高中數(shù)學(xué)選擇性必修3課件：§8 2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用(人教A版)

§8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義.2.了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法.3.針對(duì)實(shí)際問題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).稱

為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中Y稱為_______或

，x稱為

或

，

稱為截距參數(shù)，

稱為斜率參數(shù)；e是

與

之間的隨機(jī)誤差，如果e＝

，那么Y與x之間的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述.知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一一元線性回歸模型因變量響應(yīng)變量自變量解釋變量abYbx＋a0知識(shí)點(diǎn)二最小二乘法答案不一定.答案在.思考1經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定過成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一點(diǎn)嗎？思考2點(diǎn)()在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上嗎？知識(shí)點(diǎn)三殘差與殘差分析1.殘差對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為

，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的

稱為

，

減去

稱為殘差.2.殘差分析

是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對(duì)

的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.觀測(cè)值預(yù)測(cè)值觀測(cè)值預(yù)測(cè)值殘差殘差知識(shí)點(diǎn)四對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析1.殘差圖法在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以

，則說明經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了兩個(gè)變量的關(guān)系.2.殘差平方和法殘差平方和

越小，模型的擬合效果越好.橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)3.R2法大小思考利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得的函數(shù)值一定是真實(shí)值嗎？答案不一定，他只是真實(shí)值的一個(gè)預(yù)測(cè)估計(jì)值.思考利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得的函數(shù)值一定是真實(shí)值嗎？答案不一定，他只是真實(shí)值的一個(gè)預(yù)測(cè)估計(jì)值.題型探究探究一

求經(jīng)驗(yàn)回歸方程例1.隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng).設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表:年份20162017201820192020時(shí)間代號(hào)t12345儲(chǔ)蓄存款y/千億元567810(1)建立y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)用所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)的居民2021年(t=6)的人民幣儲(chǔ)蓄存款.解:(1)根據(jù)數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖(略),由散點(diǎn)圖可知y與t線性相關(guān).列表計(jì)算如下:反思感悟求經(jīng)驗(yàn)回歸方程可分如下四步來完成(4)寫：寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.反思感悟求經(jīng)驗(yàn)回歸方程可分如下四步來完成(4)寫：寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.跟蹤訓(xùn)練1.某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得下表數(shù)據(jù):x681012y2356(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(3)試根據(jù)求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力.解：(1)散點(diǎn)圖如圖:探究二

線性回歸分析反思感悟刻畫回歸效果的三種方法(1)殘差圖法，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適.次數(shù)(x)3033353739444650成績(jī)(y)3034373942464851探究三

非線性回歸例3.為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化時(shí)，繁殖個(gè)數(shù)y的變化，收集數(shù)據(jù)如下：(1)用天數(shù)x作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)y作預(yù)報(bào)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)描述解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y之間的關(guān)系；(3)計(jì)算相關(guān)指數(shù)．天數(shù)x/天123456繁殖個(gè)數(shù)y/個(gè)612254995190解：(1)所作散點(diǎn)圖如圖所示．

(2)由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝lny，則x123456z1.792.483.223.894.555.25反思感悟非線性回歸問題的處理方法(1)指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a①函數(shù)y＝ebx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：兩邊取對(duì)數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a①函數(shù)y＝blnx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：設(shè)x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型處理方法：設(shè)x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓(xùn)練3.某展會(huì)一天上午9點(diǎn)半到下午2點(diǎn)的即時(shí)參觀人數(shù)如下表:時(shí)間9.51010.51111.51212.51313.514人數(shù)y/萬12.3920.0225.5730.2635.7737.5740.2340.9541.7343.71已知時(shí)間與參觀人數(shù)具有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系,試求出這段時(shí)間內(nèi)即時(shí)參觀人數(shù)關(guān)于時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.解：根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如圖所示.由圖可以看出,樣本點(diǎn)分布在某條對(duì)數(shù)型函數(shù)曲線y=a+blnx的周圍.令z=ln

x,則y=a+bz,故y與z具有線性相關(guān)關(guān)系.可知y與z的數(shù)據(jù)如下表:z2.252.302.352.402.442.482.532.562.602.64人數(shù)y/萬12.3920.0225.5730.2635.7737.5740.2340.9541.7343.71由表中數(shù)據(jù)可得y關(guān)于z的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

課堂小結(jié)1.知識(shí)清單：(1)一元線性回歸模型.(2)最小二乘法、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法.(3)對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析：殘差圖法、殘差平方和法和R2法.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū)：不判斷變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，盲目求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程致誤.當(dāng)堂檢測(cè)1．兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系是一種(

)A．確定性關(guān)系B．線性關(guān)系C．非線性關(guān)系D．可能是線性關(guān)系也可能不是線性關(guān)系【解析】變量之間的相關(guān)關(guān)系是一種非確定性的關(guān)系，如果所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線附近，那么它們之間就是一種線性相關(guān)關(guān)系，否則不是線性相關(guān)關(guān)系．故選D.【答案】D【解析】由于銷售量y與銷售價(jià)格x成負(fù)相關(guān)，故排除B，D.又當(dāng)x＝10時(shí)，A中y＝100，而C中y＝－300，C不符合題意，故選A.【答案】A3.下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程必過點(diǎn)________.x1234y13574．關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070備用工具&資料4．關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070【解析】由于銷售量y與銷售價(jià)格x成負(fù)相關(guān)，故排除B，D.又當(dāng)x＝10時(shí)，A中y＝100，而C中y＝－300，C不符合題意，故選A.【答案】A(1)建立y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)用所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)的居民2021年(t=6)的人民幣儲(chǔ)蓄存款.知識(shí)點(diǎn)三殘差與殘差分析1.殘差對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為

，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的

稱為

，

減去

稱為殘差.2.殘差分析

是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對(duì)

的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.觀測(cè)值預(yù)測(cè)值觀測(cè)值預(yù)測(cè)值殘差殘差知識(shí)點(diǎn)四對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析1.殘差圖法在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以

，則說明經(jīng)驗(yàn)回歸方