高中數(shù)學(xué)選擇性必修二課件：習(xí)題課 等比數(shù)列的性質(zhì)的綜合問題(人教A版)

習(xí)題課等比數(shù)列的性質(zhì)的綜合問題第四章§4.3

等比數(shù)列1.通過建立數(shù)列模型并應(yīng)用數(shù)列模型解決生活中的實際問題.2.理解等比數(shù)列的常用性質(zhì).3.掌握等比數(shù)列的判定及證明方法.學(xué)習(xí)目標(biāo)隨堂演練課時對點練一、等比數(shù)列的實際應(yīng)用二、等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化三、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用內(nèi)容索引一、等比數(shù)列的實際應(yīng)用例1

某人買了一輛價值13.5萬元的新車，專家預(yù)測這種車每年按10%的速度貶值.(1)用一個式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價值；解從第一年起，每年車的價值(萬元)依次設(shè)為：a1，a2，a3，…，an，由題意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比數(shù)列的定義，知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.∴n年后車的價值為an＋1＝(13.5×0.9n)萬元.(2)如果他打算用滿4年時賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？解由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(萬元)，∴用滿4年時賣掉這輛車，大概能得到8.9萬元.反思感悟等比數(shù)列實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是：建立數(shù)學(xué)模型即將實際問題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的問題，解數(shù)學(xué)模型即解等比數(shù)列問題.跟蹤訓(xùn)練1

有純酒精a(a>1)升，從中取出1升，再用水加滿，然后再取出1升，再用水加滿，如此反復(fù)進行，則第九次和第十次共取出純酒精_____________升.則第九次和第十次共取出純酒精數(shù)量為則第九次和第十次共取出純酒精數(shù)量為二、等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化問題1若等差數(shù)列an＝2n＋1，那么數(shù)列{22n＋1}是等差或等比數(shù)列嗎？問題2若等比數(shù)列an＝2n，則{lgan}為等差數(shù)列嗎？提示若等比數(shù)列an＝2n，則bn＝lgan＝lg2n＝nlg2是關(guān)于n的一次函數(shù)，是等差數(shù)列.知識梳理1.若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列{

}是等比數(shù)列.2.若數(shù)列{an}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列，則數(shù)列{logaan}是等差數(shù)列.注意點：(1)其底數(shù)a滿足a>0，且a≠1；(2)等比數(shù)列{

}的公比為ad；(3)等差數(shù)列{logaan}的公差為logaq.例2已知數(shù)列{an}是首項為2，公差為－1的等差數(shù)列，令bn＝

，求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求其通項公式.解依題意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，例2已知數(shù)列{an}是首項為2，公差為－1的等差數(shù)列，令bn＝

，求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求其通項公式.解依題意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，延伸探究已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足：a4＝128，a8＝215.設(shè)bn＝log2an，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其通項公式.解設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，又∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1＝log24＝2(n≥2)，b1＝log2a1＝1，∴數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴bn＝2n－1.反思感悟在等差數(shù)列與等比數(shù)列相互轉(zhuǎn)化的過程中，相當(dāng)于構(gòu)造了一個新的數(shù)列，需判斷是否滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列的定義.跟蹤訓(xùn)練2

數(shù)列{an}滿足log2an－1＝log2an＋1(n∈N*)，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，則log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)的值是A.n－1

B.n＋1 C.2n－1 D.2n＋1√解析由log2an－1＝log2an＋1，即log2an＋1－log2an＝－1，∵a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，則log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝n－1.三、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3

已知{an}為等差數(shù)列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通項公式；解設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意知所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)記{an}的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值.因為a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.反思感悟解決等差、等比數(shù)列的綜合問題應(yīng)注意的四個方面(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應(yīng)用.(2)對于解答題注意基本量及方程思想.(3)注重問題的轉(zhuǎn)化，利用非等差數(shù)列、非等比數(shù)列構(gòu)造出新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，以便利用公式和性質(zhì)解題.(4)當(dāng)題中出現(xiàn)多個數(shù)列時，既要縱向考查單一數(shù)列的項與項之間的關(guān)系，又要橫向考查各數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系.跟蹤訓(xùn)練3

若等比數(shù)列{an}滿足2a1＋a2＋a3＝a4，a5－a1＝15.(1)求數(shù)列{an}的首項a1和公比q；解得a1＝1，q＝2.(2)若an>n＋100，求n的取值范圍.解由(1)可知an＝2n－1，即2n－1>n＋100，驗證可得n≥8，n∈N*.1.知識清單：(1)等比數(shù)列的實際應(yīng)用.(2)等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化.(3)等比數(shù)列的綜合應(yīng)用.2.方法歸納：公式法、構(gòu)造法.3.常見誤區(qū)：在應(yīng)用題中，容易忽視數(shù)列的項數(shù).課堂小結(jié)隨堂演練12341.某細菌培養(yǎng)過程中，每15分鐘分裂1次，經(jīng)過2小時，這種細菌由1個繁殖成A.64個 B.128個

C.256個 D.255個解析某細菌培養(yǎng)過程中，每15分鐘分裂1次，經(jīng)過2小時，共分裂8次，所以經(jīng)過2小時，這種細菌由1個繁殖成28＝256個.√12342.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為A.100 B.－100C.10000 D.－10000√12343.若a，b，c成等比數(shù)列，其中a，b，c均是不為1的正數(shù)，n是大于1的整數(shù)，那么logan，logbn，logcnA.是等比數(shù)列 B.是等差數(shù)列C.每項取倒數(shù)成等差數(shù)列 D.每項取倒數(shù)成等比數(shù)列√解析因為a，b，c成等比數(shù)列，可知logna，lognb，lognc成等差數(shù)列，12344.若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則

