數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)涵及案例分析市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)涵及案例分析湖北省孝感高級(jí)中學(xué)徐新斌1第1頁(yè)引言數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)涵數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)案例分析2第2頁(yè)引言數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中一些現(xiàn)象：（1）有些教師前20分鐘就把課前準(zhǔn)備內(nèi)容講完了，剩下時(shí)間不知道該做些什么。（2）有些教師板書(shū)比較凌亂，在課堂教學(xué)進(jìn)程中，想寫(xiě)在哪里就寫(xiě)在哪里，隨意性太強(qiáng)，板書(shū)缺乏美感和整體感。（3）有些教師課題引入、課堂提問(wèn)等教學(xué)步驟單一，難以引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性。3第3頁(yè)（4）有些教師在講解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)題目時(shí)，偏重“照字面意義講解”，過(guò)多強(qiáng)調(diào)機(jī)械記憶，學(xué)生只能到達(dá)表面了解。（5）有些教師僅copy一些優(yōu)異教案，缺乏結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況來(lái)進(jìn)行相關(guān)思索，教學(xué)效果并不太理想?！陨线@些現(xiàn)象造成教學(xué)效率不高、教學(xué)效果不佳。這些現(xiàn)象出現(xiàn)有很多原因，其中一條主要原因就是教師缺乏教學(xué)設(shè)計(jì)方法和思想。4第4頁(yè)一、數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)涵

1．什么是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)2．為何要進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)3．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)基本要素4．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中教師所需要具備幾個(gè)意識(shí)5．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)前期分析5第5頁(yè)

1．什么是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)是指教師為到達(dá)一定教學(xué)目標(biāo)，對(duì)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行系統(tǒng)規(guī)劃、安排與決議。6第6頁(yè)

2．為何要進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)（1）教學(xué)設(shè)計(jì)依據(jù)教學(xué)原理，遵照教學(xué)過(guò)程基本規(guī)律，制訂教學(xué)目標(biāo)，以處理教什么問(wèn)題。（2）教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)怎樣才能到達(dá)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行創(chuàng)造性決議，以處理怎么教問(wèn)題。（3）教學(xué)設(shè)計(jì)把教學(xué)過(guò)程各要素看成一個(gè)系統(tǒng)。分析教學(xué)問(wèn)題和需求，確立處理程序綱要，使教學(xué)過(guò)程最優(yōu)化。7第7頁(yè)（4）教學(xué)設(shè)計(jì)是提升學(xué)習(xí)者取得知識(shí)、技能效率和興趣技術(shù)過(guò)程，其功效在于利用適宜教學(xué)方法設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，使之成為一個(gè)含有操作性程序。

簡(jiǎn)而言之，教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)最終目標(biāo)是為了使學(xué)生更高效地學(xué)習(xí)，開(kāi)發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能，塑造學(xué)生健全人格，以促進(jìn)學(xué)生全方面發(fā)展。

