四川省宜賓市興文縣2023-2024學年高一數(shù)學上學期期中試題含解析

Page16高一上期期中考試數(shù)學試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分．考試用時120分鐘．第I卷選擇題一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.將集合且用列舉法表示正確的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合條件逐一列舉合乎題意的元素，即得結果.【詳解】因為且故選：C【點睛】本題考查列舉法，考查基本分析求解能力，屬基礎題.2.命題“”的否定是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題判斷即可.【詳解】解：命題“”為全稱量詞命題，其否定為：；故選：D3設，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)冪公式化簡，進而判斷大小即可.【詳解】由，，，所以.故選：C.4.若a、b、c為實數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】利用特殊值可判斷AB，利用不等式的性質可判斷CD.【詳解】對于A選項，若，則，故A錯誤；對于B選項，取，，滿足，但此時，故B錯誤；對于C選項，∵，在不等式同時乘以，得，另一方面在不等式兩邊同時乘以b，得，∴，故C正確；對于D選項，，則，所以，即，故D錯誤.故選：C.5.已知，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故選：B.6.對任意的，不等式都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分離參數(shù)得對任意的恒成立，則求出即可.【詳解】因為對任意的，都有恒成立，∴對任意的恒成立．設，，，當，即時，，∴實數(shù)a的取值范圍是.故選：D.7.函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對函數(shù)分離常數(shù)，借助基本不等式，分三種情況討論即可.【詳解】結合題意：，當時，；當時，，當且僅當，即，原式取得最小值；另一方面，因為，所以，即;當時，，當且僅當，即，原式取得最大值;另一方面因為，令，則，所以，所以所以，即;綜上所述：函數(shù)的值域是.故選：A8.已知，設函數(shù)，，，若的最大值為M，最小值為m，那么M和m的值可能為（）A.4與3 B.3與1 C.5和2 D.7與4【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)得為偶數(shù)，由此可得出答案．【詳解】解：∵函數(shù)為奇函數(shù)，且，∴為偶數(shù)，故選：B．【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應用，屬于基礎題．二．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列關系式中，根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A.（） B.（）C.（） D.（）【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪和根式的的概念相互轉化.【詳解】對于A，（），故A錯誤；對于B，（），故B正確；對于C，（），故C正確；對于D，，而無意義，故D錯誤.故選：BC10.若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，則實數(shù)a的值可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BCD【解析】【分析】由必要條件、充分條件的定義即可得出結果．【詳解】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，∴{x|－1＜x＜4}{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，∴實數(shù)a的值可以是4，5，6．故選：BCD．11.已知一元二次方程有兩個實數(shù)根，且，則的值為（）A-2 B.-3 C.-4 D.-5【答案】BC【解析】【分析】設，利用已知條件得到，求解即可得出結果.【詳解】設，由，可得，解得：，又因為，得或，故選：BC.12.—般地,若函數(shù)的定義域為,值域為,則稱為的“倍跟隨區(qū)間”;特別地,若函數(shù)的定義域為,值域也為,則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結論正確的是A.若為的跟隨區(qū)間,則B.函數(shù)不存在跟隨區(qū)間C.若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,則D.二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)“倍跟隨區(qū)間”的定義,分析函數(shù)在區(qū)間內的最值與取值范圍逐個判斷即可.【詳解】對A,若為的跟隨區(qū)間,因為在區(qū)間為增函數(shù),故其值域為,根據(jù)題意有,解得或,因為故.故A錯誤.對B,由題,因為函數(shù)在區(qū)間與上均為增函數(shù),故若存在跟隨區(qū)間則有,即為的兩根.即,無解.故不存在.故B正確.對C,若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,因為為減函數(shù),故由跟隨區(qū)間的定義可知,即,因為,所以.易得.所以,令代入化簡可得,同理也滿足,即在區(qū)間上有兩根不相等的實數(shù)根.故,解得,故C正確.對D,若存在“3倍跟隨區(qū)間”,則可設定義域為,值域為.當時,易得在區(qū)間上單調遞增,此時易得為方程的兩根,求解得或.故存在定義域,使得值域為.故D正確.