高考數(shù)學(xué)大題精做專題04求數(shù)列的通項(xiàng)公式(第二篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第二篇數(shù)列與不等式專題04求數(shù)列的通項(xiàng)公式類型對應(yīng)典例已知求數(shù)列的通項(xiàng)公式（n=1的驗(yàn)證）典例1已知與的遞推式求通項(xiàng)公式（構(gòu)造法）典例2已知與的遞推式求通項(xiàng)公式（構(gòu)造法）典例3已知遞推式求通項(xiàng)公式典例4已知分式結(jié)構(gòu)求通項(xiàng)公式典例5已知與的遞推式求通項(xiàng)公式（因式分解）典例6已知數(shù)列中三項(xiàng)之間遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式典例7【典例1】【2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（山東）】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.思路引導(dǎo)：（Ⅰ）利用數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解；（Ⅱ）結(jié)合第（Ⅰ）問的結(jié)果，利用關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并結(jié)合其通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，采用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和.【典例2】【安徽省蚌埠市2019屆高三年級第一次教學(xué)質(zhì)量檢查】已知數(shù)列滿足：，．設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【思路引導(dǎo)】（1）證明為常數(shù)即可;（2）利用條件（1）可求得，利用分組求和方法即可求解?！镜淅?】【天津市南開區(qū)2019屆高三第二學(xué)期模擬考試（二)數(shù)學(xué)】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足.（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的的最大值.【思路引導(dǎo)】(Ⅰ)利用，整理可得數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，利用裂項(xiàng)相消法求得，解不等式可得結(jié)果.【典例4】【2020屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列滿足，，，2，.求數(shù)列的通項(xiàng)；設(shè)，求．【思路引導(dǎo)】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出，通過當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)，，分別求解通項(xiàng)公式；化簡，然后求解數(shù)列的和即可．【典例5】【安徽省阜陽市2019-2020學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測】已知數(shù)列滿足，且.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列是等差數(shù)列，并通過數(shù)列的通項(xiàng)公式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)因?yàn)?，根?jù)錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【典例6】【湖南省邵陽市2019-2020學(xué)年高三第一次聯(lián)考】已知正項(xiàng)數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】(1)將化簡為,結(jié)合已知即可求得答案;(2)令,則,,所以,可得,根據(jù)分組求和,即可求得答案.【典例7】【安徽省黃山市2019-2020學(xué)年上學(xué)期高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測】已知等比數(shù)列中，，，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若前的前項(xiàng)和，求的最大值.【思路引導(dǎo)】(1)由是等比數(shù)列，令可列出方程求出，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可；（2）表示出的通項(xiàng)公式，由錯(cuò)位相減法可求得，代入已知不等式即可得解.【針對訓(xùn)練】1.【2020屆湖北省第五屆高考測評活動】設(shè)正數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.2.【2020屆陜西省榆林市高三模擬第一次測試】在數(shù)列中，任意相鄰兩項(xiàng)為坐標(biāo)的點(diǎn)均在直線上，數(shù)列滿足條件：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3.【安徽省阜陽市2019-2020學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測】已知數(shù)列滿足，且.（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4.【福建省寧德市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢查】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．5.【2020年1月廣東省大聯(lián)考】在數(shù)列中，，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.6.【黑龍江省哈爾濱市三中2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】已知在正項(xiàng)數(shù)列中，首項(xiàng)，點(diǎn)在雙曲線上，數(shù)列中，點(diǎn)在直線上，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求使得成立的最小值；（3）若，求證：數(shù)列為遞減數(shù)列．7.【2020屆山東省棗莊、滕州市高三上學(xué)期期末考試】已知等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列，且；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.求：（1）；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和.8.已知等差數(shù)列滿足，，等比數(shù)列公比，且，.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列，滿足，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和．9.【2020屆河北省張家口市高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若為數(shù)列的前項(xiàng)和,求10.【2020屆安徽省安慶市上學(xué)期高三期末】已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．11.【廣東省肇慶市2019-2020學(xué)年高中第一次統(tǒng)考】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＞0，前n項(xiàng)和為Sn，若（n∈N*，且n≥2）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．