8第8頁(yè)3．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)基本要素?cái)?shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容分析學(xué)生情況分析形成教學(xué)設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)方案數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)方案實(shí)施與評(píng)價(jià)9第9頁(yè)在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，需要格外注意以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）“預(yù)設(shè)”與“生成”關(guān)系。教師在實(shí)施教學(xué)之前需要進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，但在教學(xué)過(guò)程中又不可拘泥于教學(xué)設(shè)計(jì)，預(yù)防被教學(xué)設(shè)計(jì)束縛了手腳，一切應(yīng)以學(xué)生為學(xué)習(xí)主體，以教促學(xué)，對(duì)課堂教學(xué)各種改變進(jìn)行綜合把握，及時(shí)作出正確判斷，采取有效應(yīng)對(duì)辦法。這也是教學(xué)中“預(yù)設(shè)”與“生成”關(guān)系。（2）處理好“模仿”與“創(chuàng)新”關(guān)系。“仿”是“創(chuàng)”必經(jīng)之路，“創(chuàng)”是“仿”目標(biāo)所在。10第10頁(yè)4.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中教師所需要具備幾個(gè)意識(shí)對(duì)于教學(xué)設(shè)計(jì)而言，數(shù)學(xué)教師觀念更新意識(shí)、問(wèn)題意識(shí)、反思意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)顯得尤其主要。這些意識(shí)是教師素質(zhì)主要組成部分，是形成教育、教學(xué)能力前提，是影響教師行為誘因，因而對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)有直接制約作用。11第11頁(yè)（1）觀念更新意識(shí)所謂觀念，指教育觀念，即教師對(duì)教育本質(zhì)認(rèn)識(shí)和體悟。作為數(shù)學(xué)教師，其教育觀念就是對(duì)數(shù)學(xué)教育本質(zhì)認(rèn)識(shí)和體悟。觀念更新意識(shí)，指教師對(duì)自已所持教育觀念有清楚認(rèn)識(shí)，對(duì)不停萌生和發(fā)展新教育觀念有敏銳洞察力，進(jìn)而產(chǎn)生更新本身舊觀念經(jīng)常性愿望和行為。數(shù)學(xué)教育觀念分為數(shù)學(xué)觀和教育觀兩個(gè)層面。數(shù)學(xué)觀是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)認(rèn)識(shí)；教育觀是對(duì)學(xué)與教本質(zhì)認(rèn)識(shí)。12第12頁(yè)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)了解，歷史上曾有許多不一樣觀點(diǎn)，有學(xué)者將其梳理為15種學(xué)說(shuō)：萬(wàn)物皆數(shù)說(shuō)、哲學(xué)說(shuō)、符號(hào)說(shuō)、科學(xué)說(shuō)、工具說(shuō)、邏輯說(shuō)、創(chuàng)新說(shuō)、直覺(jué)說(shuō)、集合說(shuō)、結(jié)構(gòu)說(shuō)、模型說(shuō)、活動(dòng)說(shuō)、精神說(shuō)、審美說(shuō)、藝術(shù)說(shuō)。這些觀點(diǎn)實(shí)際上是人們從不一樣側(cè)面對(duì)數(shù)學(xué)作出解釋，顯然，這些對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)不一樣看法會(huì)對(duì)應(yīng)不盡相同教育理念。假如一個(gè)教師重視數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)，他就會(huì)自覺(jué)地把數(shù)學(xué)視為模式科學(xué)；假如重視過(guò)程，就會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)是直覺(jué)和邏輯產(chǎn)物；假如重視社會(huì)價(jià)值，又會(huì)把數(shù)學(xué)了解為是一個(gè)工具，等等。這些個(gè)人數(shù)學(xué)觀反應(yīng)在教學(xué)設(shè)計(jì)中，就會(huì)產(chǎn)生不一樣教學(xué)目標(biāo)和價(jià)值取向。13第13頁(yè)從認(rèn)識(shí)論層面看，由把數(shù)學(xué)視為絕對(duì)真理絕對(duì)主義演化而成靜態(tài)數(shù)學(xué)觀，與把數(shù)學(xué)視為相對(duì)真理可誤主義演化而成動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀對(duì)數(shù)學(xué)教育影響最大。假如把數(shù)學(xué)看成絕對(duì)真理，看成是靜態(tài)知識(shí)堆砌，那么教學(xué)目標(biāo)就是教師把這些知識(shí)原樣地傳授給學(xué)生，教學(xué)設(shè)計(jì)就是一個(gè)“結(jié)果型”范式，教學(xué)評(píng)價(jià)則以學(xué)生掌握知識(shí)量作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。假如認(rèn)為數(shù)學(xué)真理不是絕正確，而是可誤，把數(shù)學(xué)看作由問(wèn)題、語(yǔ)言、命題、理論和觀念組成復(fù)合體，是動(dòng)態(tài)知識(shí)發(fā)展系統(tǒng)，那么反應(yīng)在教育上便是一個(gè)實(shí)現(xiàn)人發(fā)展教育觀，以培養(yǎng)學(xué)生批判意識(shí)和創(chuàng)造力為主要目標(biāo)，其教學(xué)設(shè)計(jì)是一個(gè)“過(guò)程型”范式。14第14頁(yè)一樣，不一樣教學(xué)理論對(duì)教學(xué)本質(zhì)有不一樣解釋，從而對(duì)應(yīng)著不一樣教學(xué)設(shè)計(jì)思想。行為主義強(qiáng)調(diào)剌激與反應(yīng)聯(lián)結(jié)，教學(xué)設(shè)計(jì)就只關(guān)注教師教學(xué)操作和學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果操作。認(rèn)知主義以信息加工學(xué)說(shuō)解釋學(xué)習(xí)本質(zhì)，教學(xué)設(shè)計(jì)就要包括教師教學(xué)操作、學(xué)習(xí)者特征、學(xué)習(xí)信息加工過(guò)程、學(xué)習(xí)所取得知識(shí)類型以及學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果操作。人本主義強(qiáng)調(diào)以人發(fā)展為本，教學(xué)設(shè)計(jì)就會(huì)更多地表達(dá)使學(xué)生到達(dá)自我實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。建構(gòu)主義認(rèn)為知識(shí)學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者自我建構(gòu)和社會(huì)建構(gòu)結(jié)果，教學(xué)設(shè)計(jì)就會(huì)滲透著促進(jìn)學(xué)生知識(shí)建構(gòu)策略。15第15頁(yè)新觀念產(chǎn)生不是對(duì)舊觀念完全揚(yáng)棄，而是一個(gè)整合。實(shí)際上，每一個(gè)觀念都有本身合理一面，因教學(xué)內(nèi)容不一樣，教學(xué)設(shè)計(jì)能夠以不一樣理論作為基礎(chǔ)。所以，更確切地說(shuō)，觀念更新意識(shí)要討教師有整合觀念意識(shí)、接收新觀念意識(shí)、替換舊觀念意識(shí)。16第16頁(yè)

（2）問(wèn)題意識(shí)問(wèn)題意識(shí)是指在人們認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，活動(dòng)主體對(duì)現(xiàn)有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和一些難于處理實(shí)際問(wèn)題或理論問(wèn)題所產(chǎn)生懷疑、迷惑、焦慮、探究心理狀態(tài)，并在其驅(qū)動(dòng)下，不停提出問(wèn)題和處理問(wèn)題。17第17頁(yè)

在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師問(wèn)題意識(shí)主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面，其一，追溯問(wèn)題產(chǎn)生背景和緣由意識(shí)。其二，不停提出新問(wèn)題意識(shí)。

18第18頁(yè)例對(duì)于問(wèn)題：已知a，b∈R，而且a<b。求證：現(xiàn)實(shí)背景：建筑學(xué)要求，民用建筑采光度等于窗戶面積與地面面積之比，但窗戶面積必須小于地面面積。采光度越大說(shuō)明采光條件越好，問(wèn)：當(dāng)窗戶與地面增加一樣面積后，采光條件是變好了，還是變壞了，為何？數(shù)學(xué)背景：請(qǐng)?zhí)骄渴欠袢烤匦味枷嗤?。邏輯延伸?wèn)題：（1）若a，b∈R，且a>b。則上述結(jié)論會(huì)變?yōu)楹涡问剑?9第19頁(yè)

（3）反思意識(shí)反思是立足于自我之外批判地考查自己行動(dòng)及情境能力。反思意識(shí)即教師自覺(jué)產(chǎn)生對(duì)自己活動(dòng)目標(biāo)、活動(dòng)計(jì)劃、活動(dòng)策略、活動(dòng)過(guò)程及活動(dòng)評(píng)價(jià)反思欲望和信念。反思不是單純事后行為，還包含事前和辦事過(guò)程中反思。20第20頁(yè)

在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，首先，設(shè)計(jì)者要對(duì)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行反思。一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)反應(yīng)出教學(xué)目標(biāo)多維性。數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)、數(shù)學(xué)技能形成、數(shù)學(xué)能力發(fā)展、數(shù)學(xué)思想方法滲透、數(shù)學(xué)精神領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程體驗(yàn)等，都是數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)。

