人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)整式乘除與因式分解必考點(diǎn)

0(x+y-z)(x-y+z)=a2+b2=(a+b)2-2ab=(a+b)2-2ab;(a-b)2=(a+b)2-4ab(-a-b)2=[-(a+b)]2=(a+b)2;(-a+b)2=[-(a例分解因式：(1)8m2n+2mn=(2)3a(x-y)+2b(y-x)=【解】正確答案：(1)2mn(4m+1)(2)(x-y)(3a-2b)(1)8m2n+2mn=2mn(4m+1)3a(x-y)+2b(y-x)=3a(x-y)-2b(x故答案為：(1)2mn(4m+1)(2)(x-y)(3a-2b)變式訓(xùn)練因式分解：(1)3a(x-y)+9(y-x)(2)(2m-3n)2-2m+3n【分析】(1)(2)直接提公因式分解，可得答案【解】(1)3a(x-y)+9(y-x)=3(x-y)(a-3); 4x2-49=(2x+7)(2x-7)x(x-2);(2x+7)(2x-7);2(x-2)2.(1)x2-4x+4(2)4a2(x-y)+b2(y-x)(3)81a?-72a2b2+16b?(4)(x-3)(x+1)+4(4)先將原式化簡(jiǎn)，再利用完全平方公式法因式分解，即可求解。 =4a2(x-y)-b2(x-y) =(3a+2b)2(3a-2b)2(4)(x-3)(x+1)+4=x2-2x+1【點(diǎn)睛】本題是因式分解的綜合，考查了提公因式法和公式法，因式分解的步驟是：先考慮提公因式法，再考慮公式法；注意：因式分解要分解到再也不能分解為止.1.形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式，如果有mn=a,pq=C,且mq+np=b,則可把多項(xiàng)式2.二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，是相對(duì)上面標(biāo)準(zhǔn)二次三項(xiàng)式的簡(jiǎn)化：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)3.對(duì)于齊次多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2,將一個(gè)字母當(dāng)成常數(shù)處理，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于另一個(gè)字母的二次三項(xiàng)式，就可以利用十字相乘法進(jìn)行因式分解例因式分解：(1)-4x3+20x2-24x(2)2x2+x-6(3)ab2-3ab-10a(4)3x2+1-4x(5)-3-4x+4x2(6)6x2+31x-105【分析】先提公因式，然后利用十字相乘法進(jìn)行因式分解即可(1)利用十字乘法分解因式即可.(3)先提取公因式，再利用十字相乘法求解即可.(4)直接利用十字相乘法分解因式即可；(5)直接利用十字相乘法分解因式即可；(6)直接利用十字相乘法分解因式即可. (3)ab2-3ab-10a=a(b2-3b-10)=a(b-5)(b+2) (4)3x2+1-4x=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1) (6)6x2+31x-105=(2x+15)(3x-7)變式訓(xùn)練將下列各式分解因式：(1)6y2+19y+15(2)14x2+3x-27(3)x2-x-56(4)x2-10x+16(5)10-3x-x2【分析】(1)直接利用十字相乘法分解因式即可；(2)直接利用十字相乘法分解因式即可.(5)直接利用十字相乘法分解因式即可.【解】(1)因?yàn)榧?所以：原式=(2x+3)(7x-9)所以：原式=(x+7)(x-8) (5)10-3x-x2=-(x2+3x-10)所以：原式=-(x+5)(x-2)(x3+x2)-(x+1), (2)原式=(x3+x2)—(x+1)=x2(x+1)—(x+1)=(x+1)(x2—1)=(x+1)2(x—1).變式訓(xùn)練(1)9-x2+2xy-y2=9-()=()2_()2=()();(3)在多項(xiàng)式①x2+2xy-y2+z2;②x2-y2-2x+1;③4x2-4y2+4x+1;④-x2+2xy+1-y2中，能用分成三項(xiàng)一組和一項(xiàng)一組的方法分解因式的是(只寫式序號(hào))【分析】(1)先將式中的項(xiàng)進(jìn)行分組，然后利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行分解即可；(2)先將式中的項(xiàng)進(jìn)行分組，再提取公因式和平方差公式進(jìn)行因式分解即可；(3)對(duì)每個(gè)式進(jìn)行因式分解，判定即可. (1)9-x2+2xy-y2=9-(x2-2xy+y2)=32-(x-y)2=(3+x-y)(3-x+y)故答案為：x2-2xy+y2、3、x-y、3+x-y、3-x+y=(x+y)(x=y)(y=z)故