2024七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第10章三角形的有關(guān)證明綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)魯教版五四制

第十章綜合素養(yǎng)評(píng)價(jià)一、選擇題(每題3分，共36分)1．若等腰三角形的頂角為40°，則它的底角度數(shù)為()A．40° B．50° C．60° D．70°2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是()A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 B．∠A＋∠B＝90°C．a(chǎn)∶b∶c＝2∶3∶4 D．b2＝a2－c23．下列命題的逆命題是真命題的是()A．若a＞0，b＞0，則a＋b＞0 B．直角都相等C．兩直線平行，同位角相等 D．若a＝b，則|a|＝|b|4．如圖，∠C＝∠D＝90°，添加一個(gè)條件，可用“HL”判定Rt△ABC與Rt△ABD全等．以下給出的條件適合的是()A．AC＝AD B．∠ABC＝∠BADC．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD5．【2024·大慶】下列說法不正確的是()A．有兩個(gè)角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形C．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足為D，則BDAD的值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,5) C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)7．如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若正方形a，c的面積分別為5和11，則正方形b的邊長(zhǎng)為()A．55 B．16 C．6 D．48．有A，B，C三個(gè)社區(qū)(不在同始終線上)，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一座公園，使該公園到三個(gè)社區(qū)的距離相等，那么公園應(yīng)建在()A．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處B．△ABC三條中線的交點(diǎn)處C．△ABC三條高線所在直線的交點(diǎn)處D．△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN的長(zhǎng)為()A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm10．如圖，已知點(diǎn)E，C，D在同始終線上，△ABC≌△DEF，CD是∠ACB的平分線，已知∠D＝22°，∠CGD＝92°，則∠E的度數(shù)是()A．26° B．22° C．34° D．30°11．如圖，在等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，且AD＝4，E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，則PB＋PE的最小值是()A．6 B．5 C．4 D．312．如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，連接BE，CD.下列命題中，假命題是()A．若CD＝BE，則∠DCB＝∠EBCB．若∠DCB＝∠EBC，則CD＝BEC．若BD＝CE，則∠DCB＝∠EBCD．若∠DCB＝∠EBC，則BD＝CE二、填空題(每題3分，共18分)13．用反證法證明一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角，第一步是假設(shè)這個(gè)三角形中_____________．“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”的逆命題是___________________．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，AD平分∠BAC，E是AC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為________．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在AB上，且PD＝PB，則PD＝________．16．【2024·重慶】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD.過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若BE＝4，CF＝1，則EF的長(zhǎng)度為________．17．【新考法】如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，∠α的度數(shù)為________°.18．如圖，已知∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3，…在射線ON上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA1＝1，則△A6B6A7的邊長(zhǎng)為________．三、解答題(23題10分，24，25題每題12分，其余每題8分，共66分)19．如圖，點(diǎn)A，D，B，E在一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF.求證：BC＝EF.20．如圖，在△ABC中，已知AB＝5，BC＝7.(1)尺規(guī)作圖：作AC的垂直平分線DE，與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，連接AE.(2)求△ABE的周長(zhǎng)．21．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，AD平分∠CAB交CB于點(diǎn)D，求CD的長(zhǎng)．22．【2024·蘇州】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為△ABC的角平分線．以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF.(1)求證：△ADE≌△ADF.(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度數(shù)．23．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CM＝BM，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.(1)求∠ECM的度數(shù)．(2)求證：CE＝CM.(3)若AB＝4，求線段FC的長(zhǎng)．24．如圖①，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.操作發(fā)覺：如圖②，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)：(1)猜想線段DE與AC的位置關(guān)系是__________，并加以證明．(2)設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是__________，并加以證明．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，2)，△AOB為等邊三角形，P是x軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與原點(diǎn)O重合)，以線段AP為一邊在其右側(cè)作等邊三角形APQ.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)連接BQ，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，∠ABQ的大小是否發(fā)生變更？若不變更，求出其大??；若變更，請(qǐng)說明理由．(3)連接OQ，當(dāng)OQ∥AB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