21第21頁(yè)第二，要對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)理論基礎(chǔ)進(jìn)行反思。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，自己所持有數(shù)學(xué)觀是什么？是以哪一個(gè)教育或心理學(xué)理論作為基礎(chǔ)？為何要這么做？等等。第三，對(duì)教學(xué)程序設(shè)計(jì)及教學(xué)策略選擇反思。反思知識(shí)展示次序是否合理；選擇教學(xué)策略是否恰當(dāng)；例題與習(xí)題搭配是否符合教學(xué)目標(biāo)要求；采取媒體是否能真正發(fā)揮輔助教學(xué)功效；為何要這么設(shè)計(jì)教學(xué)程序？為何要選擇這么教學(xué)策略？等等。第四，教學(xué)實(shí)施后反思。主要是對(duì)教學(xué)效果評(píng)價(jià)反思，怎樣改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)反思。22第22頁(yè)（4）創(chuàng)新意識(shí)創(chuàng)新意識(shí)指教師創(chuàng)新欲望和信念，其關(guān)鍵是自我批判意識(shí)，不受固有思維模式束縛，勇于立新。23第23頁(yè)普通說(shuō)來(lái)，教學(xué)設(shè)計(jì)中創(chuàng)新主要包含：①教學(xué)內(nèi)容組織創(chuàng)新。譬如，以不一樣材料作為“先行組織者”；對(duì)教材內(nèi)容解構(gòu)與重組；對(duì)概念、命題賦予不一樣現(xiàn)實(shí)模型或不一樣數(shù)學(xué)模型；對(duì)例題、習(xí)題改造與擴(kuò)充等，均是在原有基礎(chǔ)上創(chuàng)新。②教學(xué)模式構(gòu)建創(chuàng)新。依據(jù)不一樣教學(xué)內(nèi)容合理地選擇教學(xué)模式，在此基礎(chǔ)上，更注意綜合一些教學(xué)模式，創(chuàng)建一些新教學(xué)模式。模式創(chuàng)新最高境界，或許是一個(gè)不受模式約束，融有模式于無(wú)模式之中。③教學(xué)組織形式創(chuàng)新。④教育技術(shù)創(chuàng)新。表現(xiàn)為多媒體合理組合，課件編制更富創(chuàng)意等。24第24頁(yè)

值得強(qiáng)調(diào)是，教師創(chuàng)新意識(shí)不但能表達(dá)在教學(xué)設(shè)計(jì)“外部產(chǎn)品”上，而且更主要在于這種榜樣式創(chuàng)新意識(shí)能夠滲透在教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，給學(xué)生以潛移默化地熏陶，從而到達(dá)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)目標(biāo)。25第25頁(yè)

5.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)前期分析數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)前期分析能夠從目標(biāo)分析、內(nèi)容分析、學(xué)生分析3個(gè)方面來(lái)進(jìn)行。（1）數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)分析數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)首先要進(jìn)行目標(biāo)設(shè)計(jì)，即分析教什么？到達(dá)什么程度？這是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)鍵問(wèn)題之一。

26第26頁(yè)教學(xué)目標(biāo)有不一樣類型，也有不一樣要求。有些教師教學(xué)之所以效果不佳、達(dá)不到課程要求，最主要原因是教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)出現(xiàn)了一些問(wèn)題。比如目標(biāo)內(nèi)涵不清楚；目標(biāo)串位；目標(biāo)層次要求不清楚；目標(biāo)空洞無(wú)物；目標(biāo)與內(nèi)容不協(xié)調(diào)；目標(biāo)與學(xué)生實(shí)際不相符合。27第27頁(yè)①數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)類型數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)類型能夠分為總體目標(biāo)、詳細(xì)目標(biāo)、內(nèi)容目標(biāo)和課堂教學(xué)目標(biāo)四類。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出了高中數(shù)學(xué)課程總體目標(biāo)、詳細(xì)目標(biāo)和內(nèi)容目標(biāo)，這三種目標(biāo)是宏觀目標(biāo)，是遠(yuǎn)期目標(biāo)。至于課堂教學(xué)目標(biāo)，則是一節(jié)課教學(xué)目標(biāo)，是近期目標(biāo)。遠(yuǎn)期目標(biāo)要由課堂教學(xué)目標(biāo)來(lái)表達(dá)、落實(shí)，近期目標(biāo)受制于遠(yuǎn)期目標(biāo)，是實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)期目標(biāo)基礎(chǔ)。鏈接128第28頁(yè)

②數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)能夠按照知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀這3個(gè)維度來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)?！裰R(shí)與技能知識(shí)與技能目標(biāo)內(nèi)容主要包含3類：一類是數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題（數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式、法則等）和基本數(shù)學(xué)事實(shí)結(jié)論；一類是數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題和基本數(shù)學(xué)事實(shí)結(jié)論利用；一類是數(shù)學(xué)操作性技能（作圖等）。知識(shí)與技能目標(biāo)要求可分為4個(gè)層次：了解、了解、掌握和綜合利用。在寫(xiě)知識(shí)與技能目標(biāo)時(shí)，依據(jù)其知識(shí)與技能內(nèi)容與層次要求來(lái)寫(xiě)。比如，“了解什么”、“了解什么”、“掌握什么”、“綜合利用什么”。29第29頁(yè)

●過(guò)程與方法過(guò)程與方法內(nèi)容是：經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，把握數(shù)學(xué)思想方法、形成數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)意識(shí)（如統(tǒng)計(jì)意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)），提升處理問(wèn)題能力。描述過(guò)程與方法常見(jiàn)術(shù)語(yǔ)有：經(jīng)歷……過(guò)程、培養(yǎng)……能力、領(lǐng)悟……數(shù)學(xué)思想方法、發(fā)展……意識(shí)、學(xué)習(xí)……問(wèn)題處理方法；觀察、參加、嘗試；探索、研究、發(fā)覺(jué)；合作、交流、反思。30第30頁(yè)

●情感態(tài)度與價(jià)值觀這里情感是指，在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中比較穩(wěn)定情緒體驗(yàn)。數(shù)學(xué)態(tài)度是指，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)對(duì)象心理傾向或立場(chǎng)，表現(xiàn)出興趣、興趣、喜歡是否、看法立場(chǎng)。數(shù)學(xué)態(tài)度能夠演變?yōu)閿?shù)學(xué)信念——對(duì)數(shù)學(xué)持有較為穩(wěn)定總體看法、觀念。數(shù)學(xué)態(tài)度包含對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科態(tài)度（數(shù)學(xué)信念）、對(duì)數(shù)學(xué)興趣、對(duì)數(shù)學(xué)詳細(xì)內(nèi)容態(tài)度。這一維度目標(biāo)內(nèi)容還包含宏觀價(jià)值觀和數(shù)學(xué)審美觀。比如，對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值看法；辯證法觀點(diǎn)；數(shù)學(xué)簡(jiǎn)練整齊之美、統(tǒng)一友好之美、抽象概括之美、對(duì)稱之美、準(zhǔn)確之美。刻畫(huà)情感態(tài)度目標(biāo)術(shù)語(yǔ)有：感受……、體會(huì)……、領(lǐng)悟……；形成……觀點(diǎn)、養(yǎng)成……習(xí)慣、觀賞……之美。31第31頁(yè)

