高考數學微專題集專題24圓錐曲線中的存在性、探索性問題微點2圓錐曲線中的探索性問題(原卷版+解析)

專題24圓錐曲線中的存在性、探索性問題微點2圓錐曲線中的探索性問題專題24圓錐曲線中的存在性、探索性問題微點2圓錐曲線中的探索性問題【微點綜述】近年來，在圓錐曲線考查的題型中經常會出現探究性問題．探究性問題是一種開放性問題，是指命題中缺少一定條件或無明確結論，需要經過猜測、歸納并加以證明的題型．圓錐曲線的考題主要是結論探究的開放性問題，有探究位置關系的，有探究點是否存在直線是否存在圓是否存在的，有探究圓是否過定點直線是否過定點的，等等，有結論存在和結論不存在兩種情形．這類題型在考查圓錐曲線基礎知識和幾何性質的同時，能很好地考查學生的運算求解、推理論證等數學能力，對學生的綜合能力要求較高．1．圓錐曲線中的探究性問題的常用解題策略（1）先假設存在或結論成立，然后引進未知數、參數并建立有關未知數、參數的等量關系，若能求出相應的量，則表示存在或結論成立，否則表示不存在或結論不成立；（2）在假設存在或結論成立的前提下，利用特殊情況作出猜想，然后加以驗證．在這個解題思路指導下解決探索性問題與解決具有明確結論的問題沒有什么差別．2．常見題型及其解法圓錐曲線的探索性問題主要體現在以下幾個方面：（1）探索常數的存在性；（2）探索點的存在性；（3）探索最值的存在性；（4）探索曲線的存在性；（5）探索命題是否成立等，涉及此類問題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關系．下面分類說明．類型一、探索常數的存在性問題1．如圖，橢圓經過點P（1，），離心率e=，直線l的方程為x=4.（1）求橢圓C的方程；（2）AB是經過右焦點F的任一弦（不經過點P），設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為.問：是否存在常數λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.類型二、探索點的存在性問題2．如圖，橢圓E：的左焦點為，右焦點為，離心率，過的直線交橢圓于A?B兩點，且△的周長為8.(1)求橢圓E的方程；(2)設動直線l：與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線相交于點Q，試探究：在x軸上是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.3．已知定點，，定直線：，不在軸上的動點與點的距離是它到直線的距離的倍．設點的軌跡為，過點的直線交于、兩點，直線、分別交于點、．(1)求的方程；(2)試判斷以線段為直徑的圓是否過定點，若過定點，求出定點的坐標；若不存在，說明理由．類型三、探索曲線的存在性問題4．如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長．（1）求，的方程；（2）設與軸的交點為M，過坐標原點O的直線與相交于點A,B,直線MA,MB分別與相交與D,E.①證明：；②記△MAB,△MDE的面積分別是.問：是否存在直線,使得=?請說明理由．5．已知橢圓過點，其焦距為．(1)求橢圓的方程；(2)已知橢圓具有如下性質：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點處的切線方程為，試運用該性質解決以下問題：（i）如圖（1），點為在第一象限中的任意一點，過作的切線，分別與軸和軸的正半軸交于兩點，求面積的最小值；（ii）如圖（2），過橢圓上任意一點作的兩條切線和，切點分別為．當點在橢圓上運動時，是否存在定圓恒與直線相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．圖（1）

圖（2）(2023安徽·淮南一中高二月考）6．已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，且橢圓C的焦距、雙曲線E的實軸長、雙曲線E的焦距依次構成等比數列.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若雙曲線E的虛軸的上端點為，問是否存在過點的直線交橢圓C于兩點，使得以為直徑的圓過原點？若存在，求出此時直線的方程；若不存在，請說明理由.類型四、探索最值的存在性問題7．已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當點的橫坐標為時，為正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，（ⅰ）證明直線過定點，并求出定點坐標；（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.類型五、探索命題是否成立問題8．已知圓：（），設為圓與軸負半軸的交點，過點作圓的弦，并使弦的中點恰好落在軸上．（Ⅰ）求點的軌跡的方程；（Ⅱ）延長交曲線于點，曲線在點處的切線與直線交于點，試判斷以點為圓心，線段長為半徑的圓與直線的位置關系，并證明你的結論．9．已知為橢圓的右焦點，點在上，且軸．