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拉格朗日定理經(jīng)濟數(shù)學(xué)在線開放課程授課教師：陳笑緣教授1引題2定理3例題1引題引題xyoBAba【問題】一條閉區(qū)間上的連續(xù)曲線，如果在相應(yīng)的開區(qū)間處處光滑。觀察其圖像，會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？至少有一條切線平行于端點的連線..C1C2引題【問題】一條閉區(qū)間上的連續(xù)曲線，如果在相應(yīng)的開區(qū)間處處光滑。觀察其圖像，會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？至少有一條切線平行于端點的連線至少存在使得

區(qū)間上的連續(xù)（2）

在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；

（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；

開區(qū)間處處光滑一條曲線函數(shù)至少有一條切線平行于端點的連線條件結(jié)論2定理定理4.2如果函數(shù)滿足下列條件：（2）

在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；

（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得。定理法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家拉格朗日（Lagrange）中值定理推論推論2如果，則（

為常數(shù)）。

推論1

如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點的導(dǎo)數(shù)恒為零，則函數(shù)

在區(qū)間內(nèi)是一個常數(shù)。常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，反過來在某個開區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)恒為零的函數(shù)也一定是常數(shù)函數(shù)。3例題例題問函數(shù)

在[1,e]

滿足拉格朗日定理的條件嗎？如果滿足請求出其結(jié)論中的。判斷是否滿足拉格朗日定理條件：

在開區(qū)間內(nèi)是否可導(dǎo)？

在閉區(qū)間上是否連續(xù)？

在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)是否有定義？

函數(shù)在閉區(qū)間上是否有定義？對于初等函數(shù)而言，要判斷：結(jié)論中的根據(jù)求。例題問函數(shù)

在[1,e]

滿足拉格朗日定理的條件嗎？如果滿足請求出其結(jié)論中的。解：即，解得：。初等等函數(shù)在區(qū)間[1,e]上有定義，又在開區(qū)間（1,e）內(nèi)有意義，因為，所以所求拉格朗日定理結(jié)論中的。因此在[1,e]上滿足拉格朗日定理的條件。又,

所以連續(xù)；所以可導(dǎo)；微訓(xùn)練思考2.如果拉格朗日定理的條件有一個不成立，結(jié)論會如何？3.驗證拉格朗日定理對函數(shù)在區(qū)間[0,1

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