＝nan－（n－1）an－1＋1，∴（n－2）an－（n－1）an－1＝－1（n≥2），∴當(dāng)n≥3時(shí)，ann－1－an－1n－2＝－1（n則ann－1－1n－1＝a23－2綜上，an＝n對(duì)任意n∈N*都成立.（2）A＝{a1，a2，…，an}＝{1，2，3，…，n}，集合A的非空子集有2n－1個(gè)，其中最小元素為1的集合中，含1個(gè)元素的集合有1個(gè)，含2個(gè)元素的集合有Cn含3個(gè)元素的集合有Cn－12個(gè)，…，含所以最小元素為1的子集個(gè)數(shù)為Cn－10＋Cn－11＋C同理，最小元素為2的子集個(gè)數(shù)為Cn－20＋Cn－21＋C…，最小元素為n的子集個(gè)數(shù)為1個(gè)，∴Tn＝1×2n－1＋2×2n－2＋…＋（n－1）×2＋n×1，12Tn＝1×2n－2＋…＋（n－2）×2＋（n－1）×1＋n×1∴12Tn＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1－n2＝1－2n1－2－n2＝2n－1－n2，則T學(xué)生用書(shū)?第222頁(yè)第三節(jié)二項(xiàng)式定理[學(xué)習(xí)要求]能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.[知識(shí)梳理]知識(shí)點(diǎn)一二項(xiàng)式定理1.二項(xiàng)式定理（1）定理：公式（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnb（2）通項(xiàng)：Tk＋1＝Cnkan－kbk為展開(kāi)式的第k＋12.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)（1）二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)Cnk（k∈（2）項(xiàng)的系數(shù)：項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包含符號(hào)等，與二項(xiàng)式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念.知識(shí)點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱(chēng)性與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Cnm增減性當(dāng)k＜n+1當(dāng)k＞n+1最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)第n2+1當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)第n+12+1項(xiàng)2.各二項(xiàng)式系數(shù)的和（a＋b）n的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cn二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝Cn0＋C[小題診斷]1.1x－x10A.45B.20C.－30D.－90答案：A2.（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是（）A.60B.80C.84D.120答案：D解析：（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是C22＋C32＋因?yàn)镃nm－1＋Cnm＝Cn+1m且C22＝C所以C22＋C32＋C42＝以此類(lèi)推，C22＋C32＋C42＋…＋C92＝C3.若x＋1xn展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為答案：20解析：由x＋1xn的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n＝64可知n＝6，所以x＋1xn的通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝C6rx6－r1xr＝C6rx6－2r，令4.已知在二項(xiàng)式（x＋a）5展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為80，則a＝.答案：2解析：（x＋a）5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝C5rx5－rar，所以x2的系數(shù)為C53a3＝80學(xué)生用書(shū)?第223頁(yè)考點(diǎn)一通項(xiàng)公式的應(yīng)用?角度（一）形如（a＋b）n（n∈N*）的展開(kāi)式的特定項(xiàng)[例1]二項(xiàng)式2x－A.－160B.60C.120D.240[答案]B[解析]2x－1x6展開(kāi)式的通項(xiàng)為：Tk＋1＝C6k2x6－k－令6－32k＝0得k＝4所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C46×22×－?與二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)有關(guān)問(wèn)題的解題策略12項(xiàng)得出?角度（二）形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展開(kāi)式問(wèn)題[例2]（2022·新高考Ⅰ卷）1－yx（x＋y）8的展開(kāi)式中x2y6的系數(shù)為[答案]－28[解析]（x＋y）8的展開(kāi)式中x2y6的系數(shù)為C86＝28，x3y5的系數(shù)為C85＝56，因此1－yx（x＋y）8的展開(kāi)式中x2y?在求多個(gè)因式的乘積的展開(kāi)式中特定項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，弄清特定項(xiàng)可以由各因式中的哪些項(xiàng)相乘得到.?角度（三）形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展開(kāi)式問(wèn)題[例3]（x2－x＋1）10展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為（）A.－210B.210C.30D.－30[答案]A[解析]（x2－x＋1）10＝[x2－（x－1）]10＝C100（x2）10－C101（x2）9（x－1）＋…－C109x2（x－1）9＋C1010（x－1）10，所以含x3項(xiàng)的系數(shù)為?對(duì)于三項(xiàng)式問(wèn)題，一般是通過(guò)合并、拆分或進(jìn)行因式分解，轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式定理的形式去求解，或看成幾個(gè)因式的乘積，再利用組合數(shù)公式求解.1.（2024·山東煙臺(tái)模擬）（1－2x）8展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為（）A.28B.－28C.112D.－112答案：C解析：（1－2x）8展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)k＋1＝C8k（－2x）k＝（－要求x項(xiàng)的系數(shù)，只需k2＝1，解得k＝2所以x項(xiàng)系數(shù)為（－2）2C82＝4×82.