（1）求的方程；（2）過的直線交于兩點，交直線于點．判定直線的斜率是否構成等差數列？請說明理由.【總結】探索性問題的基本題型及其求解方法：（1）給出問題的一些特殊關系，要求探索出一些規(guī)律，并能論證所得規(guī)律的正確性．通常要對已知關系進行觀察、比較、分析，然后概括出一般規(guī)律．（2）只給出條件，求“不存在”“是否存在”等語句表述．此類問題也是最?？嫉奶剿餍詥栴}，解答這類問題時，一般要先對結論給出肯定存在的假設，然后由假設出發(fā)，結合已知條件進行推理，若推出相符的結論，則探索性得到肯定；若導致矛盾，則假設不存在．本題就是“是否存在”型探索性問題．解決探索性問題的注意事項：探索性問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在．（1）當條件和結論不唯一時，要分類討論；（2）當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；（3）當條件和結論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑．【強化訓練】(2023·福建省福州格致中學模擬預測）10．圓：與軸的兩個交點分別為，，點為圓上一動點，過作軸的垂線，垂足為，點滿足(1)求點的軌跡方程；(2)設點的軌跡為曲線，直線交于，兩點，直線與交于點，試問：是否存在一個定點，當變化時，為等腰三角形11．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，為橢圓上的動點．當點與橢圓的上頂點重合時，．(1)求的方程；(2)當點為橢圓的左頂點時，過點的直線（斜率不為0）與橢圓的另外一個交點為，的中點為，過點且平行于的直線與直線交于點．試問：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明理由．(2023·上海虹口·二模）12．已知拋物線：的焦點為，準線為，記準線與軸的交點為，過作直線交拋物線于，（）兩點.(1)若，求的值；(2)若是線段的中點，求直線的方程；(3)若，是準線上關于軸對稱的兩點，問直線與的交點是否在一條定直線上？請說明理由.13．生活中，橢圓有很多光學性質，如從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經過另一個焦點.現橢圓C的焦點在y軸上，中心在坐標原點，從下焦點射出的光線經過橢圓鏡面反射到上焦點，這束光線的總長度為4，且反射點與焦點構成的三角形面積最大值為，已知橢圓的離心率e.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若從橢圓C中心O出發(fā)的兩束光線OM、ON，分別穿過橢圓上的A、B點后射到直線上的M、N兩點，若AB連線過橢圓的上焦點，試問，直線BM與直線AN能交于一定點嗎？若能，求出此定點：若不能，請說明理由.(2023·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預測）14．設A，B分別是直線和上的動點，且，設O為坐標原點，動點G滿足．(1)求點G運動的曲線C的方程；(2)直線與曲線C交于M，N兩點，O為坐標原點，當k為何值，恒為定值，并求此時面積的最大值．(2023·河南省杞縣高中模擬預測）15．已知拋物線C：的焦點為F，過焦點F且垂直于x軸的直線交C于H，I兩點，O為坐標原點，的周長為．(1)求拋物線C的方程；(2)過點F作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB，DE，設弦AB，DE的中點分別為P，Q，試判斷直線PQ是否過定點？若過定點．求出其坐標；若不過定點，請說明理由．16．在直角坐標系中，曲線C：y=與直線交與M,N兩點，（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.17．如圖，橢圓的頂點為，，，，焦點為，，，．(1)求橢圓C的方程；(2)設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于P點，與橢圓相交于A，B兩點的直線，．是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．18．已知橢圓的左右頂點為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩點，直線與直線的斜率分別記為，且．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）設，的面積分別為，，判斷是否為定值，若是求出這個定值，若不是請說明理由．19．已知橢圓的離心率為，以橢圓的上焦點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓左頂點做兩條互相垂直的直線，，且分別交橢圓于，兩點（，不是橢圓的頂點），探究直線是否過定點，若過定點則求出定點坐標，否則說明理由.20．已知橢圓：的離心率為，短軸長為4．