＝_____.1解析{an}為等差數(shù)列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}為等比數(shù)列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，課時對點練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.在正項等比數(shù)列{an}中，a2a7＝4，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a8等于A.2 B.4 C.6 D.8√解析原式＝log2(a1a2a3…a8)＝log2(a2a7)4＝4log24＝8.123456789101112131415162.數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項，則數(shù)列{bn}的公比為解析因為a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}中的連續(xù)三項，√設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則d≠0，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，所以a1＝2d，123456789101112131415163.等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}的前6項和為A.－24 B.－3 C.3 D.8即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝0(舍去)，d＝－2，√123456789101112131415164.在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，且a3，a7，a16成等比數(shù)列，則公差為解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由a1＝1，a3，a7，a16成等比數(shù)列，√123456789101112131415165.已知{an}是等差數(shù)列，且公差d≠0，若a＝

，b＝

，c＝

，則a，b，cA.是等比數(shù)列，非等差數(shù)列B.是等差數(shù)列，非等比數(shù)列C.既非等比數(shù)列，又非等差數(shù)列D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列√12345678910111213141516解析由{an}是等差數(shù)列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差為2d的等差數(shù)列，故a，b，c成等比數(shù)列，若一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則該數(shù)列只能是常數(shù)列，而a，b，c不是常數(shù)列，故a，b，c不是等差數(shù)列.123456789101112131415166.(多選)已知等差數(shù)列a，b，c三項之和為12，且a，b，c＋2成等比數(shù)列，則a等于A.－2 B.2 C.－8 D.8√√故a＝2或a＝8.123456789101112131415167.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2＝_____.解析由題意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.－6∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.123456789101112131415168.畫一個邊長為2的正方形，再以這個正方形的一條對角線為邊畫第2個正方形，以第2個正方形的一條對角線為邊畫第3個正方形，……，這樣共畫了10個正方形，則第10個正方形的面積等于________.2048解析依題意，得這10個正方形的邊長構(gòu)成以2為首項，123456789101112131415169.受疫情影響，某公司的銷售額受到嚴重影響，從2020年的7月銷售收入128萬元，9月跌至32萬元，你能求出該公司7月到9月之間平均每月下降的百分比嗎？若按此計算，到什么時候跌至每月銷售收入8萬元？12345678910111213141516解設(shè)每月平均下降的百分比為x，則每月的銷售收入構(gòu)成了等比數(shù)列{an}，a1＝128，則a2＝a1(1－x)，a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%.設(shè)an＝8，an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5，即從2020年7月算起第5個月，也就是在2020年的11月該公司的銷售收入跌至8萬元.1234567891011121314151610.在等比數(shù)列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0.設(shè)bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；證明因為bn＝log2an，所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列且公差d＝log2q.12345678910111213141516(2)求{bn}的前n項和Sn及{an}的通項公式an.12345678910111213141516解因為b1＋b3＋b5＝6，所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.又因為a1>1，所以b1＝log2a1>0，又因為b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，又因為d＝log2q＝－1，即a1＝16，所以an＝25－n(n∈N*).123456789101112131415綜合運用1611.設(shè){an}是首項為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和.若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1等于A.2 B.－2 C. D.－解析因為{an}是首項為a1，公差為－1的等差數(shù)列，√代入可得(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{log2an}的前10項之和為12345678910111213141516√12345678910111213141516解析由f(x)＝logax(a>0，a≠1)，令y＝logax，可得x＝ay，故對于A，有an＝

，不是等比數(shù)列；對于B，an＝

，不是等比數(shù)列；對于C，an＝a2n，為等比數(shù)列；對于D，an＝

，不是等比數(shù)列.1234567891011121314151614.已知等比數(shù)列{an}滿足a2a5＝2a3，且a4，

，2a7成等差數(shù)列，則a1a2a3·…·an的最大值為______.102412345678910111213141516所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝

，所以當(dāng)n＝4或n＝5時，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值為210＝1024.拓廣探究1234567891011121314151615.已知a1，a2，a3，……，an是各項不為零的n(n≥4)項等差數(shù)列，且公差不為零，若將此數(shù)列刪去某一項得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列，則n的值為A.4 B.6 C.7 D.無法確定√12345678910111213141516解析當(dāng)n≥6時，無論刪掉哪一項，必定會出現(xiàn)連續(xù)三項既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列，于是該數(shù)列公差為零，不滿足題意，則n＝4或n＝5.當(dāng)n＝5時，由以上分析可知，只能刪掉第三項，此時a1a5＝a2a4?a1(a1＋4d)＝(a1＋d)(a1＋3d)?d＝0，不滿足題意.故n＝4.驗證過程如下：當(dāng)n＝4時，有a1，a2，a3，a4.將此數(shù)列刪去某一項得到的數(shù)列(按照原來的順序)是等比數(shù)列.如果刪去a1或a4，則等于有3個項既是等差又是等比，不滿足題意.12345678910111213141516故可以知道刪去的是a2或a3.如果刪去的是a2，則a1∶a3＝a3∶a4，故a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，如果刪去的是a3，則a1∶a2＝a2∶a4，故a1(a1＋3d)＝(a1＋d)2，故答案為A.16.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝

，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；1234567891011121314151612345678910111213141516而a1＝1適合上式，∴an＝n.1234567891011121314151612345678910111213141516∴nan＋1－nan＝n，∴an＋1－a