已知（1＋x）x＋1x2n（n∈N*，nA.6B.7C.8D.9答案：B解析：∵（1＋x）x＋1x2n（n∈N*，n＜10）的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，∴x＋1x2n的展開(kāi)式中沒(méi)有x－1項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng).∵x＋1x2n的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Cnr·xn－3r（r＝0，1，2，…，n），故n－3r≠0，且n－3r≠－1，即n≠3r，且n≠3r－1，∴n≠3.（2024·福建廈門(mén)模擬）在1+x＋1xA.10B.30C.45D.120答案：C解析：因?yàn)?+x＋1x202410＝（1+x）＋1x202410＝（1＋x）10＋C101（1＋x）91x2考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和的問(wèn)題[例4]（1）x－2xn的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為A.112B.－112C.60D.－60（2）若（1－x）9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，則｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜a9｜＝（）A.1B.513C.512D.511（3）（2022·浙江卷）已知多項(xiàng)式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a2＝，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝.[答案]（1）A（2）D（3）8－2[解析]（1）由題意2n＝256，n＝8.Tr＋1＝C8r（x）8－r－2xr＝（－2）rC8rx4－32所以含x項(xiàng)的系數(shù)是（－2）2C82（2）令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜a9｜＝[1－（－1）]9－1＝29－1＝511.（3）由（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，知含x2的項(xiàng)是由x＋2中的x和2分別與（x－1）4的展開(kāi)式中含x和x2的項(xiàng)相乘后再相加得到的，所以a2＝C43（－1）3＋2C42（－1對(duì)于（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝0，得a0＝2×（－1）4＝2；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.學(xué)生用書(shū)?第224頁(yè)?求二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)和的常用方法1開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令2數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為4.已知（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：（1）a1＋a2＋…＋a7；（2）a1＋a3＋a5＋a7；（3）a0＋a2＋a4＋a6；（4）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜.解：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1. ①令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37. ②（1）∵a0＝C70＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7（2）（①－②）÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－（3）（①＋②）÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1+37（4）法一：∵在（1－2x）7的展開(kāi)式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＝（a0＋a2＋a4＋a6）－（a1＋a3＋a5＋a7）＝1093－（－1094）＝2187.法二：｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜即為（1＋2x）7展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和，令x＝1，則｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＝37＝2187.考點(diǎn)三系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題[例5]（2021·上海卷）已知（1＋x）n的展開(kāi)式中，唯有x3的系數(shù)最大，則（1＋x）n的系數(shù)和為.[答案]64[解析]由題意知，C則n解得5＜n＜7.又n∈N，因此n＝6.設(shè)（1＋x）6＝a0x6＋a1x5＋a2x4＋…＋a5x＋a6，令x＝1，則（1＋x）6的系數(shù)和為a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26＝64.?二項(xiàng)式系數(shù)最大問(wèn)題，可依據(jù)如求（數(shù)分別為5.已知m為正整數(shù)，（x＋y）2m的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，（x＋y）2m＋1的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m＝（）A.5B.6C.7D.8答案：B解析：由題意可知，a＝C2mm，b＝∵13a＝7b，∴13·（2m)!m！m?。?·（2m+1)!二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用?角度（一）整除問(wèn)題、余數(shù)問(wèn)題[例1]設(shè)a∈Z且0≤a＜13.若512012＋a能被13整除，則a＝（）A.0B.1C.11D.12[答案]D[解析]512012＋a＝（52－1）2012＋a＝C20120×522012－C20121×522011＋…＋C20122011×52×（－1）2011＋C20122012×（－1）2012＋a，∵C20120×522012－C20121×522011＋…＋C20122011?用二項(xiàng)式定理處理整除問(wèn)題，通常把冪的底數(shù)寫(xiě)成除數(shù)（或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù)）與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，只考慮后面一、二項(xiàng)（或者是某些項(xiàng)）即可.?角度（二）近似計(jì)算問(wèn)題[例2]0.995的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是（）A.0.950B.0.951C.0.952D.0.953[答案]B[解析]0.995＝（1－0.01）5＝C50×1－C51×0.01＋C52×（0.01）2－C53×（0.01）3＋…－C55×（0.01）5＝1－0.05學(xué)生用書(shū)?第225頁(yè)?