（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線過點且與橢圓相交于不同的兩點，，直線與x軸交于點，是直線上異于的任意一點，當時，直線是否恒過軸上的定點？若過，求出定點坐標；若不過，請說明理由．21．已知橢圓的左右焦點分別為，且離心率為，點M為橢圓上一動點，面積的最大值為．(1)求橢圓的標準方程；(2)設分別為橢圓的左右頂點，過點作軸的垂線，為上異于點的一點，以為直徑作圓．若過點的直線（異于軸）與圓相切于點，且與直線相交于點，試判斷是否為定值，并說明理由．22．已知橢圓C：的離心率為，短軸長為4.（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知不經過點P（0，2）的直線l：交橢圓C于A，B兩點，M在AB上滿足且，問直線是否過定點，若過求定點坐標；若不過，請說明理由．23．如圖，是橢圓長軸的兩個端點，是橢圓上與均不重合的相異兩點，設直線的斜率分別是.(1)求的值；(2)若直線過點，求證：；(3)設直線與軸的交點為(為常數且)，試探究直線與直線的交點是否落在某條定直線上？若是，請求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．24．已知是橢圓上的一點，是該橢圓的左右焦點，且.（1）求橢圓的方程；（2）設點是橢圓上與坐標原點不共線的兩點，直線的斜率分別為，且.試探究是否為定值，若是，求出定值，若不是，說明理由.25．已知橢圓C：的一個焦點與上下頂點構成直角三角形，以橢圓C的長軸長為直徑的圓與直線相切．1求橢圓C的標準方程；2設過橢圓右焦點且不重合于x軸的動直線與橢圓C相交于A、B兩點，探究在x軸上是否存在定點E，使得為定值？若存在，試求出定值和點E的坐標；若不存在，請說明理由．26．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點，點滿足．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設直線經過點且與交于不同的兩點、，試問：在軸上是否存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值？若存在，請求出點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．27．已知橢圓，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過點，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，請說明理由．28．已知離心率為的橢圓，與直線交于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為.(1)求橢圓方程;(2)若，則三角形的面積是否為定值?若是，求出這個定值;若不是，請說明理由.29．已知橢圓的右焦點為，離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）是橢圓上不同的三點，若直線的斜率之積為，試問從兩點的橫坐標之和是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．專題24圓錐曲線中的存在性、探索性問題微點2圓錐曲線中的探索性問題專題24圓錐曲線中的存在性、探索性問題微點2圓錐曲線中的探索性問題【微點綜述】近年來，在圓錐曲線考查的題型中經常會出現探究性問題．探究性問題是一種開放性問題，是指命題中缺少一定條件或無明確結論，需要經過猜測、歸納并加以證明的題型．圓錐曲線的考題主要是結論探究的開放性問題，有探究位置關系的，有探究點是否存在直線是否存在圓是否存在的，有探究圓是否過定點直線是否過定點的，等等，有結論存在和結論不存在兩種情形．這類題型在考查圓錐曲線基礎知識和幾何性質的同時，能很好地考查學生的運算求解、推理論證等數學能力，對學生的綜合能力要求較高．1．圓錐曲線中的探究性問題的常用解題策略（1）先假設存在或結論成立，然后引進未知數、參數并建立有關未知數、參數的等量關系，若能求出相應的量，則表示存在或結論成立，否則表示不存在或結論不成立；（2）在假設存在或結論成立的前提下，利用特殊情況作出猜想，然后加以驗證．在這個解題思路指導下解決探索性問題與解決具有明確結論的問題沒有什么差別．2．常見題型及其解法圓錐曲線的探索性問題主要體現在以下幾個方面：（1）探索常數的存在性；（2）探索點的存在性；（3）探索最值的存在性；（4）探索曲線的存在性；（5）探索命題是否成立等，涉及此類問題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關系．下面分類說明．類型一、探索常數的存在性問題1．如圖，橢圓經過點P（1，），離心率e=，直線l的方程為x=4.（1）求橢圓C的方程；（2）AB是經過右焦點F的任一弦（不經過點P），設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為.