12.【2020屆河南省許昌市高三年級第一次質(zhì)量檢測】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列前n項(xiàng)和.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第二篇數(shù)列與不等式專題04求數(shù)列的通項(xiàng)公式類型對應(yīng)典例已知求數(shù)列的通項(xiàng)公式（n=1的驗(yàn)證）典例1已知與的遞推式求通項(xiàng)公式（構(gòu)造法）典例2已知與的遞推式求通項(xiàng)公式（構(gòu)造法）典例3已知遞推式求通項(xiàng)公式典例4已知分式結(jié)構(gòu)求通項(xiàng)公式典例5已知與的遞推式求通項(xiàng)公式（因式分解）典例6已知數(shù)列中三項(xiàng)之間遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式典例7【典例1】【2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（山東）】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.思路引導(dǎo)：（Ⅰ）利用數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解；（Ⅱ）結(jié)合第（Ⅰ）問的結(jié)果，利用關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并結(jié)合其通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，采用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和.解：（Ⅰ）因?yàn)樗?，，故?dāng)時(shí)，此時(shí)，即所以，（Ⅱ）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以兩式相減，得所以經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)也適合，綜上可得：【典例2】【安徽省蚌埠市2019屆高三年級第一次教學(xué)質(zhì)量檢查】已知數(shù)列滿足：，．設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【思路引導(dǎo)】（1）證明為常數(shù)即可;（2）利用條件（1）可求得，利用分組求和方法即可求解。解：數(shù)列滿足：，．由，那么，；即公比，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；由可得，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式為：數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【典例3】【天津市南開區(qū)2019屆高三第二學(xué)期模擬考試（二)數(shù)學(xué)】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足.（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的的最大值.【思路引導(dǎo)】(Ⅰ)利用，整理可得數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，利用裂項(xiàng)相消法求得，解不等式可得結(jié)果.解：(Ⅰ)，當(dāng)時(shí)，，，化為，

，即當(dāng)時(shí),，

令,可得,即.

又,數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.

于是，.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,,可得，，因?yàn)槭亲匀粩?shù)，所以的最大值為4.【典例4】【2020屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列滿足，，，2，.求數(shù)列的通項(xiàng)；設(shè)，求．【思路引導(dǎo)】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出，通過當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)，，分別求解通項(xiàng)公式；化簡，然后求解數(shù)列的和即可．解：，，2，，，，3，得，，當(dāng)n為奇數(shù)，，當(dāng)n為偶數(shù)，所以；，．【典例5】【安徽省阜陽市2019-2020學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測】已知數(shù)列滿足，且.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列是等差數(shù)列，并通過數(shù)列的通項(xiàng)公式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)因?yàn)椋鶕?jù)錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和．解：(1)因?yàn)椋瑑蛇叾技由?，得所以，即，所以?shù)列是以為公差，首項(xiàng)為的等差數(shù)列．所以，即．(2)因?yàn)椋詳?shù)列的前項(xiàng)和，①則，②由，得，所以．【典例6】【湖南省邵陽市2019-2020學(xué)年高三第一次聯(lián)考】已知正項(xiàng)數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】(1)將化簡為,結(jié)合已知即可求得答案;(2)令,則,,所以,可得,根據(jù)分組求和,即可求得答案.解：(1),可得:,.(2)令,則,,【典例7】【安徽省黃山市2019-2020學(xué)年上學(xué)期高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測】已知等比數(shù)列中，，，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若前的前項(xiàng)和，求的最大值.【思路引導(dǎo)】(1)由是等比數(shù)列，令可列出方程求出，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可；（2）表示出的通項(xiàng)公式，由錯(cuò)位相減法可求得，代入已知不等式即可得解.解：（1）由是等比數(shù)列，令可得或（舍去），故.（2）由題，所以又兩式相減得易知單調(diào)遞增，且，故的最大值為.【針對訓(xùn)練】1.【2020屆湖北省第五屆高考測評活動】設(shè)正數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）利用遞推公式可得,再與原式作差即可得數(shù)列的公差,結(jié)合首項(xiàng),可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.檢驗(yàn)時(shí)也成立即可.（2）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)遞增,可知,將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入,解不等式即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：（1）由已知,利用遞推公式可得兩式相減,時(shí),∴,,因此時(shí),成立∴數(shù)列是等差數(shù)列,公差為1,∴（2）將代入數(shù)列,可得∵為遞增數(shù)列∴對任意正整數(shù)n恒成立即所以∴對任意正整數(shù)n恒成立∴∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.2.