需要注意是，情感態(tài)度與價(jià)值觀屬于內(nèi)隱心理結(jié)構(gòu)，不是顯性知識(shí)，而是意會(huì)知識(shí)（緘默知識(shí)），無(wú)法經(jīng)過(guò)傳授直接取得，必須經(jīng)過(guò)學(xué)生過(guò)程學(xué)習(xí)間接取得。所以，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要以知識(shí)技能為基礎(chǔ)，以過(guò)程方法為路徑，在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，為學(xué)生情感態(tài)度與價(jià)值觀發(fā)展創(chuàng)設(shè)適宜土壤，把知識(shí)與技能學(xué)習(xí)與情感態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生受到潛移默化影響，最終形成良好情感態(tài)度與價(jià)值觀。32第32頁(yè)案例1“兩條直線位置關(guān)系”教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)知識(shí)與技能①了解兩條直線平行與垂直充要條件推導(dǎo)、公式及應(yīng)用。②能夠依據(jù)直線方程判斷兩條直線位置關(guān)系。過(guò)程與方法①經(jīng)過(guò)探索兩條直線平行或垂直充要條件和推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納數(shù)學(xué)邏輯思維能力，并滲透算法思想。②經(jīng)過(guò)靈活利用公式過(guò)程，提升學(xué)生類比化歸、數(shù)形結(jié)合能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀①培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)、合作交流意識(shí)。②在體驗(yàn)數(shù)學(xué)美過(guò)程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。33第33頁(yè)

（2）數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容內(nèi)容分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容內(nèi)容分析主要包含基本分析、背景分析、結(jié)構(gòu)分析、數(shù)學(xué)分析和重難點(diǎn)分析。①基本分析：學(xué)習(xí)教材配套教參，了解教材編寫(xiě)意圖和編寫(xiě)特點(diǎn)，了解課程學(xué)習(xí)目標(biāo)，熟悉教學(xué)要求。②背景分析：了解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生背景和發(fā)展歷程以及與其它知識(shí)、學(xué)科、實(shí)際聯(lián)絡(luò)，挖掘其教學(xué)價(jià)值。34第34頁(yè)③結(jié)構(gòu)分析：通覽教材，熟悉教材內(nèi)容知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，從整體上把握教材。明確本課內(nèi)容在相關(guān)章節(jié)中地位和作用，搞清楚本節(jié)課內(nèi)容與相關(guān)內(nèi)容之間上下位關(guān)系，明確例題、習(xí)題編排與教學(xué)功效。④數(shù)學(xué)分析：研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題以及例題和習(xí)題解法，把握其數(shù)學(xué)本質(zhì)，尤其是所包含數(shù)學(xué)思想方法。比如，數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸思想、函數(shù)與方程思想、統(tǒng)計(jì)思想；配方法、換元法、待定系數(shù)法、坐標(biāo)法、歸納法、演繹法、分析法、綜正當(dāng)和反證法等。⑤重難點(diǎn)分析：先分析教材中重難點(diǎn)，預(yù)估學(xué)生易混同和易犯錯(cuò)之處，再依據(jù)課堂教學(xué)目標(biāo)要求，確定本堂課教學(xué)重難點(diǎn)。35第35頁(yè)

