高中數(shù)學選擇性必修三課件：§8 2 第3課時 非線性經(jīng)驗回歸方程(人教A版)

第3課時非線性經(jīng)驗回歸方程第八章§8.2一元線性回歸模型及其應用1.進一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計意義.2.了解非線性回歸模型.3.會通過分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果.學習目標隨堂演練課時對點練內(nèi)容索引一、指數(shù)函數(shù)模型y＝αeβx(α＞0)二、冪函數(shù)模型y＝αxβ(α＞0)一、指數(shù)函數(shù)模型y＝αeβx(α＞0)例1

某景區(qū)的各景點從2010年取消門票實行免費開放后，旅游的人數(shù)不斷地增加，不僅帶動了該市淡季的旅游，而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結構，促進了該市旅游向“觀光、休閑、會展”三輪驅動的理想結構快速轉變.下表是從2010年至2019年，該景點的旅游人數(shù)y(萬人)與年份x的數(shù)據(jù)：第x年12345旅游人數(shù)(萬人)300283321345372第x年678910旅游人數(shù)(萬人)435486527622800該景點為了預測2022年的旅游人數(shù)，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：由最小二乘法公式求得y與x的經(jīng)驗回歸方程

＝50.8x＋169.7；模型②：由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線y＝aebx的附近.解對y＝aebx取對數(shù)，得lny＝bx＋lna，設u＝lny，c＝lna，先建立u關于x的經(jīng)驗回歸方程.a＝ec≈e5.46≈235.(2)根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測2022年該景區(qū)的旅游人數(shù)(單位：萬人，精確到個位).③參考數(shù)據(jù)：e5.46≈235，e1.43≈4.2.解由表格中的數(shù)據(jù)，知30407>14607，2022年時，x＝13，預測旅游人數(shù)為反思感悟指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a回歸問題的處理方法(1)函數(shù)y＝ebx＋a的圖象，如圖所示.(2)處理方法：兩邊取對數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓練1

已知某種細菌的適宜生長溫度為10℃～25℃，為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量y(單位：個)隨溫度x(單位：℃)變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如表：溫度x/℃12141618202224繁殖數(shù)量y/個2025332751112194對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如表所示：跟蹤訓練1

已知某種細菌的適宜生長溫度為10℃～25℃，為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量y(單位：個)隨溫度x(單位：℃)變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如表：溫度x/℃12141618202224繁殖數(shù)量y/個2025332751112194對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如表所示：(1)請繪出y關于x的散點圖，并根據(jù)散點圖判斷y＝bx＋a與y＝

哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量y關于x的經(jīng)驗回歸方程類型(只做出判斷，不必說明理由)；解繪出的散點圖如圖所示，根據(jù)散點圖判斷y＝

更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量y關于x的回歸方程類型.(2)當溫度為25℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預測值為多少？解∵y＝