問：是否存在常數λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.類型二、探索點的存在性問題2．如圖，橢圓E：的左焦點為，右焦點為，離心率，過的直線交橢圓于A?B兩點，且△的周長為8.(1)求橢圓E的方程；(2)設動直線l：與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線相交于點Q，試探究：在x軸上是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.3．已知定點，，定直線：，不在軸上的動點與點的距離是它到直線的距離的倍．設點的軌跡為，過點的直線交于、兩點，直線、分別交于點、．(1)求的方程；(2)試判斷以線段為直徑的圓是否過定點，若過定點，求出定點的坐標；若不存在，說明理由．類型三、探索曲線的存在性問題4．如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長．（1）求，的方程；（2）設與軸的交點為M，過坐標原點O的直線與相交于點A,B,直線MA,MB分別與相交與D,E.①證明：；②記△MAB,△MDE的面積分別是.問：是否存在直線,使得=?請說明理由．5．已知橢圓過點，其焦距為．(1)求橢圓的方程；(2)已知橢圓具有如下性質：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點處的切線方程為，試運用該性質解決以下問題：（i）如圖（1），點為在第一象限中的任意一點，過作的切線，分別與軸和軸的正半軸交于兩點，求面積的最小值；（ii）如圖（2），過橢圓上任意一點作的兩條切線和，切點分別為．當點在橢圓上運動時，是否存在定圓恒與直線相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．圖（1）

圖（2）(2023安徽·淮南一中高二月考）6．已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，且橢圓C的焦距、雙曲線E的實軸長、雙曲線E的焦距依次構成等比數列.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若雙曲線E的虛軸的上端點為，問是否存在過點的直線交橢圓C于兩點，使得以為直徑的圓過原點？若存在，求出此時直線的方程；若不存在，請說明理由.類型四、探索最值的存在性問題7．已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當點的橫坐標為時，為正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，（?。┳C明直線過定點，并求出定點坐標；（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.類型五、探索命題是否成立問題8．已知圓：（），設為圓與軸負半軸的交點，過點作圓的弦，并使弦的中點恰好落在軸上．（Ⅰ）求點的軌跡的方程；（Ⅱ）延長交曲線于點，曲線在點處的切線與直線交于點，試判斷以點為圓心，線段長為半徑的圓與直線的位置關系，并證明你的結論．9．已知為橢圓的右焦點，點在上，且軸．（1）求的方程；（2）過的直線交于兩點，交直線于點．判定直線的斜率是否構成等差數列？請說明理由.【總結】探索性問題的基本題型及其求解方法：（1）給出問題的一些特殊關系，要求探索出一些規(guī)律，并能論證所得規(guī)律的正確性．通常要對已知關系進行觀察、比較、分析，然后概括出一般規(guī)律．（2）只給出條件，求“不存在”“是否存在”等語句表述．此類問題也是最?？嫉奶剿餍詥栴}，解答這類問題時，一般要先對結論給出肯定存在的假設，然后由假設出發(fā)，結合已知條件進行推理，若推出相符的結論，則探索性得到肯定；若導致矛盾，則假設不存在．本題就是“是否存在”型探索性問題．解決探索性問題的注意事項：探索性問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在．（1）當條件和結論不唯一時，要分類討論；（2）當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；（3）當條件和結論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑．【強化訓練】(2023·福建省福州格致中學模擬預測）10．圓：與軸的兩個交點分別為，，點為圓上一動點，過作軸的垂線，垂足為，點滿足(1)求點的軌跡方程；(2)設點的軌跡為曲線，直線交于，兩點，直線與交于點，試問：是否存在一個定點，當變化時，為等腰三角形11．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，為橢圓上的動點．當點與橢圓的上頂點重合時，．(1)求的方程；(2)當點為橢圓的左頂點時，過點的直線（斜率不為0）與橢圓的另外一個交點為，的中點為，過點且平行于的直線與直線交于點．試問：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明理由．