案例2“概率加法公式”背景分析和重難點(diǎn)分析背景分析為了將一些較為復(fù)雜概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單概率計(jì)算，首先要學(xué)會(huì)將所考慮事件作出對(duì)應(yīng)正確運(yùn)算。這一節(jié)先講事件和意義，然后再講對(duì)于怎樣事件可應(yīng)用哪一個(gè)概率加法公式計(jì)算事件概率。接著研究事件簡(jiǎn)單運(yùn)算：互斥事件加法運(yùn)算及相互獨(dú)立事件乘法運(yùn)算，使能夠計(jì)算事件概率范圍得以擴(kuò)充。36第36頁(yè)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析兩個(gè)互斥事件概率加法公式是一個(gè)很基本同時(shí)又是很主要公式。之所以說(shuō)基本，是因?yàn)樗且粋€(gè)最簡(jiǎn)單概率運(yùn)算公式，它是任意兩個(gè)事件概率加法公式特例。而其主要性主要在于它是從單個(gè)事件向多個(gè)事件過(guò)渡起點(diǎn)和中介，它起著承前啟后作用。假如說(shuō)單個(gè)事件概率問(wèn)題依靠百分比還能夠處理話，那么兩個(gè)以上事件概率問(wèn)題僅僅依靠百分比就極難處理。對(duì)于一些較復(fù)雜事件概率，直接依據(jù)概率定義來(lái)進(jìn)行計(jì)算是很不方便。本章主要包含兩個(gè)基本公式：互斥事件概率加法公式及對(duì)立事件概率和公式，而前者既是教學(xué)重點(diǎn)又是教學(xué)難點(diǎn)。37第37頁(yè)（3）數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)生分析學(xué)生是學(xué)習(xí)主體，一切教學(xué)都要從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，只有對(duì)學(xué)生情況熟悉，才可能做到有放矢、對(duì)癥下藥、因材施教，才可能調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)性。①基本情況分析：主要是了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況、能力差異、年紀(jì)性格特征、興趣興趣、身體情況、家庭情況等。②認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析：主要是了解學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知水平準(zhǔn)備情況。比如，教師在講授“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)”時(shí)，教師必須檢測(cè)了解學(xué)生對(duì)函數(shù)概念認(rèn)知水平情況，教學(xué)才能有效。38第38頁(yè)③學(xué)生認(rèn)知方式分析：認(rèn)知方式表現(xiàn)在人知覺(jué)、記憶、思維和處理問(wèn)題能力等方面不一樣格調(diào)。比如，●場(chǎng)依存性與場(chǎng)獨(dú)立性：場(chǎng)依存性學(xué)生在認(rèn)知活動(dòng)中傾向于以外部參考作為信息加工依據(jù)，輕易受周圍人們和環(huán)境影響。他們喜歡有些人際交流集體學(xué)習(xí)情境，對(duì)社會(huì)學(xué)科材料學(xué)習(xí)記憶效果很好，較依賴于學(xué)習(xí)材料預(yù)先組織，需要明確指導(dǎo)和講授，喜歡結(jié)構(gòu)嚴(yán)密教學(xué)；場(chǎng)獨(dú)立性學(xué)生則相反，他們?cè)谡J(rèn)知活動(dòng)中傾向于以內(nèi)部參考作為信息加工依據(jù)，不輕易受周圍人們和環(huán)境影響。他們知覺(jué)比較穩(wěn)定，不易為背景改變而改變。善于學(xué)習(xí)數(shù)理學(xué)科，能獨(dú)立思索，對(duì)學(xué)習(xí)材料能進(jìn)行分析和重組。39第39頁(yè)●沉思型和沖動(dòng)型：在有幾個(gè)可能解答情境中，有些學(xué)生傾向于深思熟慮且錯(cuò)誤較少，但回答速度較慢。這種認(rèn)知方式稱為沉思型認(rèn)知方式。另一些學(xué)生傾向于很快地作出反應(yīng)和檢驗(yàn)假設(shè)，但經(jīng)常犯錯(cuò)。這種認(rèn)知方式稱為沖動(dòng)型認(rèn)知方式。●輻合型和發(fā)散型：輻合型認(rèn)知方式是指學(xué)生在處理問(wèn)題時(shí)，經(jīng)過(guò)搜集或綜合信息，利用邏輯規(guī)律，縮小解答范圍，直至找到正確解答。發(fā)散型認(rèn)知方式是指學(xué)生在處理問(wèn)題時(shí)，思維沿著許多不一樣方向擴(kuò)展，使觀念發(fā)散到各個(gè)相關(guān)方面，最終產(chǎn)生各種答案?！裾w策略和序列策略：有些學(xué)生傾向于把問(wèn)題看作一個(gè)整體，從各個(gè)角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察和思索，采取整體策略，有些學(xué)生則傾向于把重點(diǎn)放在處理一系列子問(wèn)題，一步一步呈直線方式進(jìn)展，采取序列策略。40第40頁(yè)學(xué)生認(rèn)知方式差異對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)都會(huì)產(chǎn)生一定影響，經(jīng)過(guò)對(duì)學(xué)生認(rèn)知方式分析，能夠更加好地針對(duì)學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行教學(xué)。了解學(xué)習(xí)普通方法有訪談法、觀察法、課堂提問(wèn)、檢驗(yàn)作業(yè)、問(wèn)卷法等。詳細(xì)方法有：●向前任老師、班主任或家長(zhǎng)了解●經(jīng)過(guò)與學(xué)生交往了解●依據(jù)課堂教學(xué)中反饋信息了解●從練習(xí)、作業(yè)、個(gè)別輔導(dǎo)、測(cè)驗(yàn)中了解……41第41頁(yè)

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)案例分析數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)貫通于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程。從數(shù)學(xué)教學(xué)組成元素來(lái)看，有板書(shū)設(shè)計(jì)、教學(xué)媒體設(shè)計(jì)、問(wèn)題情境設(shè)計(jì)、問(wèn)題設(shè)計(jì)、討論設(shè)計(jì)、小結(jié)設(shè)計(jì)等；從數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來(lái)看，有數(shù)學(xué)概念設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)等；從數(shù)學(xué)課型來(lái)看，有數(shù)學(xué)新課教學(xué)設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)活動(dòng)課教學(xué)設(shè)計(jì)等。下面分別擇其一二而闡述。42第42頁(yè)1．問(wèn)題情境設(shè)計(jì)（1）問(wèn)題情境含義問(wèn)題情境關(guān)鍵是經(jīng)過(guò)情境來(lái)提出問(wèn)題，問(wèn)題是教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)鍵。另外，在進(jìn)行問(wèn)題情境設(shè)計(jì)時(shí)，“情境”與“問(wèn)題”是一個(gè)融合整體，刻意去尋找熱鬧“情境”或人為編造問(wèn)題，都會(huì)發(fā)生偏差。從教學(xué)內(nèi)容看，問(wèn)題情境大致能夠分為：實(shí)際背景、數(shù)學(xué)背景、文化背景等。其中，實(shí)際背景主要指現(xiàn)實(shí)生活情境；數(shù)學(xué)背景主要指數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律、數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾等；文化背景主要指數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展歷史和數(shù)學(xué)在認(rèn)識(shí)自然改造過(guò)程作用等。從教學(xué)步驟看，問(wèn)題情境包含引入新課情境、過(guò)程展開(kāi)情境、回顧反思情境。從展現(xiàn)方式看，問(wèn)題情境包含敘述、活動(dòng)、實(shí)物、問(wèn)題、圖形、游戲、觀賞等形式。43第43頁(yè)

（2）問(wèn)題情境設(shè)計(jì)問(wèn)題情境設(shè)計(jì)主要是為了引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生好奇心，使學(xué)生能從情境中提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而為了處理問(wèn)題而進(jìn)行主動(dòng)學(xué)習(xí)。因而，問(wèn)題情境設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)是有利于學(xué)生思維能力發(fā)展，有利于學(xué)生發(fā)覺(jué)問(wèn)題、提出問(wèn)題能力發(fā)展，有利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)發(fā)展。在設(shè)計(jì)問(wèn)題情境時(shí)應(yīng)注意問(wèn)題情境適度性、導(dǎo)向性和探究性。44第44頁(yè)①適度性問(wèn)題情境應(yīng)與數(shù)學(xué)知識(shí)相連，與學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)相吻合。有些情境過(guò)分追求數(shù)學(xué)理論嚴(yán)謹(jǐn)性，追求數(shù)學(xué)邏輯起點(diǎn)，而沒(méi)有與學(xué)生已經(jīng)有數(shù)學(xué)知識(shí)相連，這么問(wèn)題情境沒(méi)有實(shí)際內(nèi)容，難以發(fā)揮應(yīng)有主動(dòng)效果。45第45頁(yè)

