人教版九年級上冊數(shù)學(xué)《第24章圓》練習(xí)題（含答案）

24.1.1圓

01基礎(chǔ)題

知識點1圓的有關(guān)概念

1.下列條件中，能確定唯一一個圓的是(C)

A.以點O為圓心

B.以2cm長為半徑

C.以點O為圓心，5cm長為半徑

D.經(jīng)過點A

2.下列命題中正確的有(A)

①弦是圓上任意兩點之間的部分；②半徑是弦；③直徑是最長的弦；④弧是半圓，半圓是弧.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

3.過圓上一點可以作出圓的最長弦的條數(shù)為(A)

A.1條B.2條

C.3條D.無數(shù)條

4.如圖，在。。中，弦有AC,AB,直徑是屈，優(yōu)弧有C^B,劣弧有余，曲.

5.如圖，在。O中，點B在。。上，四邊形AOCB是矩形，對角線AC的長為5,則。O

的半徑長為5.

知識點2圓中的半徑相等

6.如圖，MN為。O的弦，ZN=52°,則/MON的度數(shù)為(C)

A.38°B.52°

C.76°D.104°

7.(朔州月考)如圖，在AABC中，ZACB=90°,NA=40。，以C為圓心，CB為半徑的圓

交AB于點D,連接CD,則NACD=(A)

A.10°B.15°

C.20°D.25°

8.如圖，AB為OO的直徑，點C,D在0O上，已知/BOC=70。，AD〃OC,貝UNAOD

=40°.

9.如圖，AB,AC為。O的弦，連接CO,BO并延長，分別交弦AB,AC于點E,F,ZB

=NC.求證：CE=BF.

證明：；OB,OC是。。的半徑，

.?.OB=OC.

又：/B=/C,ZBOE=ZCOF,

AEOBgAFOC(ASA).

.?.OE=OF.

.?.OE+OC=OF+OB,即CE=BF.

10.如圖，CE是。O的直徑，AD的延長線與CE的延長線交于點B,若BD=OD,ZAOC

114°,求NAOD的度數(shù).

A

D

crO1EB

解：設(shè)NB=x.

VBD=OD,

AZDOB=ZB=x.

NADO=ZD0B+ZB=2x.

：OA=OD,

.?.ZA=ZADO=2x.

VZAOC=ZA+ZB,

.?.2x+x=114°,解得x=38。.

AZAOD=180°-ZA-ZADO=180o-4x=180o-4X38o=28°.

02中檔題

11.如圖，在AABC中，AB為OO的直徑，ZB=60°,ZBOD=100°,則/C的度數(shù)為(C)

12.下列四邊形：①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形.其中四個頂點在同一個圓上

的有(B)

A.1個B.2個

C.3個D.4個

13.下面3個命題：①半徑相等的兩個圓是等圓；②長度相等的弧是等??；③一條弦把圓分

成兩條弧，這兩條弧不可能是等弧.其中真命題的個數(shù)為(B)

A.0個B.1個

C.2個D.3個

14.如圖，A,B是。。上兩點，若四邊形ACBO是菱形，。。的半徑為r,則點A與點B

之間的距離為(B)

A.陋rB.y5rC.rD.2r

15.已知A,B是半徑為6cm的圓上的兩個不同的點,則弦長AB的取值范圍是0<ABW12cm.

16.如圖，AB是<30的弦，半徑OC,OD分別交AB于點E,F,且AE=BF,請你寫出

線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

解：OE=OF.

證明：連接OA,OB.

VOA,OB是。。的半徑,

，OA=OB.

.?.ZOAB=ZOBA.

又：AE=BF,

AOAE^AOBF(SAS).

.?.OE=OF.

17.（教材P81練習(xí)T3變式）如圖，在AABC中，BD,CE是兩條高，點。為BC的中點,

連接OD,OE.求證：B,C,D,E四個點在以點O為圓心的同一個圓上.

證明：：BD,CE是兩條高,

.?.ZBDC=ZBEC=90°.

:點0為BC的中點，

.?.OE=OB=OC=1BC.

同理：OD=OB=OC=^BC.

，OB=OC=OD=OE.

AB,C,D,E四個點在以點。為圓心的同一個圓上.

03綜合題

18.如圖，過A,C,D三點的圓的圓心為E,過B,F,E三點的圓的圓心為D,NA=63。,

求/B的度數(shù).

F

解：連接EC,ED.

VAE=CE,

???NACE=NA=63。.

???NAEC=180°-63°義2=54。.

VDE=DB,

???NDEB=NB.

???NCDE=NDEB+NB=2NB.

???CE=DE,

???NECD=NCDE=2NB.

/.NAEC=ZECD+ZB=3ZB.

???3NB=54。.

AZB=18°.

24.1.2垂直于弦的直徑

01基礎(chǔ)題

知識點1圓的對稱性

1.下列說法正確的是(B)

A.直徑是圓的對稱軸

B.經(jīng)過圓心的直線是圓的對稱軸

C.與圓相交的直線是圓的對稱軸

D.與半徑垂直的直線是圓的對稱軸

2.圓是軸對稱圖形，它的對稱軸有(D)

A.1條B.2條C.4條D.無數(shù)條

知識點2垂徑定理

3.(黃石中考)如圖所示，。。的半徑為13,弦AB的長度是24,ONXAB,垂足為N,則

ON=(A)

A.5B.7C.9D.11

4.如圖，AB是。O的直徑，弦CDLAB,垂足為M,下列結(jié)論不一定成立的是(D)

A.CM=DMB.CB=DB

C.AOCM^AODMD.OM=MB

A

(SO

5.(大同期中)如圖，在半徑為5cm的。O中，圓心O至U弦AB的距離為4cm,則AB=6.cm.

w

6.(長沙中考)如圖，AB為。。的直徑，弦CDLAB于點E,已知CD=6,EB=1,則。O

的半徑為，.

JD

7.如圖，己知。O的半徑為4,OC垂直弦AB于點C,NAOB=120。，則弦AB的長為4^3.

.弋~c_

知識點3垂徑定理的推論

8.如圖，。。的半徑為10,M是AB的中點，且OM=6,則。。的弦AB等于（D）

B.10C.12D.16

知識點4垂徑定理的應(yīng)用

9.（金華中考）如圖，在半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弓形

弦AB的長為（C）

A.10cm

B.16cm

C.24cm

D.26cm

10.（茂名中考）如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長OA為2.5米，秋千向兩邊擺動的角度相

同，擺動的水平距離AB為3米，則秋千擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差（即

CD）為C5米.

11.如圖是某風(fēng)景區(qū)的一個圓拱形門，路面AB寬為2米，凈高5米，求圓拱形門所在圓的

半徑是多少米.

解：連接OA.

VCDXAB,且CD過圓心O,

；.AD=4AB=1米，NCDA=90。.

設(shè)。。的半徑為R,則

OA=OC=R,OD=5-R.

在RtZMDAD中，由勾股定理，得

OA2=OD2+AD2,即

R2=(5-R)2+l2,解得R=26

圓拱形門所在圓的半徑為2.6米.

易錯點忽略垂徑定理的推論中的條件“不是直徑”

12.下列說法正確的是(D)

A.過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條弧

B.弦的垂直平分線平分它所對的兩條弧，但不一定過圓心

C.過弦的中點的直徑垂直于弦

D.平分弦所對的兩條弧的直徑平分弦

02中檔題

13.(呼和浩特中考)如圖，CD為。O的直徑，弦ABLCD,垂足為M.若AB=12,OM:MD

=5：8,則。O的周長為(B)

A.26兀B.13兀

_96兀仁兀

D.-----

14.如圖，在。O中，AB,AC是互相垂直的兩條弦，OD_LAB于點D,OE_LAC于點E,

且AB=8cm,AC=6cm,那么。O的半徑OA長為5cm.

15.（宿遷中考）如圖，在AABC中，已知/ACB=130。，ZBAC=20°,BC=2,以點C為

圓心，CB為半徑的

圓交AB于點D,則BD的長為

16.如圖，AB是。0的弦，AB長為8,P是。0上一個動點（不與A,B重合），過點。作

OCJ_AP于點C,OD_LPB于點D,則CD的長為生

17.（雅安中考）。0的直徑為10,弦AB=6,P是弦AB上一動點，則OP的取值范圍是

4WOPW5.

18.如圖，已知。O的直徑AB垂直弦CD于點E,連接CO并延長交AD于點F,且CF±AD.

（1）求證：點E是OB的中點；

（2）若AB=8,求CD的長.

解：（1）證明：連接AC.

VOBXCD,

；.CE=ED,即OB是CD的垂直平分線.

；.AC=AD.

同理AC=CD.

/.△ACD是等邊三角形.

AZACD=60°,NDCF=30°.

在RtZkCOE中，OE=1oC=1oB.

...點E是OB的中點.

⑵：AB=8,，0C=；AB=4.

又?；BE=OE,；.OE=2.

CE=A/OC2-OE2=^/16-4=2小.

；.CD=2CE=4V1

19.（湖州中考）已知在以點。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C,D（如圖

所示）.

⑴求證：AC=BD；

（2）若大圓的半徑R=10,小圓的半徑r=8,且圓心O到直線AB的距離為6,求AC的長.

解：（1）證明：過點O作OELAB于點E.

貝"CE=DE,AE=BE.

；.AE—CE=BE—DE,

即AC=BD.

(2)連接OA,OC.

由(1)可知，OE_LAB且OE_LCD,

CE=AJOC2-OE282-62=2巾,

AE=^/OA2-OE2=^/102-62=8.

；.AC=AE—CE=8—2幣.

03綜合題

20.太原市城市風(fēng)貌提升工程正在火熱進(jìn)行中，檢查中發(fā)現(xiàn)一些破舊的公交車候車亭有礙觀

瞻，現(xiàn)準(zhǔn)備制作一批新的候車亭，查看了網(wǎng)上的一些候車亭圖片后（如圖1）,設(shè)計師畫出了

如圖2所示的側(cè)面示意圖，F(xiàn)G為水平線段，PQLFG,點H為垂足，F(xiàn)G=2m,FH=1.2m,

點P在弧FG上，且弧FG所在圓的圓心。到FG,PQ的距離之比為5：2,則PH的長約為

0.6m.

圖1

24.1.3孤、弦、圓心角

01基礎(chǔ)題

知識點1圓心角的概念及其計算

1.下面圖形中的角是圓心角的是(D)

2.已知。。的半徑為5cm,弦AB的長為5cm,貝?。菹褹B所對的圓心角/AOB=

知識點2弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

3.下列說法正確的是(B)

A.相等的圓心角所對的弧相等

B.在同圓中，等弧所對的圓心角相等

C.弦相等，圓心到弦的距離相等

D.圓心到弦的距離相等，則弦相等

4.(蘭州中考)如圖，在。。中，點?是@的中點，NA=50。，則/BOC=(A)

A.40°B.45°C.50°D.60°

5.(教材P85練習(xí)T2變式)(貴港中考)如圖，AB是。O的直徑，BC=CD=DE,ZCOD

34°,則NAEO的度數(shù)是(A)

A.51°B.56°C.68°D.78°

6.如圖，已知A,B,C,D是OO上的點，Z1=Z2,則下列結(jié)論中正確的有(D)

@AB=CD；?BD=AC；③AC=BD；@ZBOD=ZAOC.

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.如圖，AB是。O的直徑，BC,CD,DA是。O的弦，且BC=CD=DA,則/BCD的

度數(shù)為(C)

A.100°B.110°

C.120°

8.如圖，AB,DE是OO的直徑，C是。O上的一點，且AB=6i.BE與CE的大小有什么

關(guān)系？為什么？

解：BE=CE.理由如下：

VAB,DE是OO的直徑,

AZAOD=ZBOE.

/.AD=BE.

VAE)=CE,->.BE=CE.

.?.BE=CE.

9.如圖，M為。0上一點，OD_LAM于點D,OE_LBM于點E.若OD=OE,求證：AM=

BM.

4iy

o

證明：連接OM.

VODXAM,OEXBM,

AAD=MD,ME=BE,ZODM=ZOEM=90°.

[OD=OE,

在RtADMO和RtAEMO中，

[OM=OM,

RtADMO咨RtAEMO(HL).

/.DM=EM".AM=BM.

.".AM=BM.

易錯點對圓中的有關(guān)線段的關(guān)系運用不當(dāng)而致錯

10.如圖，A,B,C,D是。。上的四點，且AD=BC,則AB與CD的大小關(guān)系為(B)

A.AB>CD

B.AB=CD

C.AB<CD

D.不能確定

02中檔題

11.如圖，已知A,B,C在圓。上，D,E,F是三邊的中點.若靠=R,則四邊形AEDF

的形狀是(B)

A.平行四邊形B,菱形

C.正方形D.矩形

12.已知。O中，M為a的中點，則下列結(jié)論正確的是(C)

A.AB>2AM

B.AB=2AM

C.AB<2AM

D.AB與2AM的大小不能確定

13.如圖，AB是半圓O的直徑,E是OA的中點，F(xiàn)是OB的中點，MEJ_AB于點E,NF_LAB

于點F.在下列結(jié)論中：

①啟=訟=麗②ME=NF；③AE=BF；?ME=2AE.

正確的有①②③.

14.如圖，AB是OO的直徑，AC=CD,ZCOD=60°.

（□△AOC是等邊三角形嗎？請說明理由;

(2)求證：OC//BD.

解：（1）Z\AOC是等邊三角形.

理由：VAC=CD,

-,.ZAOC=ZCOD=60°.

又：OA=OC,

.,.△AOC是等邊三角形.

(2)證明：VZAOC=ZCOD=60°,

NBOD=180。一(/AOC+ZCOD)=60°.

VOD=OB,AODB為等邊三角形.

.".ZODB=60°.

.?.NODB=NCOD=60°.

；.OC〃BD.

15.（教材P84例3變式）如圖，A,B,C為圓O上的三等分點.

（1）求NBOC的度數(shù)；

⑵若AB=3,求圓O的半徑長及SAABC.

A

解：（1）；A,B,C為圓。上的三等分點，

.'.AB=BC=AC.

ZBOC=1x360°=120°.

⑵過點O作ODLAB于點D,

?:A,B,C為圓。上的三等分點，

；.AB=AC=BC=3,

即4ABC是等邊三角形.

.?.ZBAO=ZOBA=30°.

則AD=|,故DO=^,OA=<5,即圓。半徑長為小

SAABC=3X；XDOAB=乎.

03綜合題

16.如圖，ZAOB=90°,C,D是前的三等分點，連接AB分別交OC,OD于點E,F,

求證：AE=BF=CD.

證明：連接AC,BD.

VC,D是贏的三等分點,

.?.AC=CD=DB.

；.AC=CD=DB.

又NAOB=90°,

ZAOC=ZCOD=ZBOD=|zAOB=|x90°=30°.

VOA=OB,???NOAB=NOBA=45。.

NAEC=NAOC+ZOAB=75°.

在△AOC中，OA=OC,

180°-ZAOC1800-30°

:.ZACO=

22——=75°.

???NAEC=NACO.，AE=AC.

同理BF=BD.

；.AE=BF=CD.

24.1.4同周角

第1課時圓周角定理及其推論

01基礎(chǔ)題

知識點1圓周角的概念

1.下列圖形中的角是圓周角的是(B)

知識點2圓周角定理

2.(茂名中考)如圖，A,B,C是。O上的三點，ZB=75°,則NAOC的度數(shù)是(A)

A.150°B.140°C.130°D.120°

3.(濱州中考)如圖，在。。中，圓心角NBOC=78。，則圓周角NBAC的大小為(C)

4.(山西模擬)如圖，直徑為AB的。O中，BC=2AC,連接BC,則NB的度數(shù)為(B)

A.35°B.30°C.20°D.15°

知識點3圓周角定理的推論

5.如圖，已知AB是。O的直徑，點C在。O上，ZA=35°,則NB的度數(shù)是(C)

A.35°B.45°C.55°D.65°

修

6.(紹興中考)如圖，BD是。0的直徑,點A,C在。0上，AB=BC,/AOB=60。，則/BDC

的度數(shù)是(D)

A.60°B.45°C.35°D.30°

D

7.（黔西南中考）如圖，在。O中，AB=AC,ZBAC=50°,則/AEC的度數(shù)為（A）

8.（太原二模）如圖，BD是圓0的直徑，NCBD=30。，則/A的度數(shù)為（C）

9.（常州中考）如圖，把直角三角板的直角頂點0放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓

弧分別交于點M,N,量得0M=8cm,0N=6cm,則該圓玻璃鏡的半徑是（B）

A.-\/lbcmB.5cm

10.（朝陽中考）如圖是一個圓形人工湖的平面圖，弦AB是湖上的一座橋，已知橋長100m,

測得圓周角ZACB=30°,則這個人工湖的直徑為200m.

A

11.如圖，已知A,B,C,D是。O上的四個點，AB=BC,BD交AC于點E,連接CD,

AD.求證：DB平分NADC.

B

AtC

一

證明：VAB=BC,

.'.AB=BC.

NADB=NBDC.

ADB平分NADC.

易錯點忽略弦所對的圓周角不唯一而致錯

12.已知。0的弦AB的長等于。0的半徑，則此弦AB所對的圓周角的度數(shù)為30°或150°.

02中檔題

13.(海南中考)如圖，點A、B、C在。O上，AC〃OB,/BAO=25。，則/BOC的度數(shù))

(B)

A.25°B.50°

C.60°D.80°

省

14.(呂梁孝義市期中)如圖，AB是。O的直徑，點C,：D,E在。O上，若/AED=20。,

則NBCD的度數(shù)為(B)

A.100°B.110°

C.115°D.120°

A)

e

R

15.(廣州中考)如圖，在。0中，AB是直徑，CD是弦,AB±CD,垂足為E,連接CO,

AD,ZBAD=20°,則下列說法中正確的是(D)

A.AD=2OBB.CE=EO

C.ZOCE=40°D.ZBOC=2ZBAD

A

16.如圖，0c經(jīng)過原點，并與兩坐標(biāo)軸分別交于A,D兩點，已知/OBA=30。，點A的

坐標(biāo)為(2,0),則點D的坐標(biāo)為(0,2、1).

17.如圖，。。的直徑AB的長為10,弦AC的長為5,NACB的平分線交。。于點D.

(1)求BC的長；

(2)求BD的長.

解：(1)：AB為。。的直徑，

ZACB=ZADB=90°.

在RtAABC中，

BC=^/AB2-AC2=^/102-52=5V3.

(2)VCD平分NACB,

.?.ZACD=ZBCD=45°.

/BAD=ZABD=45°.

.?.AD=BD.

設(shè)BD=AD=x,

在Rt/XABD中，由勾股定理，得

AD2+BD2=AB2.

.\x2+x2=102.

解得X=5A/2.

ABD=5^2.

18.如圖，在AABC中，AB=BC=2,以AB為直徑的。0分別交BC,AC于點D,E,

且點D為邊BC的中點.

(1)求證：AABC為等邊三角形;

(2)求DE的長.

解：(1)證明：連接AD.

：AB是。O的直徑，

AZADB=90°.

:點D是BC的中點，

AAD是BC的垂直平分線.

.?.AB=AC.

又：AB=BC,

.?.AB=AC=BC.

.'.△ABC為等邊三角形.

⑵連接BE.

；AB是。O的直徑，

.?.ZAEB=90°.

ABEXAC.

VAABC是等邊三角形，

；.AE=EC,即E為AC的中點.

又：D是BC的中點，

.?.DE>AABC的中位線.

/.DE=^AB=^X2=1.

03綜合題

19.(東營中考)如圖，在。O中，AB是0O的直徑，AB=8cm,AC=CD=BD,M是AB

上一動點，CM+DM的最小值為8cm.

第2課時圓內(nèi)接四邊形

01基礎(chǔ)題

知識點圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

1.(湘潭中考)如圖，四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，若NDAB=60。，則NBCD的度

數(shù)是(D)

A.60°B.90°

C.100°D.120°

2.如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長線上一點.若NBAD=105。，貝1JNDCE

的大小是(B)

A.115°B.105°

C.100°D.95°

rE

3.(婁底中考)如圖，四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，己知NC=ND,則AB與CD的

位置關(guān)系是AB〃CD.

4.如圖，AB是半圓O的直徑，NBAC=30。，D是R的中點，則/DAC的度數(shù)是理.

5.如圖所示，己知圓心角NAOB=100。，求NACD的度數(shù).

M

解：在優(yōu)弧AMB…上任取一點N,連接AN,BN,

由圓周角定理，得NN=；NAOB=/xi00o=50。.

ZACB=18O°-ZN=18O°-5O°=130°.

ZACD=180°—ZACB=180°—130°=50°.

6.已知圓內(nèi)接四邊形相鄰三個內(nèi)角度數(shù)的比為2：1：7,求這個四邊形各內(nèi)角的度數(shù).

解：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)可知，其對角和相等，所以四個內(nèi)角的度數(shù)的比為

2：1：7：8.

設(shè)這四個內(nèi)角的度數(shù)分別為2x。、x。、7x。、8x°,則

2x+x+7x+8x=360.解得x=20.

則2x=40,7x=140,8x=160.

答：這個四邊形各內(nèi)角的度數(shù)分別為40。、20。、140。、160。.

7.(T4的變式)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,/B=50。，ZACD=25°,/BAD=65。.

求證:

(1)AD=CD；

(2)AB是。O的直徑.

證明：(1)???四邊形ABCD內(nèi)接于。O,

AZD=180°-ZB=130°.

ZACD=25°,

，ZDAC=180°-ZD-ZACD=180°—130°—25°=25°.

NDAC=NACD.

.?.AD=CD.

(2)：NBAC=NBAD—NDAC=65°—25°=40°,ZB=50°,

ZACB=180o-ZB-ZBAC=180°-50o-40°=90°.

AAB是。O的直徑.

易錯點對圓內(nèi)接四邊形的概念理解不清導(dǎo)致錯誤

8.（來賓中考）如圖，在。O中，點A,BC在。O上，且NACB=110。，貝l|/a=140。.

02中檔題

9.（山西中考模擬百校聯(lián)考）如圖，點A,B,C,D為。。上的點，四邊形AOBC是菱形,

則NADB的度數(shù)是（C）

A.30°D.75°

10.（聊城中考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,F是①上一點，且徐=前，連接CF并

延長交AD的延長線于點E,連接AC.若/ABC=105。，ZBAC=25°,則/E的度數(shù)為（B）

A.45°D.60°

11.（南京中考）如圖，在。O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，ZCAD=35°,則NB+/E=215°.

A

12.(吉林中考)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,ZDAB=130°,連接OC,點P是半徑OC

上任意一點，連接DP,BP,則/BPD可能為80(50°WPBPDW100°)(寫出一個即可).

13.如圖，。(2經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點A與點B,點A的坐標(biāo)為(0,4),

M是圓上一點，NBMO=120。.求。C的半徑.

解：：四邊形ABMO內(nèi)接于0C,

ZBAO+NBMO=180°.

VZBMO=120°,

ZBAO=60°.

在Rt/XABO中，AO=4,ZBAO=60°,

.'.AB=8.

?."ZAOB=90°,

；.AB為。C的直徑.

/.OC的半徑為4.

14.(蘇州中考)如圖，AB是圓0的直徑，D,E為圓0上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD

并延長至點C,使得CD=BD.連接AC交圓O于點F,連接AE,DE,DF.

(1)求證：ZE=ZC；

(2)若NE=55。，求/BDF的度數(shù).

c

解：(1)證明：連接AD.

VAB是。0的直徑，

.?.ZADB=90°,即AD_LBC.

VCD=BD,=

又：/B=/E,.*.ZE=ZC.

(2)：四邊形AEDF是。O的內(nèi)接四邊形，

.?.ZAFD=180°-ZE.

又；NCFD=180°—NAFD,

.?.ZCFD=ZE=55°.

：NE=NC=55。，

ZBDF=ZC+ZCFD=110°.

03綜合題

15.(佛山中考)如圖，。。的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E,F.

(1)若/E=/F,求證：ZADC=ZABC；

(2)若NE=NF=42。，求NA的度數(shù);

(3)若/E=a,ZF=p,且a￥。.請你用含有a,p的代數(shù)式表示/A的大小.

解：(1)證明：VZDCE=ZBCF,ZE=ZF,

又：/ADC=/E+NDCE,ZABC=ZF+ZBCF,

NADC=NABC.

⑵由⑴知/ADC=/ABC,

,/四邊形ABCD內(nèi)接于。O,

.?.ZADC+ZABC=180°.

AZADC=90°.

在RtAADF中，ZA=90°-ZF=90°-42°=48°.

⑶連接EF.

?/四邊形ABCD為。O的內(nèi)接四邊形，

NECD=NA.

?/ZECD=ZCEF+ZCFE,

.?.ZA=ZCEF+ZCFE,

??ZA+ZCEF+ZCFE+ZDEC+ZBFC=180°,

.,.2NA+a+p=180°.

a+B

.,.ZA=90°-^-L.

24.2.1點和圓的住置關(guān)系

01基礎(chǔ)題

知識點1點和圓的位置關(guān)系

1.已知點A在直徑為8cm的。O內(nèi)，則OA的長可能是(D)

A.8cmB.6cm

C.4cmD.2cm

2.(呂梁孝義市期中)已知。0是以坐標(biāo)原點為圓心，5為半徑的圓，點P的坐標(biāo)為(3,-4),

則點P與。O的位置關(guān)系是(B)

A.點P在。O外B.點P在。。上

C.點P在。O內(nèi)D.無法確定

3.己知圓的半徑為6cm,點P在圓外，則線段OP的長度的取值范圍是OP>6cm.

4.設(shè)。O的半徑為r,點P到圓心的距離OP=d,則有：(1)點P在圓外03；(2)點P在圓

上=d=r；(3)點P在圓內(nèi)=婦:.

5.已知。O的半徑為7cm,點A為線段OP的中點，當(dāng)OP滿足下列條件時，分別指出點

A與。0的位置關(guān)系.

(l)OP=8cm；(2)OP=14cm；(3)OP=16cm.

解：(1)在圓內(nèi).(2)在圓上.(3)在圓外.

知識點2過不在同一直線上的三點作圓

6.下列關(guān)于三角形的外心的說法中，正確的是(C)

A.三角形的外心在三角形外

B.三角形的外心到三邊的距離相等

C.三角形的外心到三個頂點的距離相等

D.等腰三角形的外心在三角形內(nèi)

7.如圖，。。是AABC的外接圓，。。的半徑為2,/A=30。，則BC=(C)

；兀

A.A/2B.26D.

8.A,B,C是平面內(nèi)的三點，AB=3,BC=3,AC=6,下列說法正確的是(B)

A.可以畫一個圓，使A,B,C都在圓上

B.可以畫一個圓，使A,B在圓上，C在圓外

C.可以畫一個圓，使A,C在圓上，B在圓外

D.可以畫一個圓，使B,C在圓上，A在圓內(nèi)

9.在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,則它的外心與頂點C的距離為（A）

A.5cmB.6cm

C.7cmD.8cm

10.如圖，ZXABC的外接圓圓心的坐標(biāo)是（一2,—1）.

知識點3反證法

11.用反證法證明“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”時，先假設(shè)平行于同一條直線

的兩條直線相交成立,然后經(jīng)過推理與平行公理相矛盾.

12.用反證法證明：若NA,ZB,/C是AABC的三個內(nèi)角，則其中至少有一個角不大于

60°.

證明：假設(shè)NA,ZB,/C都大于60。.則有NA+/B+NO180。，這與三角形的內(nèi)角和等

于180。相矛盾.因此假設(shè)不成立，即/A,ZB,/C中至少有一個角不大于60。.

易錯點概念不清

13.下列說法：①三點確定一個圓；②三角形有且只有一個外接圓；③三角形的外心到三角

形三邊的距離相等；④圓有且只有一個內(nèi)接三角形.其中正確的是②（填序號）.

02中檔題

14.己知。O的半徑為1,點P到圓心O的距離為d,若關(guān)于x的方程X?—2x+d=0有實

數(shù)根，則點P①）

A.在。。的內(nèi)部

B.在。O的外部

C.在。O上

D.在OO上或。O的內(nèi)部

15.如圖，在等邊三角形網(wǎng)格中，AABC的頂點都在格點上，點P,Q,M是AB與格線的

交點，則AABC的外心是（B）

A.點PD.點N

16.（棗莊中考）如圖，在網(wǎng)格中（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）選取9個格點（格線

的交點稱為格點）.若以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓

內(nèi)，貝Ir的取值范圍為(B)

A.2V2<r<V17B.V17<r<3V2

C.V17<r<5D.5<r<^29

17.如圖，在AABC中，BC=3cm,ZBAC=60°,那么^ABC能被半徑至少為d>cm的

圓形紙片所覆蓋.

18.矩形ABCD中，AB=8,BC=34，點P在邊AB上，且BP=3AP,如果。P是以點P

為圓心，PD為半徑作的圓，判斷點B,C與。P的位置關(guān)系

解：：AB=8,點P在邊AB上，且BP=3AP,

；.BP=6,AP=2.

根據(jù)勾股定理得r=PD=#(3⑹2+22=7,

PC=A/PB2+BC2=業(yè)2+(3巾)2=9,

VPB=6<r,PC=9>r,

...點B在。P內(nèi)，點C在。P外.

19.如圖所示，要把破殘的圓片復(fù)制完整.已知弧上的三點A,B,C.

（1）用尺規(guī)作圖法找出BXC所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）設(shè)AABC是等腰三角形，底邊BC=8cm,腰AB=5cm.求圓片的半徑R.

解：（1）分別作AB,AC的垂直平分線，設(shè)交點為0,則0為所求圓的圓心.

⑵連接AO交BC于點E.

VAB=AC,

；.AE_LBC,BE=|BC=4.

在RL^ABE中，

AE=AJAB2-BE2=^/52-42=3.

連接0B,在RtZXBEO中，OB2=BE2+OE2,

即R2=4?+（R—3猿，解得R=,.

25

即所求圓片的半徑為帖cm.

03綜合題

20.已知：如圖1,在AABC中，BA=BC,D是平面內(nèi)不與A,B,C重合的任意一點,

NABC=NDBE,BD=BE.

⑴求證：AABD^ACBE；

（2）如圖2,當(dāng)點D是aABC的外接圓圓心時，請判斷四邊形BECD的形狀，并證明你的結(jié)

論.

解：（1）證明：VZABC=ZDBE,

.?.ZABD=ZCBE.

又：BA=BC,BD=BE,

.?.AABD^ACBE(SAS).

⑵四邊形BECD是菱形.

證明：VAABD^ACBE,；.AD=CE.

:點D是AABC的外接圓圓心，

.?.AD=BD=CD.

又：BD=BE,，BD=BE=EC=CD.

...四邊形BECD是菱形.

24.2.2直線和圓的住置關(guān)系

第1課時直線和圓的位置關(guān)系

01基礎(chǔ)題

知識點1直線和圓的位置關(guān)系

1.(梧州中考)已知半徑為5的圓，其圓心到直線的距離是3,此時直線和圓的位置關(guān)系為(C)

A.相離B.相切

C.相交D.無法確定

2.已知一條直線與圓有公共點，則這條直線與圓的位置關(guān)系是(D)

A.相離B.相切

C.相交D.相切或相交

3.(張家界中考)如圖，ZO=30°,C為OB上一點，且OC=6,以點C為圓心，半徑為3

的圓與0A的位置關(guān)系是(C)

A.相離B.相交

C.相切D.以上三種情況均有可能

4.在平面直角坐標(biāo)系中，以點(3,2)為圓心，3為半徑的圓，一定(C)

A.與x軸相切,與y軸相切

B.與x軸相切,與y軸相交

C.與x軸相交，與y軸相切

D.與x軸相交，與y軸相交

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,。。是以AB為直徑的圓，則直線DC與。0

的位置關(guān)系是相離.

D,______________,C

AR

6.在RtZkABC中，NC=90。，AB=4cm,BC=2cm,以C為圓心，r為半徑的圓與AB

有何種位置關(guān)系？請你寫出判斷過程.

(l)r=1.5cm；(2)r=V3cm；(3)r=2cm.

解：過點C作CD_LAB,垂足為D.

在Rtz!\ABC中,

VAB=4,BC=2,AAC=2^3.

又???SAABC=|ABCD=|BC-AC,

BCAC

ACD

AB

(l)r=1.5cm時，相離；

(2)r=V3cm時，相切；

(3)r=2cm時，相交.

知識點2直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)

7.直線1與半徑為r的。O相交，且點O到直線1的距離為5,則半徑r的取值范圍是(A)

A.r>5B.r=5

C.0<r<5D.0<rW5

8.設(shè)。。的半徑為4,點O到直線a的距離為d,若。O與直線a至多只有一個公共點，

則d的取值范圍為(C)

A.dW4B.d<4

C.d24D.d=4

9.(山西第二次質(zhì)量評估)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的。P的圓心P的坐

標(biāo)為(一3,0),將。P沿x軸正方向平移，使。P與y軸相切，則平移的距離為(B)

1r

A.1B.1或5C.3D.5

10.(西寧中考)。。的半徑為R,點O到直線1的距離為d,R,d是方程x?—4x+m=0的

兩根，當(dāng)直線1與。O相切時，m的值為人

11.如圖，在RtZXABC中，ZA=90°,ZC=60°,BO=x,0O的半徑為2,當(dāng)AB所在

的直線與。O相交，相切，相離時，求x的取值范圍.

解：過點O作ODLAB.

VZA=90°,NC=60°,AZB=30°.

OD=^OB=^x.

當(dāng)AB所在的直線與。。相交時，0w|xv2,解得0Wx<4.

當(dāng)AB所在的直線與。。相切時，丸=2,

解得x=4.

當(dāng)AB所在的直線與。。相離時，%>2,

解得x>4.

易錯點題意理解不清

12.已知。O的半徑為2,直線1上有一點P滿足PO=2,則直線1與(DO的位置關(guān)系是相

切或相交.

02中檔題

13.(百色中考)以坐標(biāo)原點O為圓心，作半徑為2的圓，若直線y=-x+b與。O相交，則

b的取值范圍是(D)

A.0Wb<2吸B.—2吸WbW2吸

C.-2小<b<2小D.-2小<b<2小

14.在AABC中，/C=90。，AC=4,AB=5,以點C為圓心，R為半徑畫圓，若。C與

邊AB只有一個公共點，則R的取值范圍是(D)

A.R=yB.3WRW4

12

C.0<R<3或R>4D.3<RW4或R=5

15.如圖，OP的圓心P(—3,2),半徑為3,直線MN過點M(5,0)且平行于y軸，點N

在點M的上方.

(1)在圖中作出。P關(guān)于y軸對稱的。P—根據(jù)作圖直接寫出。P，與直線MN的位置關(guān)系;

(2)若點N在(1)中的。P，上，求PN的長.

解：(1)如圖，OP，與直線MN相交.

⑵連接PP'并延長交MN于點Q,連接PN,PN

在RtZkPQN中，P，Q=2,P，N=3,由勾股定理可求出QN=小.

在RtZXPQN中，PQ=3+5=8,QN=小，

由勾股定理可求出PN川8?+（小）2=舸.

16.如圖，有兩條公路OM,ON相