高中數(shù)學(xué)選擇性必修二課件：§4 1 第1課時(shí) 數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式(人教A版)

第四章

§4.1數(shù)列的概念第1課時(shí)數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.2.掌握數(shù)列的分類(lèi)，了解數(shù)列的單調(diào)性.3.理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的任一項(xiàng).4.能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE1.一般地，我們把按照

排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的

.數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第

項(xiàng)，常用符號(hào)a1表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第

項(xiàng)，用a2表示……，第

個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第

項(xiàng)，用an表示.其中第1項(xiàng)也叫做

.2.數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為

.思考數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個(gè)數(shù)列嗎？知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列及其有關(guān)概念答案不是.順序不一樣.確定的順序項(xiàng)12nn首項(xiàng){an}知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)名稱(chēng)含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)

的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)

的數(shù)列有限無(wú)限數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)

，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)

，記為an＝f(n).知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系nan知識(shí)點(diǎn)四數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都

它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都

它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都

的數(shù)列大于小于相等1.如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的

.2.通項(xiàng)公式就是數(shù)列的

，以前我們學(xué)過(guò)的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù).思考既然數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，那么表示數(shù)列除了用通項(xiàng)公式外，還可以用哪些方法？知識(shí)點(diǎn)五通項(xiàng)公式答案還可以用列表法、圖象法.序號(hào)n通項(xiàng)公式函數(shù)解析式1.如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的

.2.通項(xiàng)公式就是數(shù)列的

，以前我們學(xué)過(guò)的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù).思考既然數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，那么表示數(shù)列除了用通項(xiàng)公式外，還可以用哪些方法？知識(shí)點(diǎn)五通項(xiàng)公式答案還可以用列表法、圖象法.序號(hào)n通項(xiàng)公式函數(shù)解析式1.1,1,1,1是一個(gè)數(shù)列.(

)2.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}.(

)3.如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列.(

)4.an與{an}表達(dá)不同的含義.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××2題型探究PARTTWO例1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無(wú)窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；一、數(shù)列的有關(guān)概念和分類(lèi)(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….解(5)是有窮數(shù)列；(1)(2)(3)(4)(6)是無(wú)窮數(shù)列；(2)是遞增數(shù)列；(1)(4)(5)是遞減數(shù)列；(3)是常數(shù)列.反思感悟(1)判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴(yán)格按照定義進(jìn)行判斷.(2)判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)一定要確保每一項(xiàng)均大于(或均小于)后一項(xiàng)，不能有例外.反思感悟(1)判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴(yán)格按照定義進(jìn)行判斷.(2)判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)一定要確保每一項(xiàng)均大于(或均小于)后一項(xiàng)，不能有例外.跟蹤訓(xùn)練1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？(1)2017,2018,2019,2020,2021；(6)9,9,9,9,9,9.解(1)(6)是有窮數(shù)列；(1)(2)是遞增數(shù)列；(3)是遞減數(shù)列；(6)是常數(shù)列.例2寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：二、由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式解這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都是序號(hào)的倒數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，解數(shù)列中的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，(3)0,1,0,1；解這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)是0與1交替出現(xiàn)，奇數(shù)項(xiàng)都是0，偶數(shù)項(xiàng)都是1，(4)9,99,999,9999.解各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000，…，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1，n∈N*.反思感悟根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式的解題思路(1)先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，如都化成分?jǐn)?shù)、根式等.(2)分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的函數(shù)解析式.(3)對(duì)于正負(fù)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再用(－1)n或(－1)n＋1處理符號(hào).(4)對(duì)于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等.跟蹤訓(xùn)練2

寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：解各項(xiàng)分母分別為21,22,23,24，易看出第1,2,3,4項(xiàng)分子分別比分母少了3，解這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母都是比序號(hào)大1的數(shù)，分子都是比序號(hào)大1的數(shù)的平方減1，(3)7,77,777,7777.例3