(2023·上海虹口·二模）12．已知拋物線：的焦點為，準線為，記準線與軸的交點為，過作直線交拋物線于，（）兩點.(1)若，求的值；(2)若是線段的中點，求直線的方程；(3)若，是準線上關于軸對稱的兩點，問直線與的交點是否在一條定直線上？請說明理由.13．生活中，橢圓有很多光學性質，如從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經過另一個焦點.現橢圓C的焦點在y軸上，中心在坐標原點，從下焦點射出的光線經過橢圓鏡面反射到上焦點，這束光線的總長度為4，且反射點與焦點構成的三角形面積最大值為，已知橢圓的離心率e.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若從橢圓C中心O出發(fā)的兩束光線OM、ON，分別穿過橢圓上的A、B點后射到直線上的M、N兩點，若AB連線過橢圓的上焦點，試問，直線BM與直線AN能交于一定點嗎？若能，求出此定點：若不能，請說明理由.(2023·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預測）14．設A，B分別是直線和上的動點，且，設O為坐標原點，動點G滿足．(1)求點G運動的曲線C的方程；(2)直線與曲線C交于M，N兩點，O為坐標原點，當k為何值，恒為定值，并求此時面積的最大值．(2023·河南省杞縣高中模擬預測）15．已知拋物線C：的焦點為F，過焦點F且垂直于x軸的直線交C于H，I兩點，O為坐標原點，的周長為．(1)求拋物線C的方程；(2)過點F作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB，DE，設弦AB，DE的中點分別為P，Q，試判斷直線PQ是否過定點？若過定點．求出其坐標；若不過定點，請說明理由．16．在直角坐標系中，曲線C：y=與直線交與M,N兩點，（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.17．如圖，橢圓的頂點為，，，，焦點為，，，．(1)求橢圓C的方程；(2)設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于P點，與橢圓相交于A，B兩點的直線，．是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．18．已知橢圓的左右頂點為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩點，直線與直線的斜率分別記為，且．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）設，的面積分別為，，判斷是否為定值，若是求出這個定值，若不是請說明理由．19．已知橢圓的離心率為，以橢圓的上焦點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓左頂點做兩條互相垂直的直線，，且分別交橢圓于，兩點（，不是橢圓的頂點），探究直線是否過定點，若過定點則求出定點坐標，否則說明理由.20．已知橢圓：的離心率為，短軸長為4．（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線過點且與橢圓相交于不同的兩點，，直線與x軸交于點，是直線上異于的任意一點，當時，直線是否恒過軸上的定點？若過，求出定點坐標；若不過，請說明理由．21．已知橢圓的左右焦點分別為，且離心率為，點M為橢圓上一動點，面積的最大值為．(1)求橢圓的標準方程；(2)設分別為橢圓的左右頂點，過點作軸的垂線，為上異于點的一點，以為直徑作圓．若過點的直線（異于軸）與圓相切于點，且與直線相交于點，試判斷是否為定值，并說明理由．22．已知橢圓C：的離心率為，短軸長為4.（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知不經過點P（0，2）的直線l：交橢圓C于A，B兩點，M在AB上滿足且，問直線是否過定點，若過求定點坐標；若不過，請說明理由．答案：（1）（2）直線恒過定點，詳見解析分析：（1）根據題意可得，解出方程可得橢圓的標準方程；（2）設，，根據向量的關系以及三角形的性質可得為外接圓的直徑，即，根據點A，B在直線上可得，聯立直線與橢圓的方程，運用韋達定理代入可得，解出方程或，代入直線中即可得定點.【詳解】解：（1）由題意得解得，，所以橢圓的標準方程為．（2）設，，又，所以，，因為在上滿足，所以為的中點．又，即，所以線段為外接圓的直徑，即，所以．又在直線上，所以，即，聯立消得，因為直線與橢圓交于不同的兩點，所以，即，由韋達定理得代入（*）中，得，解得或，所以直線：或，所以直線過定點或（舍去），綜上所述：直線恒過定點．【點睛】本題主要考查了根據求橢圓的方程，直線與圓錐曲線相交，直線過定點問題，得出的關系是解題的關鍵，屬于難題.23．如圖，是橢圓長軸的兩個端點，是橢圓上與均不重合的相異兩點，設直線的斜率分別是.(1)求的值；(2)若直線過點，求證：；(3)設直線與軸的交點為(為常數且)，試探究直線與直線的交點是否落在某條定直線上？