由（x1.1－90C101＋902C102－903C103＋…＋（－1）k90kC10A.－1B.1C.－87D.87答案：B解析：由題意1－90C101＋902C102－903C103＋…＋（－1）k90kC10k＋…＋9010C1010＝（1－90）10＝8910＝（1＋88）10＝C100＋C10188＋C102882＋…＋C1010882.求1.028的近似值（小數(shù)點(diǎn)后保留三位小數(shù)）.解：1.028＝（1＋0.02）8＝1＋C81×0.02＋C82×0.022＋C83×0.023＋…＋C學(xué)生用書(shū)?第421頁(yè)[A組基礎(chǔ)保分練]1.二項(xiàng)式x－1x12A.－462B.462C.792D.－792答案：D解析：x－1x12展開(kāi)式的通項(xiàng)為C12kx12－k－1kx－k＝－1k令12－2k＝2，解得k＝5，所以x2項(xiàng)的系數(shù)是－152.（1＋x）8（1＋y）4的展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)是（）A.56B.84C.112D.168答案：D解析：因?yàn)椋?＋x）8的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為C82，（1＋y）4的展開(kāi)式中y2的系數(shù)為C42，所以x2y23.（2024·云南昆明調(diào)研）已知（1＋ax）（1＋x）3的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為7，則a＝（）A.4B.3C.2D.1答案：C解析：∵（1＋ax）（1＋x）3的展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)為x3＋ax×C32x2＝（3a＋1）x3，∴3a＋1＝7，∴a4.在二項(xiàng)式x2A.第五項(xiàng)B.第六項(xiàng)C.第七項(xiàng)D.第六和第七項(xiàng)答案：C解析：依題意可知Tr＋1＝C11r（－1）rx22－3r，0≤r≤11，r∈Z，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是C115與C116，所以系數(shù)最大的是T75.（2024·四川成都模擬）設(shè)（x2＋1）（2x＋1）9＝a0＋a1（x＋2）＋a2（x＋2）2＋…＋a11（x＋2）11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為（）A.－2B.－1C.1D.2答案：A解析：令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝（1＋1）（－1）9＝－2.6.若（x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a9（x－1）9，則a8＝（）A.18B.－18C.－27D.27答案：B解析：由題意，得（x－3）9＝[（x－1）－2]9，a8表示展開(kāi)式中含（x－1）8項(xiàng)的系數(shù)，故a8＝C91×（－27.（2024·湖南岳陽(yáng)模擬）將多項(xiàng)式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得（x－2）（x＋2）5，則a5＝（）A.8B.10C.12D.1答案：A解析：（x－2）（x＋2）5＝（x2－4）·（x＋2）4，所以（x＋2）4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為C41·21＝8，所以a58.（2020·全國(guó)Ⅲ卷）x2＋2x答案：240解析：x2＋2x6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C6r（x2）6－r2xr＝C6r2rx12－9.（2020·浙江卷）二項(xiàng)展開(kāi)式（1＋2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a4＝，a1＋a3＋a5＝.答案：80122解析：（1＋2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a4＝C54·24a1＋a3＋a5＝C51×2＋C53×23＋C10.已知1－x9＋mx+110＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10.若a9＝a10，則答案：41解析：a9＝C99－19＋mC101＝10m－因?yàn)閍9＝a10，所以10m－1＝m，解得m＝19所以a2＝C92＋111.（2019·浙江卷）在二項(xiàng)式（2＋x）9的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.答案：1625解析：由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可知Tr＋1＝C9r·（2）9－r·xr，r∈N，0≤r≤當(dāng)為常數(shù)項(xiàng)時(shí)，r＝0，T1＝C90·（2）9·x0＝（2）9＝16當(dāng)項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)時(shí)，9－r為偶數(shù)，可得r＝1，3，5，7，9，即系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是5.12.（2024·江蘇南通模擬）（1＋x）（1＋2x）5的展開(kāi)式中x6的系數(shù)為.答案：32解析：（1＋x）（1＋2x）5＝（1＋2x）5＋x（1＋2x）5，故（1＋x）（1＋2x）5的展開(kāi)式中x6的項(xiàng)只能是x（1＋2x）5中出現(xiàn)的x6，由于x（1＋2x）5中含x6的項(xiàng)為x2x5＝32x6（1＋x）（1＋2x）5的展開(kāi)式中x6的系數(shù)為32.[B組能力提升練]13.若（2x－32）16的展開(kāi)式中系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)有k項(xiàng)，則kA.2B.3C.4D.5答案：B解析：二項(xiàng)式（2x－32）16的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C16r216－r2·（－2）r3x16－r＝C16r（－1）r328－r6x16－r（其中0≤r≤16，r∈14.在x－1（x－y）6的展開(kāi)式中，含x4yA.－20B.20C.－15D.15答案：A解析：（x－y）6的第r＋1項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C6rx6－r令r＝3，則T4＝C63x3－y3＝－20x所以x－1（x－y）6的展開(kāi)式中，含x4y3項(xiàng)為x·T4＝－20x4y3，系數(shù)為15.在mx＋2y7的展開(kāi)式中，x4y3項(xiàng)的系數(shù)與xA.84B.63C.42D.21答案：A解析：mx＋2y7展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C7r·（mx）7－r·2yr＝2r·m7－r·C7r·x7－ryr，所以x4y3項(xiàng)的系數(shù)為23·m4·C73，x3y4項(xiàng)的系數(shù)為216.（多選）已知（2＋x）（1－2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，則（）A.a0的值為2B.a5的值為16C.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值為－5D.a1＋a3＋a5的值為120答案：ABC解析：令x＝0，得a0＝2，A正確.