高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件2：3 3 2 第1課時(shí) 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(人教版)

3.3.2第1課時(shí)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)必備知識(shí)·素養(yǎng)奠基標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形

范圍x≥0,y∈R_____,__________,__________,_____x≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)對(duì)稱軸x軸____________焦點(diǎn)坐標(biāo)

準(zhǔn)線方程x=-x=____y=____y=頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e=__1x軸y軸y軸思考(1)拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲線相比有哪些不同?提示：拋物線的離心率等于1，只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸、一條準(zhǔn)線；它沒(méi)有中心，也沒(méi)有漸近線.(2)過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的直線被拋物線截得的線段長(zhǎng)度是多少？提示：這條線段是拋物線的通徑，長(zhǎng)度為2p，借助于通徑可以畫(huà)出較準(zhǔn)確的拋物線.素養(yǎng)小測(cè)1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于p. (

)(2)拋物線的范圍是x∈R，y∈R. (

)(3)拋物線是軸對(duì)稱圖形. (

)

2.拋物線y=-x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (

)A. B.(-4,0)C. D.(0,-4)【解析】因?yàn)閽佄锞€y=-x2，所以x2=-16y，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-4).【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€y=-x2，所以x2=-16y，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-4).【答案】D3.已知過(guò)拋物線y2=ax(a>0)的焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦長(zhǎng)度為2，則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.4 B.2 C.1 D.0【解析】由題意可得焦點(diǎn)F

，將x=代入拋物線方程可得y2=,解得y=±，所以a=2.【答案】B關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程【典例】1.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是(

)A.x2=16y B.x2=8yC.x2=±8y D.x2=±16y【解析】頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸的拋物線方程有兩個(gè)：x2=-2py，x2=2py(p>0)，由頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，知p=8，故所求拋物線的方程為x2=16y或x2=-16y.【答案】D關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成2.已知雙曲線C1：(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為

.

【解析】因?yàn)殡p曲線C1：(a>0，b>0)的離心率為2，所以==2,所以b=a，所以雙曲線的漸近線方程為x±y=0.所以拋物線C2：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為=2，所以p=8，所以所求的拋物線方程為x2=16y.【答案】x2=16y【解析】因?yàn)殡p曲線C1：(a>0，b>0)的離心率為2，所以==2,所以b=a，所以雙曲線的漸近線方程為x±y=0.所以拋物線C2：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為=2，所以p=8，所以所求的拋物線方程為x2=16y.【答案】x2=16y內(nèi)化·悟1.拋物線x2=2py(p>0)有幾條對(duì)稱軸？是不是中心對(duì)稱圖形?提示：有一條對(duì)稱軸；不是中心對(duì)稱圖形.2.影響拋物線開(kāi)口大小的量是什么，是如何影響的?提示：參數(shù)p影響拋物線開(kāi)口大小，p值越大，拋物線的開(kāi)口越開(kāi)闊，p值越小，開(kāi)口越扁狹.類題·通法用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟提醒：求拋物線的方程時(shí)要注意拋物線的焦點(diǎn)位置，不同的焦點(diǎn)設(shè)出不同的方程.

類型二焦點(diǎn)弦問(wèn)題典例1.AB是過(guò)拋物線C：y2=4x焦點(diǎn)的弦，且|AB|=10，則線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 (

)

A.4 B.3 C.2 D.1【解析】因?yàn)閽佄锞€C：y2=4x，所以p=2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)橹本€AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以|AB|=x1+x2+2=10，則x1+x2=8，所以AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【答案】A

類型二焦點(diǎn)弦問(wèn)題典例2.已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn).(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；(2)若|AB|=9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離.解：(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60°,所以其斜率k=tan60°=,又F

，所以直線l的方程為，聯(lián)立消去y得4x2-20x+9=0，解得x1=，x2=，故|AB|==2×4=8.

類題·通法1.拋物線的焦半徑定義拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段.焦半徑公式2.過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)的求解方法設(shè)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|=x1+x2+p

，然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立、消元，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2即可.習(xí)練·破已知拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)P，過(guò)F的直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，若PM⊥PN，求|MN|.解：由題意可得拋物線的焦點(diǎn)F(4，0)，準(zhǔn)線方程為x=-4，P的坐標(biāo)(-4，0)，由題意設(shè)直線l的方程：x=my+4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線與拋物線聯(lián)立可得：y2-16my-64=0，可得y1+y2=16m，y1y2=-64，所以x1+x2=m(y1+y2)+8=16m2+8，x1x2==16，由PM⊥PN，可得=0，即(x1+4，y1)·(x2+4，y2)=x1x2+4(x1+x2)+16+y1y2=0，即16+4(16m2+8)+16-64=0，解得m2=0,所以x1+x2=8，由拋物線的性質(zhì)，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離可得|MN|=x1+x2+p=8+8=16.類型三拋物線性質(zhì)的應(yīng)用典例

已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線l過(guò)F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：由題意知，拋物線方程為y2=2px(p≠0)，焦點(diǎn)F

，直線l：x=，所以A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

，所以|AB|=2|p|，因?yàn)椤鱋AB的面積為4,所以··2|p|=4,所以p=±.所以拋物線方程為y2=±x.內(nèi)化·悟在什么條件下，拋物線的內(nèi)接三角形為等腰三角形？提示：與x軸垂直的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)與點(diǎn)O構(gòu)成的三角形必為等腰三角形.類題·突通利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問(wèn)題(1)對(duì)稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問(wèn)題.(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線：解決與拋物線的定義有關(guān)的問(wèn)題.(3)范圍：解決與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題.(4)焦點(diǎn)：解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題.

習(xí)練·突破已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A是拋物線C上任意一點(diǎn)，且|AF|min=1.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，2)、傾斜角為的直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，拋物線C的準(zhǔn)線與y軸交于E點(diǎn)，求△MEN的面積.解：(1)由拋物線定義及|AF|min=1，可得2p=4，所以拋物線C的方程為x2=4y.(2)可得l方程為y=x+2,將y=x+2與x2=4y聯(lián)立,消y得x2-4x-8=0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1+x2=4，x1x2=-8，所以S△MEN=課堂檢測(cè)1.若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=(

)A.2 B.3 C.4 D.8

【答案】D

3.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0，2).若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)___.

【解析】由拋物線y2=2px(p>0)，得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為,代入拋物線方程得，2p×=1，所以p=，所以B點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為【答案】備用工具&資料

所以S△MEN=拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)必備知識(shí)·素養(yǎng)奠基標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形

范圍x≥0,y∈R_____,__________,__________,_____x≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R思考(1)拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