案例3“復(fù)數(shù)概念”引入設(shè)計(jì)1

在遨游數(shù)學(xué)王國(guó)時(shí)，你還記得數(shù)概念發(fā)生和發(fā)展過(guò)程嗎？在歷經(jīng)幾次“添加新數(shù)”之后，數(shù)集已經(jīng)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集。不過(guò)，因?yàn)樨?fù)數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能開(kāi)平方，所以代數(shù)運(yùn)算在實(shí)數(shù)集內(nèi)仍不能永遠(yuǎn)實(shí)施。比如，當(dāng)△＜0時(shí)，實(shí)系數(shù)一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。再比如，一元三次方程x3=1只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。根個(gè)數(shù)與方程次數(shù)“不一致”，有悖于數(shù)學(xué)“友好美”。這么看來(lái)，數(shù)概念需要深入發(fā)展：實(shí)數(shù)集怎樣擴(kuò)充？在新數(shù)集里，怎樣實(shí)施數(shù)運(yùn)算？

剖析這里設(shè)計(jì)問(wèn)題情境符合“數(shù)”科學(xué)擴(kuò)充過(guò)程，但與學(xué)生已經(jīng)有知識(shí)相差太遠(yuǎn)，脫離了學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)，過(guò)分重視數(shù)學(xué)邏輯起點(diǎn)，因而難以真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維開(kāi)啟。46第46頁(yè)設(shè)計(jì)2

16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（Gardano）在處理求兩個(gè)數(shù)，使其和為10，積為40時(shí)，認(rèn)為這兩個(gè)數(shù)是5+和5－。這是因?yàn)椋?+）+（5－）=10，（5+）（5－）=40。在實(shí)數(shù)集內(nèi)，一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，0平方根是0。然而，表示什么意義呢？盡管很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，部分?jǐn)?shù)學(xué)家都認(rèn)為“5+”和“5－”這兩個(gè)式子沒(méi)有意義，是虛構(gòu)、想像。但在處理許多問(wèn)題時(shí)，使用類似這么式子卻帶來(lái)極大方便。那么，能作為數(shù)嗎？它真是無(wú)意義、虛構(gòu)嗎？

47第47頁(yè)評(píng)析

這個(gè)問(wèn)題情境是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)史上真實(shí)發(fā)生故事作為情境。當(dāng)年，這個(gè)問(wèn)題困擾過(guò)許多數(shù)學(xué)家。今天，學(xué)生一樣會(huì)對(duì)這個(gè)看似荒謬但又難以否定問(wèn)題感興趣，這個(gè)問(wèn)題情境符合學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)，普通學(xué)生都能了解，從而可順利進(jìn)入復(fù)數(shù)概念建立階段。

48第48頁(yè)教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾曾說(shuō)：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理話，那么，我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)唯一最主要原因，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么?！痹谶M(jìn)行問(wèn)題情境設(shè)計(jì)時(shí)，首先要考慮是學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)。若違反這條標(biāo)準(zhǔn)，表現(xiàn)為過(guò)分追求知識(shí)邏輯起點(diǎn)，那么，所謂問(wèn)題情境不能真正開(kāi)啟學(xué)生思維，實(shí)際上依然是教師“灌輸”。49第49頁(yè)②導(dǎo)向性所謂導(dǎo)向性指是所設(shè)計(jì)問(wèn)題要有利于學(xué)生提出問(wèn)題。有些情境設(shè)計(jì)過(guò)分追求視覺(jué)效果，追求新奇，追求淺層次趣味。面對(duì)這么情境，學(xué)生不能產(chǎn)生疑問(wèn)，不能自覺(jué)提出問(wèn)題。50第50頁(yè)

案例4“圓標(biāo)準(zhǔn)方程”引入設(shè)計(jì)1

展示一些與圓相關(guān)生活圖片，創(chuàng)設(shè)情境，引入新課。評(píng)析

這里給出幾幅圖片，表面上看是與圓相關(guān)，與生活實(shí)際聯(lián)絡(luò)親密，不過(guò)，整個(gè)情境沒(méi)有問(wèn)題，學(xué)生只是接收視覺(jué)刺激，沒(méi)有思維發(fā)生。這么情境不但無(wú)助于本節(jié)課內(nèi)容學(xué)習(xí)，相反可能會(huì)分散學(xué)生注意力，給學(xué)生帶來(lái)負(fù)面影響。51第51頁(yè)設(shè)計(jì)2

圓是最漂亮曲線，圓是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)點(diǎn)集合，定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是半徑。那么，怎樣求圓方程？評(píng)析這里依據(jù)學(xué)生已經(jīng)有關(guān)于圓知識(shí)，直接給出圓幾何關(guān)系，單刀直入，引導(dǎo)學(xué)生提出解析幾何基本問(wèn)題：怎樣把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題：求圓方程，就是要建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，并寫(xiě)出圓上任意一點(diǎn)P（x，y）所滿足關(guān)系式。小結(jié)問(wèn)題是數(shù)學(xué)心臟，問(wèn)題是思維關(guān)鍵。沒(méi)有問(wèn)題，思維便無(wú)法開(kāi)啟。這里問(wèn)題是以各種形式出現(xiàn)，但在問(wèn)題情境設(shè)計(jì)時(shí)必須同時(shí)考慮問(wèn)題提出、處理和拓展，不然問(wèn)題情境將失去價(jià)值，難以到達(dá)預(yù)期目標(biāo)。這也就是導(dǎo)向性標(biāo)準(zhǔn)。52第52頁(yè)③探究性問(wèn)題情境應(yīng)該是開(kāi)放、挑戰(zhàn)、新奇，應(yīng)該能夠激發(fā)學(xué)生主動(dòng)發(fā)覺(jué)問(wèn)題、提出問(wèn)題和處理問(wèn)題欲望。鏈接2:案例5“導(dǎo)數(shù)”引入53第53頁(yè)（3）幾點(diǎn)注意①預(yù)防出現(xiàn)惟生活情境，以生活情境代替問(wèn)題情境現(xiàn)象。在許多情況下，數(shù)學(xué)內(nèi)部問(wèn)題就是好問(wèn)題情境。②預(yù)防出現(xiàn)假情境、為情境而情境、只有情境沒(méi)有問(wèn)題現(xiàn)象。③預(yù)防出現(xiàn)過(guò)分重視數(shù)學(xué)邏輯起點(diǎn)，忽略學(xué)生接收能力現(xiàn)象。④預(yù)防出現(xiàn)一個(gè)內(nèi)容一個(gè)情境，情境遍地開(kāi)花現(xiàn)象。要重視學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容整體認(rèn)識(shí)。54第54頁(yè)2．問(wèn)題設(shè)計(jì)（1）“問(wèn)題”含義“問(wèn)題”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是十分主要。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“問(wèn)題”是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺(jué)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)一個(gè)心理困境，這種困境是學(xué)生有目標(biāo)準(zhǔn)備去追求但還未找到適當(dāng)伎倆處理一個(gè)狀態(tài)。依據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容與教學(xué)步驟不一樣，教學(xué)中“數(shù)學(xué)問(wèn)題”能夠分為各種類別，有是為了揭示關(guān)鍵內(nèi)容關(guān)鍵問(wèn)題，有是為了引出新內(nèi)容導(dǎo)向性問(wèn)題，有是為了滲透數(shù)學(xué)思想方法啟迪性問(wèn)題。55第55頁(yè)（2）問(wèn)題設(shè)計(jì)怎樣進(jìn)行問(wèn)題設(shè)計(jì)？依據(jù)問(wèn)題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作用，必須重視問(wèn)題關(guān)鍵性、整體性、探究性和開(kāi)放性等。56第56頁(yè)①重視問(wèn)題關(guān)鍵性