答案為：x2y-y3、x2z-y2z、x2-y2、y-z、x+y、x-y、y-z(3)①x2+2xy-y2+z2,不能用分成三項(xiàng)一組和一項(xiàng)一組的方法進(jìn)行分解因式，不符合題意；②x2-y2-2x+1=x2-2x+1-y2=(x-1)2-y2=(x+y-1)(x-y-1),能用分成三項(xiàng)一組和一項(xiàng)一組的方法進(jìn)行分解因式，符合題意；③4x2-4y2+4x+1=4x2+4x+1-4y2=(2x+1)2-4y2=(2x+2y+1)(2x-2y+1),能用分成三項(xiàng)一組和一項(xiàng)一組的方法進(jìn)行分解因式，符合題意；④-x2+2xy+1-y2=1-(x-2xy+y)=1-(x-y)2=(1+x-)(1x+y),能用分成三項(xiàng)一組和一項(xiàng)一組故答案為：②,③,④【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，涉及了分組分解法、公式法、提取公因式法，熟練掌握因式分解的有關(guān)方法是解題的關(guān)鍵。1.把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開成其和與原項(xiàng)相等的兩項(xiàng)或多項(xiàng)，一個(gè)不存在的項(xiàng)也可以拆成其和為0的兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解；2.拆項(xiàng)必須是在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行的恒等變換，否則此處一步錯(cuò)，后面步步錯(cuò)。【分析】(1)(2)(3)(4)根據(jù)題意利用拆項(xiàng)添項(xiàng)法，并結(jié)合完全平方公式和平方差公式進(jìn)行 =x2+16x+64—6436 變式訓(xùn)練分解因式(4)x2-n2+x-n(5)a2+4a+3【分析】(1)(2)(3)直接利用拆項(xiàng)法分解因式得出答案； (4)原式=(x+n)(x-n)+(x-n)=(x-n)(x+n+1) (5)原式=a2+4a+4-1=a2-1+4a+4=(a+1)(a-1)+4(a+1)=(a+1)(a-1+4)1.為了方便運(yùn)算，二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，先提出二次項(xiàng)系數(shù)，使其變?yōu)?2.對(duì)于形如對(duì)于形如x2+bx+c的二次三項(xiàng)式，作變換：(3)x2-8x-9【分析】(1)(2)(3)根據(jù)題意將原式配方成完全平方的形式，然后解答即可 (2)x2+2x-3=x2+2x+12-12-3=((3)x2-8x-9=x2-2.x.4+42-42-9=(x-4)2-52=(x-4+5)(x-4-5)=(x+1)(x-9)【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式和平方差公式、偶次方的非負(fù)性是解題的變式訓(xùn)練6數(shù)學(xué)教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”,如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式的值不變，這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等.例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)例如求代數(shù)式2x2+4x-6的最小值，2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8,可知當(dāng)x=-1時(shí)，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8.根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(2)求代數(shù)式x2+2x+4的最小值.(3)已知a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2+c2+2b(b-a-c)=0,試判斷△ABC的形狀.【分析】(1)根據(jù)題意首先對(duì)m2-4m-5進(jìn)行配方，然后利用平方差公式法分解因式即可；(2)根據(jù)題意對(duì)x2+2x+4進(jìn)行配方，然后求解最小值即可；(3)首先對(duì)a2+c2+2b(b-a-c)=0整理變形，得到(a-b)2+(b-c)2=0,可得a=b,b=c,即可判斷出△ABC的形狀. =m2-4m+4-9=(m+1)(m-5)(2)x2+2x+4=x2+2x+1+3∴最小值為3 口答下列問題：(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了