故選：BCD【點睛】本題主要考查了函數(shù)新定義的問題,需要根據(jù)題意結合函數(shù)的性質分析函數(shù)的單調性與取最大值時的自變量值,并根據(jù)函數(shù)的解析式列式求解.屬于難題.第II卷非選擇題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設集合，，，則________．【答案】【解析】【分析】由補集和并集的定義進行運算即可.【詳解】∵，，∴，又∵，∴.故答案為：.14.已知函數(shù)(且)的圖象過定點P，則P點坐標為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質分析求解.【詳解】令，解得，此時，所以P點坐標為.故答案為：.15.某年級先后舉辦了數(shù)學、歷史、音樂講座，其中有75人聽了數(shù)學講座，68人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，17人同時聽了數(shù)學、歷史講座，12人同時聽了數(shù)學、音樂講座，9人同時聽了歷史、音樂講座，還有6人聽了全部講座，則聽講座人數(shù)為__________．【答案】172【解析】【分析】畫出韋恩圖求解即可.【詳解】，（人．故答案為：17216.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若對任意給定的實數(shù)，，恒成立，則不等式的解集是______．【答案】##【解析】【分析】由題意可得，則函數(shù)在R上為減函數(shù)，又函數(shù)是R上的奇函數(shù)，可得，從而列不等式組求解即可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)對任意給定的實數(shù)，，恒成立，即，所以函數(shù)在R上為減函數(shù)，又函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，則不等式，可得或即或，解得，所以原不等式的解集為.四．解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設集合,（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)并集的定義運算即得；（2）由題可得，分類討論進而可得不等式即得.【小問1詳解】當時，，；【小問2詳解】，當時，滿足題意，此時，解得；當時，解得，實數(shù)m的取值范圍為.18.已知（1）求，的值；（2）求滿足的實數(shù)a的值；（3）求的定義域和值域．【答案】（1），（2）（3）定義域為，值域為【解析】【分析】根據(jù)自變量所屬范圍，求分段函數(shù)求函數(shù)值；根據(jù)函數(shù)值，求自變量值；確定分段函數(shù)的定義域值域.【小問1詳解】，.【小問2詳解】由或，解得.【小問3詳解】的定義域為，值域為19.已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）當時，若函數(shù)的值域為，，求，的值．【答案】（1）－1（2），【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)的性質即可求出；（2）判斷出的單調性，根據(jù)定義域和值域列出方程即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)，則有對恒成立，即對恒成立解得；【小問2詳解】∵，當時，為增函數(shù)，則有：，即、是方程的兩個根，又由，則，則，．20.由于春運的到來，某火車站為舒緩候車室人流的壓力，決定在候車大樓外搭建臨時候車區(qū)，其中某次列車的候車區(qū)是一個總面積為的矩形區(qū)域(如圖所示)，矩形場地的一面利用候車廳大樓外墻(長度為12m)，其余三面用鐵欄桿圍擋，并留一個寬度為2m的入口.現(xiàn)已知鐵欄桿的租用費用為80元/m.設該矩形區(qū)域的長為x(單位：m)，租用鐵欄桿的總費用為y(單位：元).（1）將y表示為x的函數(shù)，并求租用搭建此區(qū)域的鐵欄桿所需費用的最小值及相應的x.（2）若所需總費用不超過2160元，則x的取值范圍是多少？【答案】（1），；當時，所需費用的最小值元；（2）.【解析】【分析】（1）依題意有，其中.利用基本不等式得出最小值即可；（2）由題意得，解出即可.【詳解】解：（1）依題意有，其中.由均值不等式可得，當且僅當，即時取“=”.綜上，當時，租用搭建此區(qū)域的鐵欄桿所需費用最小，最小費用為1440元.（2），∴，∴，解得.又∵，∴.【點睛】本題考查了基本不等式的實際應用和函數(shù)模型的應用，是中檔題.21.設函數(shù)是定義域的奇函數(shù)．（1）求值；（2）若，試判斷函數(shù)單調性并求使不等式在定義域上恒成立的的取值范圍；（3）若，且在上最小值為，求的值．【答案】（1）（2）在上單調遞增；（3）【解析】【分析】（1）由函數(shù)為奇函數(shù)得，解方程即可；（2）由確定的取值范圍，進而判斷函數(shù)單調性，根據(jù)單調性可得二次不等式恒成立，求得參賽范圍；（3）由可得，進而可得函數(shù)，再利用換元法將函數(shù)轉化為二次函數(shù)，分情況討論二次函數(shù)最值即可.【小問1詳解】是定義域為的奇函數(shù)，，即，解得；經檢驗成立【小問2詳解】因為函數(shù)（且），又，，又，，由于單調遞增，單調遞減，故在上單調遞增，不等式化為．，即恒成立，，解得；【小問3詳解】由已知，得，即，解得，或（舍去），，令，是增函數(shù)，，，則，若，當時，，解得,不成立；若，當時，，解得，成立；所以．22.定義域在R的單調函數(shù)滿足恒等式，且.（1）求，；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（3）若對于任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）函數(shù)是奇函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）取代入函數(shù)滿足等式，整理可得，再