案例6“集合”引言藍(lán)藍(lán)天空中，一群鳥(niǎo)在歡快地翱翔；茫茫草原上，一群羊在悠閑地走動(dòng)；清清湖水中，一群魚(yú)在自由地游泳……鳥(niǎo)群、羊群、魚(yú)群……都是“同一類對(duì)象聚集在一起”，這就是本章將要學(xué)習(xí)“集合”。那么，我們要問(wèn)：第一，集合含義是什么？第二，集合之間有什么關(guān)系？第三，怎樣進(jìn)行集合運(yùn)算？57第57頁(yè)評(píng)析

這里問(wèn)題就是本章要研究關(guān)鍵內(nèi)容，本章學(xué)習(xí)實(shí)際上就是要處理這三個(gè)問(wèn)題。而為了處理這三個(gè)問(wèn)題，又產(chǎn)生出若干小問(wèn)題，每個(gè)小問(wèn)題處理，就組成整個(gè)內(nèi)容學(xué)習(xí)與探究過(guò)程。關(guān)鍵問(wèn)題有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)整體把握，經(jīng)過(guò)關(guān)鍵問(wèn)題引領(lǐng)，學(xué)習(xí)過(guò)程能夠有序、有效。58第58頁(yè)

案例7“反函數(shù)”課堂小結(jié)問(wèn)題

為何叫做反函數(shù)？你以為這個(gè)“反”到底反在什么地方？評(píng)析

此問(wèn)題提出獨(dú)具特色，也帶有一定詼諧，讓學(xué)生以為很有意思。在這么教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生不需要教師再三囑咐，也不會(huì)忘記反函數(shù)“反”在哪里？同時(shí)，此問(wèn)題又是本學(xué)習(xí)內(nèi)容關(guān)鍵所在，因?yàn)榉春瘮?shù)“反”也就是它主要內(nèi)涵、性質(zhì)所在！59第59頁(yè)②重視問(wèn)題整體性整個(gè)課堂是一個(gè)有機(jī)整體，從初始問(wèn)題開(kāi)始，到回顧反思為止，應(yīng)該是一個(gè)系統(tǒng)、完整思維整體。不然，課堂被分解地支離破碎，沒(méi)有協(xié)力。問(wèn)題只有以“問(wèn)題串”形式出現(xiàn)，在“問(wèn)題串”引領(lǐng)下，學(xué)生才能進(jìn)行系列、連續(xù)思維活動(dòng)。

鏈接3:案例8研究性學(xué)習(xí)課“怎樣燒開(kāi)水最省煤氣”中“問(wèn)題串”③重視問(wèn)題探究性怎樣引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效教學(xué)探究，關(guān)鍵在于問(wèn)題“設(shè)計(jì)”，即問(wèn)題本身應(yīng)含有探究性。60第60頁(yè)案例9“均值不等式”變式問(wèn)題問(wèn)題

甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超出80km/h。已知汽車每小時(shí)運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成?？勺儾糠峙c速度v（km/h）平方成正比，百分比系數(shù)為1/10，固定部分490元。(1)把全部運(yùn)輸成本y表示為v（km/h）函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)定義域。

(2)為了使運(yùn)輸成本最小，汽車以多大速度行駛？61第61頁(yè)變式問(wèn)題1：在問(wèn)題1中，只把汽車“速度不超出80km/h”改為“速度不超出60km/h”，其它條件不變，讓學(xué)生探索一樣問(wèn)題。變式問(wèn)題2：在問(wèn)題1中，把汽車“速度不超出80km/h”改為“速度不超出c（km/h）”，其它條件不變，讓學(xué)生探索一樣問(wèn)題。變式問(wèn)題3：在問(wèn)題1中，把汽車“速度不超出80km/h”改為“速度不超出c（km/h）”，把“百分比系數(shù)為1/10，固定部分490元”改為“百分比系數(shù)為b，固定部分a元?！薄Ｆ渌鼦l件不變，讓學(xué)生探索一樣問(wèn)題。62第62頁(yè)評(píng)析

問(wèn)題基本解答為：全部運(yùn)輸成本y與v（km/h）關(guān)系式是（0＜v≤80）。利用均值不等式，得到當(dāng)汽車以70km/h速度行駛時(shí)，運(yùn)輸成本最低。在問(wèn)題基礎(chǔ)上給出了三個(gè)變式問(wèn)題。教師為何要在變式問(wèn)題1中把汽車“速度不超出80km/h”改為“速度不超出60km/h”？其實(shí)它是針對(duì)函數(shù)定義域改變而來(lái)：?jiǎn)栴}中所求70km/h在其定義域（0＜v≤80）之內(nèi)，但不在變式問(wèn)題2中定義域（0＜v≤60）內(nèi)。深入地，變式問(wèn)題2-3把相關(guān)問(wèn)題抽像化了。這么問(wèn)題不但可推進(jìn)學(xué)生愈加主動(dòng)地、主動(dòng)地去探究學(xué)習(xí)，而且也培養(yǎng)了他們邏輯思維和抽象思維能力。63第63頁(yè)

