高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)探究與題型突破第22講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)(原卷版+解析)

第22講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1．角的概念(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．分類：按旋轉(zhuǎn)方向，角可以分成三類：正角、負(fù)角和零角．(2)象限角在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．(3)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．2．弧度制的相關(guān)概念(1)1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角．(2)弧度制：①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．②記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度．如圖，在單位圓O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))的長等于1，∠AOB就是1弧度的角．(3)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad，1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°．(4)扇形的弧長公式：l＝α·r，扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.其中r是半徑，α(0＜α＜2π)為弧所對圓心角．3．三角函數(shù)的概念三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα考點(diǎn)1角的概念與表示[名師點(diǎn)睛](1)表示區(qū)間角的三個(gè)步驟①先按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；②再按由小到大的順序分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角的集合．(2)象限角的兩種判斷方法①圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；②轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α的終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．第一象限角都是銳角B．三角形的內(nèi)角必是第一?二象限的C．不相等的角終邊一定不相同D．不論是用角度制還是弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）與角的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（

）A． B．C． D．2．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）若，則的終邊在（

）A．第一、三象限 B．第一、二象限C．第二、四象限 D．第三、四象限3．（多選）(2023·江蘇·高三專題練習(xí)）下列與角的終邊不相同的角是（

）A． B．2kπ－(k∈Z)C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)4．（多選）(2023·全國·高三專題練習(xí)）如果角與角的終邊相同，角與的終邊相同，那么的可能值為（

）A． B． C． D．5．（多選）(2023·全國·高三專題練習(xí)）下列條件中，能使和的終邊關(guān)于軸對稱的是（

）A． B．C． D．6．（多選）(2023·全國·高三專題練習(xí)）如果是第四象限角，那么可能是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角考點(diǎn)2弧度制及其應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]應(yīng)用弧度制解決問題的注意點(diǎn)(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．[典例]1．(2023·廣東廣東·一模）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為，則其面積是______．2．(2023·全國·模擬預(yù)測）炎炎夏日，在古代人們乘涼時(shí)習(xí)慣用的紙疊扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，扇形ABC的面積S為，若，則當(dāng)該紙疊扇的周長C最小時(shí)，BD的長度為___________.[舉一反三]1．(2023·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知圓臺形的花盆的上、下底面的直徑分別為8和6，該花盆的側(cè)面展開圖的扇環(huán)所對的圓心角為，則母線長為（

）A．4 B．8 C．10 D．162．(2023·山東濟(jì)南·二模）濟(jì)南市洪家樓天主教堂于2006年5月被國務(wù)院列為全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特點(diǎn)之一就是窗門處使用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形.如圖2，和所在圓的圓心都在線段AB上，若，，則的長度為（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南·長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓錐的底面直徑為，母線長為，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角為（

）A． B． C． D．4．(2023·廣東·一模）為解決皮尺長度不夠的問題，實(shí)驗(yàn)小組利用自行車來測量A，B兩點(diǎn)之間的直線距離.如下圖，先將自行車前輪置于點(diǎn)A，前輪上與點(diǎn)A接觸的地方標(biāo)記為點(diǎn)C，然后推著自行車沿AB直線前進(jìn)（車身始終保持與地面垂直），直到前輪與點(diǎn)B接觸.經(jīng)觀測，在前進(jìn)過程中，前輪上的標(biāo)記點(diǎn)C與地面接觸了10次，當(dāng)前輪與點(diǎn)B接觸時(shí)，標(biāo)記點(diǎn)C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點(diǎn)之間的距離約為（