，設k＝lny，則k＝c2x＋lnc1，先建立k關于x的經(jīng)驗回歸方程.∴c1＝e0.2，y＝

＝e0.2x＋0.2，當溫度為25℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預測值為e5.2≈181.二、冪函數(shù)模型y＝αxβ(α＞0)問題2某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預測值是多少？解由(2)知，當x＝49時，解根據(jù)(2)的結果知，年利潤z的預報值故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預測值最大.反思感悟冪函數(shù)型問題的處理方法冪函數(shù)型y＝axn(n為常數(shù)，a，x，y均取正值)兩邊取常用對數(shù)lgy＝lg(axn)，即lgy＝nlgx＋lga，然后按線性回歸模型求出n，lga.跟蹤訓練2某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本y(元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(千件)有關，經(jīng)統(tǒng)計得到如表數(shù)據(jù)：x12345678y1126144.53530.5282524根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.(1)用反比例函數(shù)模型求y關于x的非線性經(jīng)驗回歸方程；先建立y關于u的經(jīng)驗回歸方程，(2)用樣本相關系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好(精確到0.01)，并用其估計產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品的非原料成本.因為|r1|＜|r2|，所以用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，所以當產(chǎn)量為10千件時，每件產(chǎn)品的非原料成本為21元.1.知識清單：(1)指數(shù)函數(shù)模型.(2)冪函數(shù)模型.2.方法歸納：轉化思想.3.常見誤區(qū)：非線性經(jīng)驗回歸方程轉化為經(jīng)驗回歸方程時的轉化方法.課堂小結隨堂演練1234√1234解析由非線性經(jīng)驗回歸方程的求解過程可知①正確；易知②正確；根據(jù)y與z正相關，y與x負相關，可知x與z負相關，③錯誤.A.e5B.C.e7D.若x＝5，則預測y的值可能為1234√x1234yeE3e4e61234列表如下：x1234z13461234∴3.5＝b×2.5－0.5，解得b＝1.6，∴z＝1.6x－0.5，12343.若一函數(shù)模型為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將y轉化為t的經(jīng)驗回歸方程，需做變換t等于√1234課時對點練1.數(shù)據(jù)顯示，某IT公司2021年上半年五個月的收入情況如下表所示：基礎鞏固1234月份23456月收入(萬元)1.42.565.311121.3(1)你認為哪個函數(shù)模型較好，并簡單說明理由；解畫出散點圖.1234由圖可知點(2,1.4)，(3,2.56)，(4,5.31)，(5,11)，(6,21.3)(2)試用你認為較好的函數(shù)模型，分析大約從第幾個月份開始，該公司的月收入會超過100萬元？(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)12341234∴l(xiāng)g2x>lg300，即xlg2>2＋lg3，故大約從第9月份開始，該公司的月收入會超過100萬元.28＝256<300；29＝512>300，故大約從第9月份開始，該公司的月收入會超過100萬元.2.抖音短視頻已成為很多人生活娛樂中不可或缺的一部分，很多人喜歡將自己身邊的事情拍成短視頻發(fā)布到網(wǎng)上，某人將發(fā)布短視頻后1－8天的點擊量的數(shù)據(jù)進行了初步處理，得到下面的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值.12341234(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應該選擇哪個模型？解由殘差圖可知，模型①效果更好.1234(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程；(在計算回歸系數(shù)時精確到0.01)1234(3)預測該短視頻發(fā)布后第10天的點擊量是多少？3.中國茶文化博大精深，已知茶水的口感與茶葉類型以及水溫有關.經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.某學習研究小組通過測量，得到了下面表格中的數(shù)據(jù)(室溫是20℃).1234泡制時間x/min01234水溫y/℃8579747165(1)小組成員根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)繪制散點圖(圖略)，并根據(jù)散點圖分布情況，考慮到茶水溫度降到室溫(即20℃)就不能再降的事實，決定選擇函數(shù)模型y＝kcx＋20(x≥0)來刻畫.①令z＝ln(y－20)，求出z關于x的經(jīng)驗回歸方程；解由已知得出x與z的關系，如下表：1234泡制時間x/min01234z4.24.14.03.93.8＝(－2)×0.2＋(－1)×0.1＋1×(－0.1)＋2×(－0.2)＝－1，1234②利用①的結論，求出y＝kcx＋20(x≥0，c>0)中的k與c.1234解由y＝kcx＋20(x≥0)，得y－20＝kcx(x≥0)，兩邊取對數(shù)得，ln(y－20)＝lnk＋xlnc，利用①的結論得，lnc＝－0.1，lnk＝4.2，∴c＝e－0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7.(2)你認為該品種綠茶用85℃的水大約泡制多久后飲用，可以產(chǎn)生最佳口感？1234解由(1)得，y＝66.7×0.9x＋20(x≥0)，令y＝60，得x＝log0.90.6≈4.8.∴該品種綠茶用85℃的水泡制4.8min后飲用，口感最佳.12344.某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃，收集了近6個月廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如下表：1234月份123456廣告投入量x/萬元24681012收益y/萬元14.2120.3131.831.1837.8344.67他們用兩種模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分別進行擬合，得到相應的經(jīng)驗回歸方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值：1234(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；1234(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；1234解應該選擇模型①，因為模型①的帶狀經(jīng)驗區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域窄，所以模型①的擬合精度高，回歸方程的預測精度高.1234(2)殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除：①剔除異常數(shù)據(jù)后，求出(1)中所選模型的經(jīng)驗回歸方程；1234解剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)后，得12341234②廣告投入量x＝18時，(1)中所選模型收益的預測值是多少？1234解把x＝18代入①中所求經(jīng)驗回歸方程，備用工具&資料1234②廣告投入量x＝18時，(1)中所選模型收益的預測值是多少？1234解剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)后，得解對y＝aebx取對數(shù)，得lny＝bx＋lna，