④重視問(wèn)題開(kāi)放性有些數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中也力圖提出一些問(wèn)題來(lái)促進(jìn)學(xué)生思索。可是，這些問(wèn)題大多數(shù)都是指向性明確封閉性問(wèn)題，即為“是/否”（Yes/No）問(wèn)題。我們不能否定這些問(wèn)題在有些情況下價(jià)值，不過(guò)，若要更加好地促進(jìn)學(xué)生思維建構(gòu)，則需要教師提出開(kāi)放性問(wèn)題。

鏈接4:案例10“一條直線到另一條直線角（到角）”引入64第64頁(yè)

案例11“反函數(shù)”概念及性質(zhì)（請(qǐng)學(xué)生回想前面學(xué)習(xí)過(guò)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，且依據(jù)學(xué)生回答，在黑板上畫(huà)出相關(guān)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一些性質(zhì)對(duì)照表）問(wèn)題學(xué)習(xí)完一些知識(shí)以后，我們要有一個(gè)習(xí)慣，就是能不能把這些知識(shí)橫向聯(lián)絡(luò)起來(lái)？那么，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思索這么一個(gè)問(wèn)題，你以為指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有哪些關(guān)系？你打算怎樣研究？65第65頁(yè)評(píng)析

教師第一句話，其實(shí)是培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)方法。教師第二句話看似是教師提問(wèn)，其實(shí)是把學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生來(lái)發(fā)覺(jué)問(wèn)題：發(fā)覺(jué)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間關(guān)系，并用某種方法來(lái)研究它們。給時(shí)間讓學(xué)生討論、講話，可得到一個(gè)猜測(cè)：指數(shù)函數(shù)圖像與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱等。66第66頁(yè)教師再給時(shí)間讓學(xué)生繼續(xù)證實(shí)自己猜測(cè)。而在學(xué)生思索時(shí)間內(nèi)，老師不要有多出話語(yǔ)，只是在教室里四處走動(dòng)，不時(shí)停下來(lái)解答學(xué)生問(wèn)題。等到學(xué)生思索出大致進(jìn)程后，老師請(qǐng)有想法學(xué)生舉手回答，與全班學(xué)生一起分享他想法。然后，師生又經(jīng)過(guò)幾何畫(huà)板驗(yàn)證學(xué)生自己得出猜測(cè)。至此，教師對(duì)以上學(xué)生相關(guān)討論做出一個(gè)小結(jié)，指出指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有如此關(guān)系，教材上給一名稱把它們叫做一對(duì)反函數(shù)，從而引出反函數(shù)概念。67第67頁(yè)3．?dāng)?shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)（1）數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)內(nèi)容數(shù)學(xué)概念是反映一類對(duì)象本質(zhì)屬性思維形式。它具有抽象性和具體性雙重特點(diǎn)。因?yàn)閿?shù)學(xué)概念代表了一類事物本質(zhì)屬性，所以它是抽象，沒(méi)有實(shí)際物質(zhì)存在。以“三角形”概念為例，現(xiàn)實(shí)世界中，沒(méi)有見(jiàn)過(guò)抽象三角形，而只能見(jiàn)到具體三角形。它是客觀現(xiàn)實(shí)抽象。這是概念抽象性一面。其次，盡管概念作為一種抽象，物質(zhì)世界中沒(méi)有實(shí)際存在，但是從數(shù)學(xué)教學(xué)方面來(lái)看，學(xué)生可以獲得概念，概念一旦為學(xué)生掌握，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就是“實(shí)在”東西了，這是概念具體性一面。68第68頁(yè)數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、證實(shí)基礎(chǔ)和依據(jù)，數(shù)學(xué)中推理和證實(shí)實(shí)質(zhì)上是由一連串概念、判斷和命題組成，而數(shù)學(xué)中命題又都是一些概念組成。所以，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)最主要組成部分。普通來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)包含以下四個(gè)方面：①數(shù)學(xué)概念名稱。比如“三角形”、“正方體”、“橢圓”等。②數(shù)學(xué)概念定義。比如“三角形”定義是“由不在同一直線上三條線段首尾順次相接所組成圖形”。③數(shù)學(xué)概念例子。符合數(shù)學(xué)概念定義事物是數(shù)學(xué)概念正例，不符合數(shù)學(xué)概念定義事物是數(shù)學(xué)概念反例。④數(shù)學(xué)概念屬性。比如“三角形”這個(gè)數(shù)學(xué)概念屬性是平面圖形、封閉、有三條邊、有三個(gè)角等。69第69頁(yè)（2）數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)形式數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)形式普通有兩種，一是概念形成，二是概念同化。第一，概念形成概念形成是在教學(xué)條件下，從大量詳細(xì)例子出發(fā)，從學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)必定例證中，以歸納方法概括出一類事物本質(zhì)屬性。第二，概念同化概念同化是利用學(xué)生已經(jīng)有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以定義方式直接向?qū)W生揭示概念本質(zhì)。

70第70頁(yè)（3）數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)所需要注意幾個(gè)問(wèn)題為幫助學(xué)生透徹了解并掌握所學(xué)數(shù)學(xué)概念，教師要注意以下幾個(gè)方面：①加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念解剖分析數(shù)學(xué)概念是借助于數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)來(lái)表示，其用語(yǔ)、用詞普通都非常嚴(yán)密、精練，含有高度概括性。所以，教師必須抓住概念中關(guān)鍵詞句進(jìn)行解剖分析，揭示每一個(gè)詞、句、符號(hào)、式子內(nèi)在含義，使學(xué)生深刻了解概念本質(zhì)屬性。

鏈接5:案例12對(duì)“正弦函數(shù)”概念分析

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②利用變式，突出概念本質(zhì)屬性變式是指概念例證在非本質(zhì)屬性方面改變。利用變式目標(biāo)是經(jīng)過(guò)非本質(zhì)屬性改變來(lái)突出本質(zhì)屬性，使學(xué)生取得概念更準(zhǔn)確。比如，為了使學(xué)生全方面了解無(wú)理數(shù)概念，教師能夠展現(xiàn)下面各種變式：●開(kāi)不盡數(shù)：●負(fù)無(wú)理數(shù)：●超越數(shù)：●無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：4.12112111211112…72第72頁(yè)③注意概念對(duì)比數(shù)學(xué)中許多概念是相互聯(lián)絡(luò)。所以，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可把它們