巧用圖示建構模型

《怎樣通知最快》是人教版數(shù)學五年級下冊“綜合與實踐”領域的教學內容，旨在引導學生進一步體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系和優(yōu)化思想在生活中的應用，以提高運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。教學中，教師如何利用學生熟悉的生活情境，通過畫圖、填表等方式引導學生發(fā)現(xiàn)事物隱含的規(guī)律，找到打電話通知的最優(yōu)方法？如何滲透數(shù)形結合思想，培養(yǎng)學生借助圖形解決問題的意識？如何設計實踐探究過程，引導學生感受數(shù)量呈幾何倍數(shù)增長的情況，對“怎樣通知最快”作出合理推斷和解釋？本期，我們討論如何更好地教學《怎樣通知最快》。《怎樣通知最快》主要探討“倍增問題”，是繼“烙餅問題”“沏茶問題”之后又一次向學生滲透運用統(tǒng)籌思想解決實際問題的內容，旨在培養(yǎng)學生解決問題的綜合能力，加深學生對優(yōu)化思想的體悟。一、多樣圖示，用數(shù)學眼光辨識信息用數(shù)學視角發(fā)現(xiàn)關鍵信息，思考問題與已知信息之間的聯(lián)系，有助于我們發(fā)現(xiàn)問題背后的數(shù)學本質。教師可以引導學生用圖示表征思考過程，讓思維可視化助力學生理解問題情境。課始，筆者創(chuàng)設以下問題情境：“一個應急小隊接到緊急任務，隊長需要盡快將任務通知到3名隊員。任務必須一對一進行傳達，每分鐘通知1人，請你幫助隊長設計一個最快的通知方案?！惫P者要求學生自主探究，并用圖示把通知方案表示出來。全班交流、展示環(huán)節(jié)，筆者呈現(xiàn)學生設計的如下3種方案（如圖1）。筆者引導：方案2與方案1和方案3相比，節(jié)省了1分鐘，這1分鐘省在哪里？學生發(fā)現(xiàn)第2分鐘處有變化：方案1和方案3在第2分鐘只通知了1個人，而方案2通知了2個人。筆者順勢追問：為什么方案2在第2分鐘能通知2個人呢？學生討論后得出：一個一個地通知，會有人空閑，浪費了時間；只有每分鐘每個人都不空閑，才能節(jié)省時間。以上教學，筆者通過多樣的圖示呈現(xiàn)不一樣的思維成果，達到化繁為簡的教學效果，讓學生初步認識優(yōu)化思想。二、多階聯(lián)系，用數(shù)學思維串聯(lián)模型課堂上，教師要關注學生建構數(shù)學模型的過程，引導學生在溝通與聯(lián)系中逐步建構模型。這種連貫而有梯度的思考有利于學生深度學習。本節(jié)課，筆者緊扣問題的核心設計了以下三個活動，引導學生有層次地感悟“倍增”的本質?；顒右唬簣D形聯(lián)系算式，感知數(shù)學符號的魅力課堂上，筆者引導：像方案2這樣打電話，隊長和隊員都不空閑，3分鐘能通知幾個人呢？請用圖示的方法表示出打電話的過程。學生獨立畫示意圖（如圖2）。筆者結合上圖追問學生：第3分鐘是怎樣通知的？第3分鐘新接到通知的有幾人？為什么是4人，而不是5人或6人？知道消息的總人數(shù)是幾人？一系列的問題驅動學生深入思考“倍增”的過程。接著，筆者引導學生思考能否用一個算式表示這3分鐘通知到的總人數(shù)。一名學生回答：第1分鐘接到電話的有1人，第2分鐘接到電話的有2人，第3分鐘接到電話的有4人，所以用“1+2+4=7”得出3分鐘通知7人。另一名學生用“2×2×2-1=7”得出同樣的答案，并說明減去的1人是隊長?；谝陨辖?jīng)驗，筆者提出進階問題：第4、第5分鐘能通知幾個人？在圖中怎樣表示？學生回答：第4分鐘的時候可在圖2的外面再畫一圈，正好是8個人（如圖3）。學生列出不同算式：1+2+4+8=15（人）；2×2×2×2-1=15（人）；4×4-1=15（人）。對于第5分鐘接到電話的人數(shù)，學生畫圖時發(fā)現(xiàn)人數(shù)又翻了一倍。活動二：平面聯(lián)系三維，體會數(shù)學模型“生長”的規(guī)律筆者再次引導：你們有沒有在圖中表示出第5分鐘接到電話人數(shù)的好方法？經(jīng)過思考、討論，學生的思維有了突破，他們猜想可以在圖3的基礎上再加一層，形成一個長方體樣態(tài)的圖示。此時，筆者出示圖4。學生受到啟發(fā)后很快發(fā)現(xiàn)，第6分鐘的人數(shù)可以在這個長方體圖示上再加一層。此時，筆者出示長方體累加模型。依此類推，學生發(fā)現(xiàn)以后的每一分鐘都可以在前一分鐘的基礎上加上一層相同的立體圖示。后續(xù)，通過回顧模型建構的過程，學生的數(shù)學思維逐步進階，模型逐步成型?；顒尤耗Ｐ吐?lián)系表格，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律生成的過程有了模型做支架，筆者引導學生試著填如下表格，依次記錄第1～第5分鐘新接到通知的隊員數(shù)和接到通知的隊員總數(shù)，并讓學生說一說有什么發(fā)現(xiàn)，按照這個規(guī)律，第6分鐘新接到通知的有幾人，為什么？怎樣列式計算？第6分鐘接到通知的總人數(shù)是多少？（1+2+4+8+16+32=63人）借助表格，模型中數(shù)據(jù)倍增的規(guī)律通過數(shù)學符號有序呈現(xiàn)出來，讓學生對“幾何級數(shù)的增長”有了初步體驗。三、多維優(yōu)化，用數(shù)學語言解釋本質得出結論之后，筆者問學生能否看懂教材上的三種打電話方案。學生發(fā)現(xiàn)：第一種是隊長一個人打電話，第二種是隊長調動組長打電話，第三種則是調動每個人打電話。筆者又問學生能否為三種方案分別取一個合適的名稱。學生想到了“隊長打”“分組打”“人人打”三種名稱。筆者讓學生比較這三種打電話方案，思考為什么通知時間會變短。學生思考后明確：從一個人打電話到少數(shù)人打電話，再到全員打電話，時間當然會縮短；只有當打電話的權力不再集中在一個人或少數(shù)人的手中，每個人都打電話，才是最優(yōu)策略。筆者有意識地通過“打電話”問題的教學，滲透民主、平等的思想，并引導學生思考相似的生活實例。學生思維敏