【2020屆陜西省榆林市高三模擬第一次測試】在數(shù)列中，任意相鄰兩項(xiàng)為坐標(biāo)的點(diǎn)均在直線上，數(shù)列滿足條件：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）由題意得出，利用等比數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由此可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法能求出.解：（1）數(shù)列中，任意相鄰兩項(xiàng)為坐標(biāo)的點(diǎn)均在直線上，，.，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由于，，①，②①②得.3.【安徽省阜陽市2019-2020學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測】已知數(shù)列滿足，且.（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】(1)由，利用定義能證明是以為公差的等差數(shù)列，從而求出；(2)由，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，所以，兩邊都加?，得，所以，即，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，且首項(xiàng)是，所以，即.（2）因?yàn)?，所以?shù)列的前項(xiàng)和，①則，②由①－②，得，所以.4.【福建省寧德市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢查】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【思路引導(dǎo)】（1）利用臨差法得到，從而證明數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）將通項(xiàng)進(jìn)行改寫，再利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和.解：（1）由兩式相減，得：，又，，當(dāng)時(shí)，且，故，得（舍去），，數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以．（2）由（1）及題意可得，所以]．5.【2020年1月廣東省大聯(lián)考】在數(shù)列中，，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)遞推公式可得即是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，采用分組求和計(jì)算其前項(xiàng)和.解：（1）∵，∴，∴.又，∴是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴從而.（2）∵，∴，∴，∴，.6.【黑龍江省哈爾濱市三中2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】已知在正項(xiàng)數(shù)列中，首項(xiàng)，點(diǎn)在雙曲線上，數(shù)列中，點(diǎn)在直線上，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求使得成立的最小值；（3）若，求證：數(shù)列為遞減數(shù)列．【思路引導(dǎo)】（1）由條件可得是等差數(shù)列，再由已知的前項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系，即可求出結(jié)論；（2）求出，去絕對值，解關(guān)于的不等式，即可求解.解：（1）點(diǎn)在雙曲線上，是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，；點(diǎn)在直線上，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，.（2），解得，成立的最小值為7.（3），，，所以數(shù)列為遞減數(shù)列.7.【2020屆山東省棗莊、滕州市高三上學(xué)期期末考試】已知等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列，且；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.求：（1）；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）由成等差數(shù)列，得.從而可求得公比，再由求得，從而可得通項(xiàng)公式，然后求出后，利用求出，從而得公差后得．（2）用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和．解：（1）設(shè)的公比為q.因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即.因?yàn)?，所?因?yàn)椋?因此.由題意，.所以，，從而.所以的公差.所以.（2）令，則.因此.又兩式相減得.所以.8.已知等差數(shù)列滿足，，等比數(shù)列公比，且，.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列，滿足，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得出，可計(jì)算出和的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出，根據(jù)題意得出與的方程組，結(jié)合條件，求出和的值，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出；（2）利用分組求和法結(jié)合等比數(shù)列的求和公式得出，可得出，然后利用裂項(xiàng)法可求出，即可證明出.解：（1），由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得，，同理可得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，.由題意得，兩個(gè)等式相除得，整理得.，解得，，因此，；（2），，，9.【2020屆河北省張家口市高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若為數(shù)列的前項(xiàng)和,求【思路引導(dǎo)】（1）對條件進(jìn)行因式分解可得，由于是正項(xiàng)等比數(shù)列，解出基本量可以得出；（2）對數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行研究可得，可采用裂項(xiàng)求和法和公式法進(jìn)行組合求解：由，得，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，且是正項(xiàng)等比數(shù)列，即為，解得，。，故。10.【2020屆安徽省安慶市上學(xué)期高三期末】已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【思路引導(dǎo)】（1），①當(dāng)時(shí)，，②兩式相減即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和證明.（1）解：，①當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，②由①-②，得，因?yàn)榉仙鲜剑裕?）證明：因?yàn)?，所以?1.【廣東省肇慶市2019-2020學(xué)年高中第一次統(tǒng)考】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＞0，前n項(xiàng)和為Sn，若（n∈N*，且n≥2）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【思路引導(dǎo)】（1）