（1－2x）5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C5r（－2x）r＝（－2）rC5rxr，所以a5＝2×（－2）5C55＋（－2）4C54＝16，B正確.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋又a0＝2，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－2＝－5，C正確.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝243.②①－②2得，a1＋a3＋a5＝－123，17.（多選）對(duì)于x2A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為64C.常數(shù)項(xiàng)為1215D.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)答案：ABC解析：x2－3x6的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為26在x2－3x6中，令x＝1，得（1－3）6x2－3x6展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝C6k（x2）6－k·－3xk＝（－3）kC6kx12令12－3k＝0，得k＝4，所以常數(shù)項(xiàng)為（－3）4×C64＝1215，選項(xiàng)當(dāng)k＝3時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，選項(xiàng)D不正確.18.（2022·上海卷）二項(xiàng)式（3＋x）n的展開(kāi)式中，x2項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，則n＝.答案：10解析：∵二項(xiàng)式（3＋x）n的展開(kāi)式中，x2項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，即Cn2×3n－2＝5Cn0×3n，即n（∴n＝10.19.設(shè)（x－1）（2＋x）3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a1＝，2a2＋3a3＋4a4＝.答案：－431解析：因?yàn)閤·C30·23·x0－C31·22·x1所以a1＝－4，對(duì)所給等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得（2＋x）3＋3（x－1）（2＋x）2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3，令x＝1，得27＝a1＋2a2＋3a3＋4a4，所以2a2＋3a3＋4a4＝31.20.在x＋2xn解：由題意得，在x＋2xn的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和的比值為3n2n＝72964，∴n＝6，∴二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝C6rx6－r2xr＝C6r·2r·x6－學(xué)生用書(shū)?第225頁(yè)第四節(jié)隨機(jī)事件與概率[學(xué)習(xí)要求]1.結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.2.通過(guò)實(shí)例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.3.結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率.[知識(shí)梳理]知識(shí)點(diǎn)一事件的關(guān)系與運(yùn)算1.樣本空間與隨機(jī)事件（1）樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)中每個(gè)可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.（2）樣本空間：由所有樣本點(diǎn)組成的集合，一般用Ω表示.（3）隨機(jī)事件：樣本空間Ω的一個(gè)非空真子集.（4）基本事件：只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件.2.事件的分類(lèi)確定事件必然事件在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的必然事件不可能事件在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的不可能事件隨機(jī)事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件3.事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱(chēng)事件B包含事件A（或稱(chēng)事件A包含于事件B）B?A（或A?B）相等關(guān)系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?BA＝B并事件（和事件）若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱(chēng)此事件為事件A與事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A＋B）交事件（積事件）若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱(chēng)此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件）A∩B（或AB）互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱(chēng)事件A與事件B互斥（或互不相容）A∩B＝?對(duì)立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱(chēng)事件A與事件B互為對(duì)立事件A∩B＝?；P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝1學(xué)生用書(shū)?第226頁(yè)知識(shí)點(diǎn)二頻率與概率1.頻率與概率（1）在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱(chēng)n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱(chēng)事件A出現(xiàn)的比例fn（A）＝nAn為事件A（2）對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn（A）穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P（A），稱(chēng)為事件A的概率，簡(jiǎn)稱(chēng)為A的概率.2.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)（1）概率的取值范圍：0≤P（A）≤1.（2）必然事件的概率：P（Ω）＝1.（3）不可能事件的概率：P（?）＝0.（4）互斥事件概率的加法公式①若事件A與事件B互斥，則P（A∪B）＝P（A）＋P（B）.②若事件B與事件A互為對(duì)立事件，則P（A）＝1－P（B）.[小題診斷]1.