高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講36.近五年全國卷中的創(chuàng)新題匯編

全國卷中的創(chuàng)新題與命題背景匯編1.二進(jìn)制問題一．重要結(jié)論1.定義：設(shè)整數(shù)，則每個(gè)正整數(shù)可唯一表示為，其中滿意，，則稱為正整數(shù)的進(jìn)制表示中的數(shù)碼.特別地，當(dāng)時(shí)就可得到正整數(shù)的二進(jìn)制表示.2.二進(jìn)制的運(yùn)算性質(zhì).（1）若，則稱為正整數(shù)的進(jìn)制表示中的數(shù)碼和，明顯.證明：由于，則，明顯可得.二進(jìn)制的加法運(yùn)算：“逢二進(jìn)一”.待會(huì)通過例題予以分析.（3），其中正整數(shù)的二進(jìn)制綻開式中最高次數(shù)小于.證明：由于，則，另一方面，令，則.例如：寫出的二進(jìn)制表示.解析：由于，故.注：可以看到，一個(gè)正整數(shù)的二進(jìn)制表示其實(shí)就是以為底的冪級(jí)數(shù)綻開的系數(shù).二．典例分析.例.（2024新高考2卷）設(shè)正整數(shù)，其中，記，則（）A.B.C.D.解析：由上述性質(zhì)（1），A正確.由于，則，故，則B錯(cuò)誤.同理可證，C正確.最終，由于，故，D正確.2.分支過程與滅亡概率一．概率母函數(shù)[1]1.設(shè)是非負(fù)整數(shù)值的離散型隨機(jī)變量，其概率分布列為，則定義冪級(jí)數(shù)，稱為隨機(jī)變量的概率母函數(shù).2.主要性質(zhì)[1]：（1）隨機(jī)變量的概率分布由它的母函數(shù)唯一確定.即：（2）.二．分支過程[1]設(shè)最初有個(gè)物種，每隔一單位時(shí)間，一個(gè)物種可以分裂成個(gè)物種，設(shè)其對(duì)應(yīng)的概率為.假設(shè)這些物種分裂是相互獨(dú)立且具有相同的分布，令表示在時(shí)刻存在的第個(gè)物種在下一時(shí)刻（第時(shí)刻）分裂成的物種個(gè)數(shù)，表示時(shí)刻中總物種的個(gè)數(shù)，則下圖說明詳細(xì)的分裂過程：三．分支過程的母函數(shù)[1]分支過程任一代的隨意一個(gè)個(gè)體繁衍概率母函數(shù)均為：.滅亡概率：分支過程的滅亡概率是方程的最小正根.注：由四可知，關(guān)于該物種分裂的滅亡概率探討等價(jià)于去探討方程的最小正根.五．典例分析例（2024新高考2卷）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后接近滅亡的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）依據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．解析：（1）.（2）設(shè)，因?yàn)?，故，若，則，故.，因?yàn)椋?，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，故為的一個(gè)最小正實(shí)根，若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個(gè)最小正實(shí)根，綜上，若，則.若，則，故.此時(shí)，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個(gè)零點(diǎn)，且.所以為的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，.意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必定滅亡，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅亡的概率小于1.注1.此題實(shí)際就是分支過程的經(jīng)典應(yīng)用.注2.在最多分裂三個(gè)的狀況下，，若使得，明顯讓越大，就越大，物種的滅亡概率就會(huì)小于1，持續(xù)生存下去，這可能就是生二胎，生三胎的一個(gè)最直觀的說明！參考文獻(xiàn)：[1]孫榮恒.隨機(jī)過程及其應(yīng)用[M].北京:清華高校出版社，2003.3.數(shù)陣問題一．重要結(jié)論性質(zhì)1.明顯，第一行一個(gè)數(shù)，其次行兩個(gè)數(shù)，以此類推，第行有個(gè)數(shù)，這樣的話，前行一共有個(gè)數(shù).性質(zhì)2.記表示第行的前個(gè)數(shù)之和，則.性質(zhì)3.記表示前行全部數(shù)之和，則.性質(zhì)4.三角數(shù)陣的前項(xiàng)和.設(shè)存在整數(shù)，使得：，進(jìn)一步，記，則三角數(shù)陣的前項(xiàng)和.典例分析例.（2017年全國1卷12題）幾位高校生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲得軟件激活碼”的活動(dòng)，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列，其中第一項(xiàng)是，接下來兩項(xiàng)是，再下來三項(xiàng)是，以此類推，求滿意如下條件的最小整數(shù)，且該數(shù)列的前項(xiàng)和為的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（）解析：由題意得，數(shù)列如下：，則該數(shù)列的前項(xiàng)和為：，要使，有，此時(shí)，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設(shè)，所以，則，此時(shí)，所以對(duì)應(yīng)滿意條件的最小整數(shù)，故選A.4．全概率公式與隨機(jī)游走1.轉(zhuǎn)移概率：對(duì)于有限狀態(tài)集合，定義：為從狀態(tài)到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率.2.馬爾可夫鏈：若，即將來狀態(tài)只受當(dāng)前狀態(tài)的影響，與之前的無關(guān).3.完備事務(wù)組：假如樣本空間中一組事務(wù)組符合下列兩個(gè)條件：（1）；（2）.則稱是的一個(gè)完備事務(wù)組，也稱是的一個(gè)分割.4.全概率公式：設(shè)是一個(gè)完備事務(wù)組，則有典例分析.例.（2024全國1卷）．為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再支配下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了便利描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)起先時(shí)都賜予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）求，并依據(jù)的值說明這種試驗(yàn)方案的合理性．解析：（1）由題意可知全部可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率特別小，說明這種試驗(yàn)方案合理.5.卡特蘭數(shù)卡塔蘭數(shù)：例.已知，并且滿意，，求有序數(shù)組的個(gè)數(shù).解：依題，中共有個(gè)，個(gè)，先不考慮記為（*）式，則共有種，接下來考慮解除法，若不符合（*）式，則確定存在一個(gè)的自然數(shù)，使得：，現(xiàn)將全部變更符號(hào)，即有：，對(duì)應(yīng)后則有個(gè)，個(gè)，反之，對(duì)任一個(gè)個(gè)，個(gè)組成的有序數(shù)組，其必定存在一個(gè)最小的自然數(shù)，滿意.作對(duì)應(yīng)，明顯，與互為逆映射，從而不滿意（*）式的個(gè)數(shù)，就是由個(gè)，個(gè)組成的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)，從而.點(diǎn)評(píng)：卡塔蘭數(shù)在組合數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)在各種計(jì)數(shù)問題中，其前幾項(xiàng)為，其滿意或.（2016年全國三卷）定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項(xiàng)，其中項(xiàng)為，項(xiàng)為，且對(duì)隨意，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若，則則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有A.18個(gè) B.16個(gè) C.14個(gè) D.12個(gè)解析：明顯，此題考查卡特蘭數(shù).6.高斯取整函數(shù)表示實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，即是不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù).，常稱為的“小數(shù)部分”或“尾數(shù)部分”.2.高斯函數(shù)圖像及小數(shù)部分圖像.取整函數(shù)的圖象.小數(shù)函數(shù)：的圖象性質(zhì)：=1\*GB3①定義域：；性質(zhì)：=1\*GB3①定義域：；=2\*GB3②值域：；=2\*GB3②值域：；=3\*GB3③圖象：臺(tái)階型線段.