）（參考數(shù)值：）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m5．(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》方田篇記載“宛田面積術(shù)曰：以徑乘周，四而一”（注：宛田，扇形形狀的田地：徑，扇形所在圓的直徑；周，扇形的弧長），即古人計(jì)算扇形面積的公式為：扇形面．現(xiàn)有一宛田的面積為，周為，則徑是__________．6．(2023·湖南·雅禮中學(xué)二模）坐標(biāo)平面上有一環(huán)狀區(qū)域由圓的外部與圓的內(nèi)部交集而成.某同學(xué)欲用一支長度為1的筆直掃描棒來掃描此環(huán)狀區(qū)域的x軸上方的某區(qū)域R.他設(shè)計(jì)掃描棒黑?白兩端分別在半圓?上移動(dòng).開始時(shí)掃描棒黑端在點(diǎn)，白端在的點(diǎn)B.接著黑?白兩端各沿著?逆時(shí)針移動(dòng)，直至白端碰到的點(diǎn)便停止掃描，則B坐標(biāo)___________；掃描棒掃過的區(qū)域R的面積為___________.考點(diǎn)3三角函數(shù)的定義[名師點(diǎn)睛]1．利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值時(shí)，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個(gè)角的三角函數(shù)值．2．已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值．3．要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號．如果不能確定角所在的象限，就要進(jìn)行分類討論求解．[典例]1．(2023·山東濰坊·二模）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)，在角的終邊上，且，則（

）A．2 B． C． D．2．(2023·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）若角的終邊過點(diǎn)P（8m，），且，則m的值為（

）A． B． C． D．3．(2023·山東棗莊·高三期末）為第三或第四象限角的充要條件是（

）．A． B． C． D．[舉一反三]1．(2023·北京·二模）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是第四象限角，是角終邊上的一個(gè)點(diǎn)，若，則（

）A．4 B．-4 C． D．不確定3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知第二象限角的終邊上有兩點(diǎn)，，且，則（

）A． B． C． D．4．(2023·江蘇·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P從點(diǎn)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．(2023·海南·模擬預(yù)測）已知角為第二象限角，，則（

）A． B． C． D．6．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）若，則所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角8．(2023·山東·德州市教育科學(xué)研究院二模）已知角θ的終邊過點(diǎn)，且，則tanθ=____________．9．(2023·福建·莆田二中模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，C在圓O上，若射線OB平分∠AOC，B（，），則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為___________.10．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它從初始位置出發(fā)，沿單位圓順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角后到達(dá)點(diǎn)，然后繼續(xù)沿單位圓順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角到達(dá)點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.第22講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1．角的概念(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．分類：按旋轉(zhuǎn)方向，角可以分成三類：正角、負(fù)角和零角．(2)象限角在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．(3)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．2．弧度制的相關(guān)概念(1)1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角．(2)弧度制：①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．②記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度．如圖，在單位圓O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))的長等于1，∠AOB就是1弧度的角．(3)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad，1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°．(4)扇形的弧長公式：l＝α·r，扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.其中r是半徑，α(0＜α＜2π)為弧所對圓心角．3．三角函數(shù)的概念三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα考點(diǎn)1角的概念與表示[名師點(diǎn)睛](1)表示區(qū)間角的三個(gè)步驟①先按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；②再按由小到大的順序分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角的集合．(2)象限角的兩種判斷方法①圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；②轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α的終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．第一象限角都是銳角B．三角形的內(nèi)角必是第一?二象限的C．不相等的角終邊一定不相同D．不論是用角度制還是弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)答案：D【解析】解：對于，第一象限的角不一定是銳角，所以錯(cuò)誤；對于，三角形內(nèi)角的取值范圍是，所以三角形內(nèi)角的終邊也可以在軸的非負(fù)半軸上，所以錯(cuò)誤；對于，不相等的角也可能終邊相同，如與，所以錯(cuò)誤；對于，根據(jù)角的定義知，角的大小與角的兩邊長度大小無關(guān)，所以正確．故選：．2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）與角的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，答案：C【解析】首先角度制與弧度制不能混用，所以選項(xiàng)AB錯(cuò)誤；又與的終邊相同的角可以寫成，所以正確．故選：．3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D【解析】∵角的終邊在第一象限，∴，，則，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第一象限，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第二象限，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第三象限，綜上，角的終邊不可能落在第四象限，故選：D.[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】解：，由圖知，角的取值集合為:故選：D.2．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）若，則的終邊在（

）A．第一、三象限 B．第一、二象限C．第二、四象限 D．第三、四象限答案：A【解析】解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，其終邊在第三象限；當(dāng)時(shí)，，其終邊在第一象限.綜上，的終邊在第一、三象限.故選：A.3．（多選）(2023·江蘇·高三專題練習(xí)）下列與角的終邊不相同的角是（

）A． B．2kπ－(k∈Z)C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)答案：ABD【解析】與角的終邊相同的角為，其余三個(gè)角的終邊與角的終邊不同．故選：ABD.4．（多選）(2023·全國·高三專題練習(xí)）如果角與角的終邊相同，角與的終邊相同，那么的可能值為（

）A． B． C． D．答案：AC【解析】因?yàn)榻桥c角的終邊相同，故，其中，同理，其中，故，其中，當(dāng)或時(shí)，或，故AC正確，令，此方程無整數(shù)解；令即，此方程無整數(shù)解；故BD錯(cuò)誤.故選：AC.5．（多選）(2023·全國·高三專題練習(xí)）下列條件中，能使和的終邊關(guān)于軸對稱的是（

）A． B．C． D．答案：BD【解析】根據(jù)和的終邊關(guān)于軸對稱時(shí)可知，選項(xiàng)B中，符合題意；選項(xiàng)D中，符合題意；選項(xiàng)AC中，可取時(shí)顯然可見和的終邊不關(guān)于軸對稱.故選：BD.6．（多選）(2023·全國·高三專題練習(xí)）如果是第四象限角，那么可能是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角答案：BD【解析】解：由已知得，，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在第四象限，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在第二象限，即在第二或第四象限．故選：BD．考點(diǎn)2弧度制及其應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]應(yīng)用弧度制解決問題的注意點(diǎn)(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．[典例]1．(2023·廣東廣東·一模）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為，則其面積是______．答案：【解析】由條件可知，弧長，等邊三角形的邊長，則以點(diǎn)A、B、C為圓心，圓弧所對的扇形面積為，中間等邊的面積所以萊洛三角形的面積是.故答案為：2．(2023·全國·模擬預(yù)測）炎炎夏日，在古代人們乘涼時(shí)習(xí)慣用的紙疊扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，扇形ABC的面積S為，若，則當(dāng)該紙疊扇的周長C最小時(shí)，BD的長度為___________.答案：【解析】解：設(shè)扇形ABC的半徑為rcm，弧長為lcm，則扇形面積.由題意得，所以.所以紙疊扇的周長，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，等號成立，所以.又，所以，所以，故.故答案為：[舉一反三]1．(2023·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知圓臺形的花盆的上、下底面的直徑分別為8和6，該花盆的側(cè)面展開圖的扇環(huán)所對的圓心角為，則母線長為（

）A．4 B．8 C．10 D．16答案：A【解析】如圖，弧長為，弧長為，因?yàn)閳A心角為，，，則母線.故選：A.2．(2023·山東濟(jì)南·二模）濟(jì)南市洪家樓天主教堂于2006年5月被國務(wù)院列為全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特點(diǎn)之一就是窗門處使用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形.如圖2，和所在圓的圓心都在線段AB上，若，，則的長度為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】過作，設(shè)圓弧AC的圓心為O，半徑為，則，在中，，所以，，所以在直角三角形中，，所以，所以，而，所以，所以.故選：A.3．(2023·湖南·長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓錐的底面直徑為，母線長為，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題設(shè)，底面周長，而母線長為，根據(jù)扇形周長公式知：圓心角.故選：C.4．(2023·廣東·一模）為解決皮尺長度不夠的問題，實(shí)驗(yàn)小組利用自行車來測量A，B兩點(diǎn)之間的直線距離.如下圖，先將自行車前輪置于點(diǎn)A，前輪上與點(diǎn)A接觸的地方標(biāo)記為點(diǎn)C，然后推著自行車沿AB直線前進(jìn)（車身始終保持與地面垂直），直到前輪與點(diǎn)B接觸.經(jīng)觀測，在前進(jìn)過程中，前輪上的標(biāo)記點(diǎn)C與地面接觸了10次，當(dāng)前輪與點(diǎn)B接觸時(shí)，標(biāo)記點(diǎn)C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點(diǎn)之間的距離約為（

）（參考數(shù)值：）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m答案：D【解析】解：由題意，前輪轉(zhuǎn)動(dòng)了圈，所以A，B兩點(diǎn)之間的距離約為，故選：D.5．(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》方田篇記載“宛田面積術(shù)曰：以徑乘周，四而一”（注：宛田，扇形形狀的田地：徑，扇形所在圓的直徑；周，扇形的弧長），即古人計(jì)算扇形面積的公式為：扇形面．現(xiàn)有一宛田的面積為，周為，則徑是__________．答案：【解析】根據(jù)題意，因?yàn)樯刃蚊?，且宛田的面積為，周為，所以，解得徑是：.故答案為：.6．(2023·湖南·雅禮中學(xué)二模）坐標(biāo)平面上有一環(huán)狀區(qū)域由圓的外部與圓的內(nèi)部交集而成.某同學(xué)欲用一支長度為1的筆直掃描棒來掃描此環(huán)狀區(qū)域的x軸上方的某區(qū)域R.他設(shè)計(jì)掃描棒黑?白兩端分別在半圓?上移動(dòng).開始時(shí)掃描棒黑端在點(diǎn)，白端在的點(diǎn)B.接著黑?白兩端各沿著?逆時(shí)針移動(dòng)，直至白端碰到的點(diǎn)便停止掃描，則B坐標(biāo)___________；掃描棒掃過的區(qū)域R的面積為___________.答案：

【解析】由題意，，設(shè)，則點(diǎn)在上.則，解得所以當(dāng)白端在上移動(dòng)，碰到的點(diǎn)時(shí)，黑端在點(diǎn)在上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)到點(diǎn)位置.則掃描棒掃過的區(qū)域R為如圖所示的陰影部分.設(shè)則，解得，即連接,在中，滿足，則,所以由,則為直角三角形，則則,扇形與扇形的面積為區(qū)域R的面積為故答案為：；考點(diǎn)3三角函數(shù)的定義[名師點(diǎn)睛]1．利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值時(shí)，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個(gè)角的三角函數(shù)值．2．已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值．3．要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號．如果不能確定角所在的象限，就要進(jìn)行分類討論求解．[典例]1．(2023·山東濰坊·二模）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)，在角的終邊上，且，則（

）A．2 B． C． D．答案：C【解析】由已知得，因?yàn)辄c(diǎn)，在角的終邊上，所以直線的斜率為，所以，明顯可見，在第二象限，.故選：C2．(2023·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）若角的終邊過點(diǎn)P（8m，），且，則m的值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】∵，∴，故選：A.3．(2023·山東棗莊·高三期末）為第三或第四象限角的充要條件是（

）．A． B． C． D．答案：D【解析】對于A：第三或第四象限角，以及終邊在y軸負(fù)半軸，故A錯(cuò)誤；對于B：第二或第三象限角，以及終邊在x軸負(fù)半軸，故B錯(cuò)誤；對于C：第二或第三象限角，故C錯(cuò)誤；對于D：第三或第四象限角，故D正確.故選：D[舉一反三]1．(2023·北京·二模）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題設(shè)，而.故選：A2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是第四象限角，是角終邊上的一個(gè)點(diǎn)，若，則（

）A．4 B．-4 C． D．不確定答案：B【解析】依題意是第四象