人教A版普通高中數學一輪復習第2章第3節(jié)微專題抽象函數的性質課件

第二章

函數微專題抽象函數的性質抽象函數是高中數學的難點，也是近幾年高考試題的熱點．抽象函數與函數的單調性、周期性、奇偶性和對稱性相結合的題目往往難度大，綜合性強，解此類題目定義是根本，特值代入是妙法，充分理解和運用已知的抽象式是關鍵．抽象函數一般都基于基本初等函數，找到原型，數形結合可化抽象為具體．本專題就抽象函數的性質及應用予以講解．

比較大小，利用奇偶性把不在同一單調區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數值轉化到同一單調區(qū)間上，進而利用函數單調性比較大?。愋投橄蠛瘮档闹芷谛浴纠?】(2022·新高考全國Ⅱ卷)若函數f(x)的定義域為R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1，則

f＝1f(k)＝(

)A.－3 B．－2C．0 D．1

√思維建模A

解析：因為f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0，可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝0，可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函數f(x)為偶函數．令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，從而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，即有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)＝f(x＋6)，所以函數f(x)的一個周期為6.因為f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一個周期內的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.因為22＝3×6＋4，所以

f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故選A.

思維建模

√

【例4】(2022·全國乙卷)已知函數f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，g(2)＝4，則

f＝1f(k)＝(

)A．－21 B．－22C．－23 D．－24

√D

解析：因為y＝g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以g(2－x)＝g(x＋2)．因為g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)．因為f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10.因為f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3.因為g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7.又因為f(x)＋g(2－x)＝5，聯立，得g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的圖象關于點(3，6)中心對稱．因為函數g(x)的定義域為R，所以g(3)＝6.因為f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1.所以

f(k)＝f(1)＋