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n2－n，n∈N*.(1)寫(xiě)出數(shù)列的前3項(xiàng)；三、數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用解在通項(xiàng)公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3項(xiàng)分別為1,6,15.(2)判斷45是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)，3是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng).故45是數(shù)列{an}中的第5項(xiàng).令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，反思感悟(1)利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng).(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程.若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無(wú)解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng).跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求實(shí)數(shù)q的值；解由題意知q4－q2＝72，則q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)判斷－81是否為此數(shù)列中的項(xiàng).解當(dāng)q＝3時(shí)，an＝3n.顯然－81不是此數(shù)列中的項(xiàng)；當(dāng)q＝－3時(shí)，an＝(－3)n.令(－3)n＝－81，無(wú)解，∴－81不是此數(shù)列中的項(xiàng).延伸探究已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4，n∈N*.問(wèn)當(dāng)n為何值時(shí)，an取得最小值？并求出最小值.∴當(dāng)n＝2或3時(shí)，an取得最小值，為a2＝a3＝－2.核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用當(dāng)n<9時(shí)，an＋1－an>0，即an＋1>an；當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n>9時(shí)，an＋1－an<0，即an＋1<an.則a1<a2<a3<…<a9＝a10且a10>a11>a12>…，又n∈N*，則n＝9或n＝10.故數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，為第9項(xiàng)和第10項(xiàng)，素養(yǎng)提升(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來(lái)研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、最大值、最小值等，此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件.(3)通過(guò)數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREED.數(shù)列0,2,4,6,8，…可記為{2n}1.下列說(shuō)法正確的是A.數(shù)列1,3,5,7，…，2n－1可以表示1,3,5,7，…B.數(shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)列12345√解析數(shù)列1,3,5,7，…，2n－1為有窮數(shù)列，而數(shù)列1,3,5,7，…為無(wú)窮數(shù)列，故A中說(shuō)法錯(cuò)誤；數(shù)的順序不同就是兩個(gè)不同的數(shù)列，故B中說(shuō)法錯(cuò)誤；12345在D中，an＝2n－2，故D中說(shuō)法錯(cuò)誤.√解析把n＝1,2,3,4依次代入通項(xiàng)公式，123453.(多選)下面四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是12345√√解析選項(xiàng)C，D既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列.1234519123455.數(shù)列3,5,9,17,33，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是__________________.an＝2n＋1，n∈N*1.知識(shí)清單：(1)數(shù)列及其有關(guān)概念.(2)數(shù)列的分類(lèi).(3)函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系.(4)數(shù)列的單調(diào)性.(5)數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.方法歸納：觀察、歸納、猜想.3.常見(jiàn)誤區(qū)：歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)歸納不全面；不注意用(－1)n進(jìn)行調(diào)節(jié)，不注意分子、分母間的聯(lián)系.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.(多選)下列說(shuō)法正確的是A.數(shù)列可以用圖象來(lái)表示

B.數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一C.數(shù)列中的項(xiàng)不能相等

D.數(shù)列可以用一群孤立的點(diǎn)表示基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解析數(shù)列中的項(xiàng)可以相等，如常數(shù)列，故選項(xiàng)C中說(shuō)法不正確.√√√2.數(shù)列－1,3，－7,15，…的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*

B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*

D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*12345678910111213141516√解析數(shù)列各項(xiàng)正、負(fù)交替，故可用(－1)n來(lái)調(diào)節(jié)，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.12345678910111213141516√12345678910111213141516√5.數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的通項(xiàng)公式為√123456789101112131415166.323是數(shù)列{n(n＋2)}的第____項(xiàng).12345678910111213141516解析由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(負(fù)值舍去).∴323是數(shù)列{n(n＋2)}的第17項(xiàng).17123456789101112131415167.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝3－2n，n∈N*則a2n＝_______；

＝____.3－4n解析因?yàn)閍n＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，123456789101112131415168.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2020－3n，則使an>0成立的正整數(shù)n的最大值為_(kāi)____.673又因?yàn)閚∈N*，所以正整數(shù)n的最大值為673.123456789101112131415169.寫(xiě)出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)4,6,8,10，…；解各項(xiàng)是從4開(kāi)始的偶數(shù)，所以an＝2n＋2，n∈N*.12345678910111213141516解每一項(xiàng)分子比分母少1，而分母可寫(xiě)成21,22,23,24,25，…，分子分別比分母少1，解通過(guò)觀察，數(shù)列中的數(shù)正、負(fù)交替出現(xiàn)，且先負(fù)后正，則選擇(－1)n.則每一項(xiàng)的分母依次為3,5,7,9，…，可寫(xiě)成(2n＋1)的形式.分子為3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可寫(xiě)成n(n＋2)的形式.123456789101112131415161234567891011121314151610.在數(shù)列{an}中，a1＝2，a17＝66，通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解得k＝4，b＝－2.∴an＝4n－2，n∈N*.12345678910111213141516(2)求a2020；解a2020＝4×2020－2＝8078.(3)2020是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)？∴2020不是數(shù)列{an}中的項(xiàng).綜合運(yùn)用12345678910111213141516√解析經(jīng)代入檢驗(yàn)，A，C，D均可以作為已知數(shù)列的通項(xiàng)公式.√√12345678910111213141516所以相等的連續(xù)兩項(xiàng)是第10項(xiàng)和第11項(xiàng).A.第9項(xiàng)，第10項(xiàng)

B.第10項(xiàng)，第11項(xiàng)C.第11項(xiàng)，第12項(xiàng)

D.第12項(xiàng)，第13項(xiàng)√√解析結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，要使數(shù)列{an}遞增，123456789101112131415161234567891011121314151614.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖(1)，(2)，(3)，(4)為最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形，則f(6)＝____.61解析f(1)＝1＝2×1×0＋1，f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，故f(n)＝2n(n－1)＋1.當(dāng)n＝6時(shí)，f(6)＝2×6×5＋1＝61.1234567891011121314151615.如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱(chēng)ICME－7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖2