金融中的數學分析方法

關于金融中的數學分析方法一、金融與數學

金融學是一門年輕的學科，最早起源于西方的會計學和法律。二十世紀七十年代以來逐漸發(fā)展成為一門相對獨立的學科，具有特定的研究對象、研究方法和研究思路。第2頁,共52頁，星期六，2024年，5月一、金融與數學資產組合理論與資本資產定價模型基本假設：投資者是風險厭惡的。數學方法：概率論、均值方差理論期權定價模型基本假設：投資者是風險中性的。數學方法：布朗運動、伊藤公式、隨機偏微分方程第3頁,共52頁，星期六，2024年，5月一、金融與數學美式期權定價與復雜期權基本假設：投資者是風險中性的。數學方法：計算機技術（RocketScience)、蒙特卡洛模擬、數值分析、人工智能（遺傳算法）、鞅、測度理論。第4頁,共52頁，星期六，2024年，5月一、金融與數學信息理論：基本假設：市場價格能反映所有的信息；價格波動符合隨機游走假設。數學方法：時間序列數據分析、人工智能（神經網絡技術）、概率理論、小波分析。第5頁,共52頁，星期六，2024年，5月一、金融與數學時間序列分析跨時序分析與經濟建模計算機金融第6頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析時間序列的平穩(wěn)性時間序列的自相關性時間序列的異方差現象第7頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析以下是我國1986年至2005年的國民生產總值和人口數，回歸結果為：GDP=-74.15+6.7AP?；貧w合理嗎？怎么解決？第8頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析實際上，GDP、AP都是隨時間遞增的，都不是平穩(wěn)的時間序列數據，因此導致了偽回歸。第9頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析平穩(wěn)時間序列：第10頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析

平穩(wěn)時間序列：均值不隨時間變化而變化的數據。實際生活當中，平穩(wěn)時間序列是很少見的。如果對具有共同趨勢的非平穩(wěn)時間序列采用經典的回歸分析方法來進行分析，就會產生偽回歸，亦即不存在的、虛假的關系。比如，用你的年齡與我國的GDP回歸。第11頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析解決辦法：一階差分、二階差分或三階差分，或考察兩者的增長率的關系。第12頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析結論：我國GDP與人口數都隨時間遞增，但兩者的增長率與時間沒有顯著的線性關系。第13頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析以下是一只股票A的收益率，你能找出它的波動規(guī)律并決定在適當的時候買入和賣出嗎？第14頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析

股票A的收益率服從以零為期望值、方差為1的正態(tài)分布。由于在每一個時間段的期望值、方差點不變，因此是平穩(wěn)過程。

第15頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析時間序列相關的類型分為：自回歸過程(AR)移動平均過程(MA)

第16頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析當p=1且Alpha=1時，自回歸過程AR就服從布朗運動。第17頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析自相關過程p=1，Alpha=1（布朗運動）。第18頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析移動平均過程(MA)：加入移動平均趨勢的一階自相關過程。第19頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析自相關移動平均過程ARIMA（1，0，1）：第20頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析同方差的時間序列：第21頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析異方差的時間序列數據ARCH(3)：第22頁,共52頁，星期六，2024年，5月二、時間序列分析時間序列的平穩(wěn)性：時間序列的自相關性：AR時間序列的異方差現象：ARCH第23頁,共52頁，星期六，2024年，5月三、跨時序分析與經濟建?？鐣r序分析(Inter-temporalModel)----消費者效用最大化的跨時序列分析

定義1：效用是指個人通過消費商品獲得的滿足程度,是所消費商品量的函數，即第24頁,共52頁，星期六，2024年，5月三、消費者效用跨時序分析假設1：消費函數是一個遞增的凹函數，即UC第25頁,共52頁，星期六，2024年，5月三、消費者效用跨時序分析我們考察兩個時期內個人的消費決策問題。設個人在第1期和第2期消費的商品分別為和，則個人得到的效用為：其中Beta是個人偏好貼現因子，且第26頁,共52頁，星期六，2024年，5月三、消費者效用跨時序分析設個人在第1期和第2期的收入水平分別為、，r表示第1期資本市場的借貸利率，則個人的消費預算必須滿足以下約束條件：第27頁,共52頁，星期六，2024年，5月三、消費者效用跨時序分析個人的消費行為可以表示為：第28頁,共52頁，星期六，2024年，5月三、消費者效用跨時序分析當上式取等號時（假設個人的壽命為2）。個人效用最大化行為必須滿足一階條件（EulerEquilibrium)：第29頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機金融確定性過程隨機過程可微分不可微分第30頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機金融確定性函數第31頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機金融布朗運動第32頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機金融從概率論到測度論從正態(tài)分布到布朗運動計算

隨機計算

微分

Ito微分積分

Ito積分概率統(tǒng)計

隨機過程

密度分布

測度概率對應概率第33頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機金融布朗運動性質、伊藤公式馬爾珂夫鏈和鞅過程（Martingale）第34頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機金融布萊克—斯克爾斯期權定價公式從二叉樹模型到布萊克—斯克爾斯公式無套利均衡模型條件期望模型第35頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機金融二叉樹模型美式期權與自由邊界問題二叉樹模型BinomialmodelVSBlack-Scholesmodel第36頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機金融蒙特卡洛模擬

有限差分法

Idea:Idea:產生偽隨機數泰勒公式近似地表示微分項

第37頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機金融蒙特卡洛模擬(MonteCarloSimulation)第38頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機金融蒙特卡洛模擬(Monte-CarloSimulation)蒙特卡洛模擬的算法及其實現MonteCarloVSBlack-Scholesmodel蒙特卡洛減方差技巧的算法及其實現基于LSM的美式期權定價方法第39頁,共52頁，星期六，2024年，5月四、計算機金融有限差分法

顯性法：Crank-Nicholson算法

隱性法：AlternativeDirectionImplicitScheme算法第40頁,共52頁，星期六，2024年，5月五、集合1.集合的運算2.集合及其擴展序列、映射、數域第41頁,共52頁，星期六，2024年，5月六、矩陣及其運算1.矩陣及其運算矩陣的運算矩陣的秩、矩陣的逆、正定矩陣第42頁,共52頁，星期六，2024年，5月七、概率無條件概率與條件概率聯(lián)合概率第43頁,共52頁，星期六，2024年，5月七、概率期望與方差第44頁,共52頁，星期六，2024年，5月七、概率協(xié)相關與相關系數第45頁,共52頁，星期六，2024年，5月七、概率練習1.如果硬幣的正面=2，反面=10，同時擲兩個硬幣，硬幣點數的和的方差是多少？練習2.未來的經濟可以分為三種狀態(tài)，以下是A、B兩支股票的收益率，計算它們的協(xié)方差。事件事件發(fā)生的概率經濟膨脹0.30.200.30正常0.50.120.10經濟衰退0.20.050.00第46頁,共52頁，星期六，2024年，5月七、概率貝葉斯公式第47頁,共52頁，星期六，2024年，5月七、概率已知：P(Iu)=0.3,P(Id)=0.7,P(Ru|Iu)=0.6,P(Ru|Id)=0.4。求P（Iu|Ru)IIuIdRuRdRuRd第48頁,共52頁，星期六，2024年，5月八、概率分布二項式分布期望值與方差、應用二項式給期權定價SuSdSu