答案一、1．D2．C【點(diǎn)撥】A．∵∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，∴∠A＋∠B＝∠C.又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝90°.∴△ABC是直角三角形；B．∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－90°＝90°.∴△ABC是直角三角形；C．設(shè)a＝2x，b＝3x，c＝4x.∵a2＋b2＝4x2＋9x2＝13x2，c2＝16x2，∴a2＋b2≠c2.∴△ABC不是直角三角形；D．∵b2＝a2－c2，∴b2＋c2＝a2.∴△ABC是直角三角形．3．C4．A5．A6．C7．D【點(diǎn)撥】由題意可知∠CAB＝∠BED＝90°，∠CBD＝90°，CB＝BD，∴∠ACB＝∠EBD＝90°－∠ABC.在△ABC和△EDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACB＝∠EBD，,∠CAB＝∠BED，,CB＝BD，))∴△ABC≌△EDB(AAS)．∴AB＝ED.∵正方形a，c的面積分別為5和11，∴AC2＝5，AB2＝DE2＝11.∴BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(5＋11)＝4，即正方形b的邊長(zhǎng)為4.8．D9．C10．A【點(diǎn)撥】∵∠D＝22°，∠CGD＝92°，∴∠DCG＝180°－∠D－∠CGD＝66°.∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACB＝2∠DCG＝132°.∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝132°.∴∠E＝180°－∠D－∠F＝180°－22°－132°＝26°.11．C12．A【點(diǎn)撥】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.若CD＝BE，又∵BC＝CB，∴△BCD與△CBE滿足“SSA”的關(guān)系，無法證明全等，因此無法得出∠DCB＝∠EBC，故A是假命題．若∠DCB＝∠EBC，∴∠ACD＝∠ABE.在△ABE和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠ACD，,AB＝AC，,∠A＝∠A，))∴△ABE≌△ACDeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ASA))，∴CD＝BE.故B是真命題．若BD＝CE，則AD＝AE，在△ABE和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠A＝∠A,AE＝AD，)))，∴△ABE≌△ACDeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(SAS))，∴∠ACD＝∠ABE.又∵∠ABC＝∠ACB，∴∠DCB＝∠EBC，故C是真命題．若∠DCB＝∠EBC，則在△DBC和△ECB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABC＝∠ACB，,BC＝BC，,∠DCB＝∠EBC，))∴△DBC≌△ECBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ASA))，∴BD＝CE，故D是真命題.二、13．有兩個(gè)角是直角；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行14．215．2【點(diǎn)撥】∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝6.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠DAB＝eq\f(1,2)∠CAB＝30°.∵PD＝PB，∴∠PDB＝∠B＝30°.∴∠APD＝∠B＋∠PDB＝60°.∴∠ADP＝180°－∠APD－∠DAB＝90°.∴AP＝2PD.∵AP＋BP＝AB，∴2PD＋PD＝6.∴PD＝2.16．3【點(diǎn)撥】∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＋∠EAC＝90°.∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AFC＝90°.∴∠ACF＋∠EAC＝90°.∴∠ACF＝∠BAE.在△AFC和△BEA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(∠CFA＝∠AEB，,∠ACF＝∠BAE，,AC＝AB，)))∴△AFC≌△BEAeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AAS)).∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1.∴EF＝AF－AE＝4－1＝3.17．6018．32【點(diǎn)撥】∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1＝A2B1，∠A1B1A2＝∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝60°.∴∠OA1B1＝120°.∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝180°－120°－30°＝30°.∴OA1＝A1B1＝A2B1＝1.又∵∠A1B1A2＝60°，∴∠A2B1B2＝180°－60°－30°＝90°.∵△A2B2A3是等邊三角形，∴∠B2A2A3＝60°.∴∠B1A2B2＝60°.∴∠B1B2A2＝90°－∠B1A2B2＝30°.∴A2B2＝2B1A2＝2.同理得出B3A3＝2B2A3＝2A2B2，∴B3A3＝4B1A2＝4.以此類推，A6B6＝32B1A2＝32.三、19．【證明】∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF.在△ABC與△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,∠A＝∠EDF，,AC＝DF，))∴△ABC≌△DEF(SAS)．∴BC＝EF.20．【解】(1)如圖．(2)∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC.∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC.∵AB＝5，BC＝7，∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，即△ABE的周長(zhǎng)為12.21．【解】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝ED.在Rt△ACD和Rt△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝ED，,AD＝AD，))∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AE＝AC＝5.∴BE＝AB－AE＝13－5＝8.在Rt△ACB中，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(132－52)＝12.設(shè)CD＝ED＝x，則BD＝12－x，在Rt△DEB中，BD2＝ED2＋BE2，∴(12－x)2＝x2＋82，解得x＝eq\f(10,3).∴CD＝eq\f(10,3).22．(1)【證明】∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD.由作圖知AE＝AF.在△ADE和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,∠EAD＝∠FAD，,AD＝AD，))∴△ADE≌△ADF(SAS)．(2)【解】∵∠BAC＝80°，AD為△ABC的角平分線，∴∠EAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝40°.由作圖知AE＝AD.∴∠AED＝∠ADE.∴∠ADE＝eq\f(1,2)×(180°－40°)＝70°.∵AB＝AC，AD為△ABC的角平分線，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴∠BDE＝90°－∠ADE＝20°.23．(1)【解】∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝40°.∵∠ACE＝30°，∴∠ECB＝90°－30°＝60°.∵CM＝BM，∴∠MCB＝∠ABC＝40°.∴∠ECM＝∠ECB－∠MCB＝60°－40°＝20°.(2)【證明】∵EF⊥AC，∴∠AFE＝∠CFE＝90°.∵∠A＝50°，∠ACE＝30°，∴∠AEF＝90°－∠A＝40°，∠CEF＝90°－∠ACE＝60°.∴∠CEM＝180°－∠AEF－∠CEF＝80°.∵∠MCB＝∠B＝40°，∴∠CMA＝∠MCB＋∠B＝80°.∴∠CMA＝∠CEM.∴CE＝CM.(3)【解】∵∠A＝50°，∠CMA＝80°，∴∠ACM＝180°－∠A－∠CMA＝50°.∴∠A＝∠ACM.∴AM＝CM＝BM＝CE＝eq\f(1,2)AB＝2.在Rt△EFC中，∠EFC＝90°，∠ECF＝30°，∴EF＝eq\f(1,2)CE＝1.∴FC＝eq\r(CE2－EF2)＝eq\r(3).24．(1)DE∥AC【證明】∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D恰好落在AB邊上，∴AC＝CD.∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.∴△ACD是等邊三角形．∴∠ACD＝60°.∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE.∴DE∥AC.(2)S1＝S2【證明