高中數(shù)學選擇性必修2課件：4 3 1 第一課時 等比數(shù)列的概念與通項公式(人教A版)

4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第一課時等比數(shù)列的概念與通項公式課標要求素養(yǎng)要求1.通過生活中的實例，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義.2.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.在根據(jù)實例抽象出等比數(shù)列的概念并歸納出等比數(shù)列的通項公式的過程中，發(fā)展學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng).新知探究我國古代數(shù)學名著《孫子算經》中有一個有趣的問題叫“出門望九堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各有幾何？”問題1你能寫出“出門望九堤”問題構成的數(shù)列嗎？提示構成數(shù)列：9，92，93，94，95，96，97，98.問題2根據(jù)數(shù)列相鄰兩項的關系，上述數(shù)列有什么特點？提示上述數(shù)列中，從第2項起，每一項與前一項的比都是9，這種數(shù)列稱為等比數(shù)列.1.等比數(shù)列的定義及通項公式等比數(shù)列定義中的關鍵詞：從第2項起，同一個常數(shù)(1)等比數(shù)列的定義和通項公式2它的前一項同一個常數(shù)常數(shù)qA1qn-12.等比中項

如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成______數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，此時G2＝______.等比ab拓展深化[微判斷]1.等比數(shù)列的公比可以為任意實數(shù).()

提示

公比不可以為0.2.若一個數(shù)列從第2項開始每一項與前一項的比是常數(shù)，則這個數(shù)列是等比數(shù)列.(

)

提示應為同一個常數(shù).3.常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.(

)

提示0數(shù)列除外.×××[微訓練]1.等比數(shù)列{an}中，a1＝3，公比q＝2，則a5＝(

) A.32 B.－48 C.48 D.96

解析

a5＝a1q4＝3×24＝48.

答案

C[微訓練]1.等比數(shù)列{an}中，a1＝3，公比q＝2，則a5＝(

) A.32 B.－48 C.48 D.96

解析

a5＝a1q4＝3×24＝48.

答案

C2.等比數(shù)列x，3x＋3，6x＋6，…的第4項等于(

) A.－24 B.0 C.12 D.24解析由x，3x＋3，6x＋6成等比數(shù)列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x1＝－3或x2＝－1(不合題意，舍去)，第2項為－6.故數(shù)列的第4項為－24.答案

A3.4與16的等比中項是________.

解析由G2＝4×16＝64得G＝±8.

答案

±8[微思考]1.等比中項與等差中項有什么區(qū)別？

提示

(1)任意兩數(shù)都存在等差中項，但不是任意兩數(shù)都存在等比中項，當且僅當兩數(shù)同號且均不為0時，才存在等比中項. (2)任意兩數(shù)的等差中項是唯一的，而如果兩數(shù)有等比中項，則這兩數(shù)的等比中項有兩個，且互為相反數(shù).2.設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，當a1與q分別滿足什么條件時，{an}是遞增數(shù)列，{an}是遞減數(shù)列？題型一等比數(shù)列通項公式的應用【例1】在等比數(shù)列{an}中：題型一等比數(shù)列通項公式的應用【例1】在等比數(shù)列{an}中：解設等比數(shù)列{an}的公比為q.【訓練1】

(1)在等比數(shù)列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么這個數(shù)列的公比為(

)答案(1)C

(2)C題型二等比中項及其應用【例2】已知等比數(shù)列的前三項和為168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中項.解設該等比數(shù)列的公比為q，首項為a1，∴a5，a7的等比中項是±3.規(guī)律方法

(1)首項a1和公比q是構成等比數(shù)列的基本量，從基本量入手解決相關問題是研究等比數(shù)列的基本方法.(2)解題時應注意同號的兩個數(shù)的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)，而異號的兩個數(shù)沒有等比中項.【訓練2】

(1)三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，它們的積等于64，則這三個數(shù)是________. (2)在等差數(shù)列{an}中，a3＝0.如果ak是a6與ak＋6的等比中項，那么k＝________.答案(1)2，4，8或8，4，2

(2)9(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列.【遷移1】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*).(1)求證：{bn}是等比數(shù)列；(2)求{an}的通項公式.(1)證明

∵an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，∴bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn，又∵b1＝a1＋1＝2，∴數(shù)列{bn}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.(2)解由(1)知，an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1.(4)構造法：在條件中出現(xiàn)an＋1＝kan＋b，kb(k－1)≠0關系時，往往構造數(shù)列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)與an＋1＝kan＋b對照，求出x即可.注：第(1)、(3)也可作為等比數(shù)列的證明方法.【訓練3】已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.證明：數(shù)列{an＋4}是等比數(shù)列.證明

∵a1＝－2，∴a1＋4＝2.∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，一、素養(yǎng)落地1.通過學習等比數(shù)列的概念及判斷方法提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng)，通過運用等比數(shù)列的通項公式求項或公比、項數(shù)，提升數(shù)學運算素養(yǎng).2.等比數(shù)列的證明二、素養(yǎng)訓練1.(多選題)下列說法正確的有(

)A.等比數(shù)列中的項不能為0B.等比數(shù)列的公比的取值范圍是RC.若一個常數(shù)列是等比數(shù)列，則公比為1D.22，42，62，82，…成等比數(shù)列答案AC2.在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝64，則a3等于(

) A.16 B.16或－16 C.32 D.32或－323.已知a是1，2的等差中項，b是－1，－16的等比中項，則ab等于(

) A.6 B.－6 C.±6 D.±12答案C4.45和80的等比中項為________.

解析設45和80的等比中項為G，則 G2＝45×80，∴G＝±60.

答案－60或605.已知數(shù)列{an}中，a1＝4，an＋1＝2an－5，求證{an－5}是等比數(shù)列.

證明由an＋1＝2an－5得an＋1－5＝2(an－5).

又a1－5＝－1≠0，故數(shù)列{an－5}是首項為－1，公比為2的等比數(shù)列.備用工具&資料4.45和80的等比中項為________.

解析設45和80的等比中項為G，則 G2＝45×80，∴G＝±60.

答案－60或602.在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝64，則a3等于(

) A.16 B.16或－16 C.32 D.32或－32[微思考]1.等比中項與等差中項有什么區(qū)別？

提示

(1)任意兩數(shù)都存在等差中項，但不是任意兩數(shù)都存在等比中項，當且僅當兩數(shù)同號且均不為0時，才存在等比中項. (2)任意兩數(shù)的等差中項是唯一的，而如果兩數(shù)有等比中項，則這兩數(shù)的等比中項有兩個，且互為相