若是，請求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．答案：（1）（2）見解析（3）落在定直線上【詳解】試題分析：（1）由橢圓方程可知點兩點的坐標，可設點的坐標（設而不求），根據斜率的計算公式列出的表達式，又點在橢圓上，聯立橢圓方程，從而可問題可得解；（2）由題意可聯立直線與橢圓方程，消去，根據韋達定理，求得點的縱坐標與參數的關系式，再分別算出斜率，進行運算化簡，從而問題可得證.（3）同（2）法，由點的縱坐標，求出直線的方程，聯立兩直線方程，求出其交點的橫坐標與點的坐標無關，從而可判斷交點落在定直線上，從而問題可得解.試題解析：(1)設，由于，所以，因為在橢圓上，于是，即，所以.(2)設直線，，由得，于是，．(3)由于直線與軸的交點為，于是，聯立直線與橢圓的方程，可得，于是因為直線，直線，兩式相除，可知，于是，所以，即直線與直線的交點落在定直線上．24．已知是橢圓上的一點，是該橢圓的左右焦點，且.（1）求橢圓的方程；（2）設點是橢圓上與坐標原點不共線的兩點，直線的斜率分別為，且.試探究是否為定值，若是，求出定值，若不是，說明理由.答案：(1)橢圓;(2)見解析.【詳解】分析：(1)由，可得，根據橢圓定義，可得，從而可得，進而可得橢圓的方程；(2)設直線，，由消去y得，由，可得，結合韋達定理可得.詳解：（1）由題意，，根據橢圓定義，所以所以，因此，橢圓.（用待定系數法，列方程組求解同樣給分）（2）設直線，，由消去y得因為，所以即，解得所以，點睛：本題主要考查待定待定系數法求拋物線及橢圓標準方程、圓錐曲線的定值問題以及點在曲線上問題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.25．已知橢圓C：的一個焦點與上下頂點構成直角三角形，以橢圓C的長軸長為直徑的圓與直線相切．1求橢圓C的標準方程；2設過橢圓右焦點且不重合于x軸的動直線與橢圓C相交于A、B兩點，探究在x軸上是否存在定點E，使得為定值？若存在，試求出定值和點E的坐標；若不存在，請說明理由．答案：（1）；（2）定點為.【詳解】分析：（1）根據一個焦點與短軸兩端點的連線相互垂直，以橢圓的長軸為直徑的圓與直線相切，結合性質

，列出關于、、的方程組，求出、、，即可得結果；(2)設直線聯立，得.假設軸上存在定點，由韋達定理，利用平面向量數量積公式可得，要使為定值，則的值與無關，所以，從而可得結果.詳解：（1）由題意知，，解得則橢圓的方程是（2）①當直線的斜率存在時，設直線聯立，得所以假設軸上存在定點，使得為定值。所以要使為定值，則的值與無關，所以解得，此時為定值，定點為②當直線的斜率不存在時，，也成立所以，綜上所述，在軸上存在定點，使得為定值點睛：本題主要考查待定待定系數法求橢圓標準方程、圓錐曲線的定值問題以及點在曲線上問題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.26．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點，點滿足．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設直線經過點且與交于不同的兩點、，試問：在軸上是否存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值？若存在，請求出點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．答案：（1）（2），定值為1.【詳解】試題分析：（Ⅰ）由可得，再根據離心率求得，由此可得，故可得橢圓的方程．（Ⅱ）由題意可得直線的斜率存在，設出直線方程后與橢圓方程聯立消元后得到一元二次方程，求出直線與直線的斜率，結合根與系數的關系可得，根據此式的特點可得當時，為定值．試題解析：（Ⅰ）依題意得、，，∴，解得．∵，∴，∴，故橢圓的方程為．

（Ⅱ）假設存在滿足條件的點.當直線與軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意.

因此直線的斜率存在，設直線的方程為，由消去整理得，設、，則，，∵，∴要使對任意實數，為定值，則只有，此時．故在軸上存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值．點睛：解決解析幾何中定值問題的常用方法（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．（2）直接對所給要證明為定值的解析式進行推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量得到常數，從而證明得到定值，這是解答類似問題的常用方法．27．已知橢圓，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過點，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，請說明理由．答案：(1)