導數(shù)的幾何意義及四則運算

復習1.點導數(shù)的定義函數(shù)的改變量與自變量改變量的比值，特點：當自變量的增量趨于零時的極限.如：要是存在，等于12.導函數(shù)定義3.點導數(shù)與導函數(shù)的關系即點導數(shù)是導函數(shù)在點處的函數(shù)值.4.主要用來討論分段函數(shù)在分界點的可導問題.作用：5.求導公式2四、導數(shù)的幾何意義1.導數(shù)的幾何意義：是y=f(x)在點處切線的斜率.即切線斜率若切線傾角為則可導一定有切線切線不垂直于x軸.32.可導的幾何意義：y=f(x)在x0處可導,即曲線y=f(x)在(x0,f(x0))存在不垂直于x軸的切線.答案：不一定.如：3.應用切線方程法線方程在不可導，但有切線.在不可導，也無切線問題：如果y=f(x)不可導，是否沒有切線呢？44.例題例1在點M(1,1)處的切線方程求等邊雙曲線1xy=解由導數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為即即和法線方程.5例2問曲線上哪一點處的切線與直線平行？解已知直線的斜率根據(jù)兩條直線平行的條件，所求切線的斜率也等于3.由導數(shù)的幾何意義知，的導數(shù)由題意得：則得：于是曲線上點平行.處的切線與直線6五、可導與連續(xù)的關系定理：凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).證注意:即：不連續(xù)一定不可導.該定理的逆定理不成立.但逆否命題成立.即：連續(xù)不一定可導.如：在處連續(xù)而不可導.7在處可導在處連續(xù)，在處的極限一定存在，即存在.可導與連續(xù)的關系是：可導必連續(xù)，連續(xù)不一定可導，必不可導.不連續(xù)8例3解在x=0的連續(xù)性與可導性.在處不可導.9六、物理意義：非均勻變化量的瞬時變化率.變速直線運動:位移對時間的導數(shù)為物體的瞬時速度.交流電路:電量對時間的導數(shù)為電流強度.非均勻的物體:質(zhì)量對長度(面積,體積)的導數(shù)為物體的線(面,體)密度.101.導數(shù)的幾何意義:切線的斜率;2.函數(shù)可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;3.求導數(shù)最基本的方法:由定義求導數(shù).4.判斷可導性不連續(xù),一定不可導.連續(xù)直接用定義;看左右導數(shù)是否存在且相等.小結(jié)不連續(xù)一定不可導.應用在求切線，法線方程等.11一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則定理1設函數(shù)及都在點x處可導，且其導數(shù)為則處可導，也在證即：其中為常數(shù).§2-4求導法則12若則若則若則例1已知求解13例2已知求解例3已知求解表明：次多項式的導數(shù)是次多項式.14且其導數(shù)為則有處可導，在為常數(shù)，也可簡寫為證明（略）定理2設函數(shù)都在點處可導，15定理3處可導，且其導數(shù)為設函數(shù)及都在點則處可導，也在證16由已知知，在點可導，必在點連續(xù).所以17例4求的導數(shù)解推廣：18定理4且其導數(shù)為則處可導，在也可簡寫為特殊地：若u=1,(其中)且設函數(shù)及都在點處可導，19同理可得例5解即20同理可得即例6解如：是否有呢？證說明：對于負整數(shù)也是成立的.21二、反函數(shù)的求導法則定理且內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)且可導，有如果函數(shù)在某區(qū)間I內(nèi)單調(diào)、可導，y那么它的反函數(shù)在對應區(qū)間Ix證于是有任取給一個增量且由的單調(diào)性可知，連續(xù)，又知即即反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).22解同理可得例1求函數(shù)的導數(shù).在內(nèi)單調(diào)可導.且23小結(jié)注意2:求導法則的成立是有條件的.注意3:注意1:分段函數(shù)求導時，分界點處的導數(shù)用左右導數(shù)