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（）A.至少有一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶答案：B解析：射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”，與該事件不能同時(shí)發(fā)生的是“兩次都中靶”.2.隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，網(wǎng)上購(gòu)物已逐漸成為消費(fèi)時(shí)尚，為了解消費(fèi)者對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物的滿意情況，某公司隨機(jī)對(duì)4500名網(wǎng)上購(gòu)物消費(fèi)者進(jìn)行了調(diào)查（每名消費(fèi)者限選一種情況回答），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：滿意情況不滿意比較滿意滿意非常滿意人數(shù)200n21001000根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)在網(wǎng)上購(gòu)物的消費(fèi)者群體中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿意”或“滿意”的概率是（）A.715B.25C.1115答案：C解析：n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以在網(wǎng)上購(gòu)物的消費(fèi)者群體中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿意”或“滿意”的總?cè)藬?shù)為1200＋2100＝3300，所以在網(wǎng)上購(gòu)物的消費(fèi)者群體中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿意”或“滿意”的頻率為330043.一只袋子中裝有7個(gè)紅球，3個(gè)綠球，從中無(wú)放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè)球，若取得兩個(gè)紅球的概率為715，取得兩個(gè)綠球的概率為115，則取得兩個(gè)同顏色的球的概率為，至少取得一個(gè)紅球的概率為答案：815解析：由于“取得兩個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”是互斥事件，則要取得兩個(gè)同顏色的球，只需兩個(gè)互斥事件中有一個(gè)事件發(fā)生即可，因而取得兩個(gè)同顏色的球的概率P＝715＋115＝815.記事件A為“至少取得一個(gè)紅球”，事件B為“取得兩個(gè)綠球”，事件A與事件B是對(duì)立事件，則至少取得一個(gè)紅球的概率P（A）＝1－P（B）＝1－1考點(diǎn)一隨機(jī)事件與樣本空間[例1]已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（）A.事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件B.事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是必然事件D.事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機(jī)事件[答案]C[解析]事件空間為{紅，紅，紅}，{紅，紅，藍(lán)}，{紅，藍(lán)，藍(lán)}.?確定樣本空間的方法12要做到既不重復(fù)也不遺漏.1.（多選）（2024·重慶模擬）將一枚骰子向上拋擲一次，設(shè)事件A＝“向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2”，事件C＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4”，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.AB＝?B.BC＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3”C.AB＋BC＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3”D.ABC＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2”答案：BC解析：由題意知事件A包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1，3，5；事件B包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1，2；事件C包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4，5，6.所以AB＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2”，故A錯(cuò)誤；BC＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4或5或6”，故B正確；AB＋BC＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3或4或5或6”，故C正確；ABC＝Ω，故D錯(cuò)誤.學(xué)生用書(shū)?第227頁(yè)考點(diǎn)二互斥事件、對(duì)立事件的判斷[例2]（2024·山東濟(jì)南模擬）2020年起，山東省高考實(shí)行新方案.新高考規(guī)定：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)是必考科目，考生還需從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個(gè)等級(jí)考試科目中選取3個(gè)作為選考科目.某考生已經(jīng)確定物理作為自己的選考科目，然后只需從剩下的5個(gè)等級(jí)考試科目中再選擇2個(gè)組成自己的選考方案，則該考生“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物、地理”為（）A.相互獨(dú)立事件B.對(duì)立事件C.不是互斥事件D.互斥事件但不是對(duì)立事件[答案]D[解析]該考生“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物、地理”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，所以該考生“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物、地理”為互斥事件但不是對(duì)立事件.故選D.?判斷互斥事件、對(duì)立事件的兩種方法2.（多選）（2024·山東泰安模擬）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，事件“至少1名女生”與事件“全是男生”（）A.是互斥事件B.不是互斥事件C.是對(duì)立事件D.不是對(duì)立事件答案：AC解析：從3男2女中任選2名同學(xué)，一共會(huì)出現(xiàn)的抽取情況為：2男，或者2女，或者1男1女，至少一名女生包括一名或兩名女生，全是男生相當(dāng)于女生數(shù)為零，兩者間是互斥事件也是對(duì)立事件.考點(diǎn)三互斥事件、對(duì)立事件的概率計(jì)算[例3]某超市有獎(jiǎng)銷(xiāo)售中