人教版九年級上冊數(shù)學知識點總結(jié)

人教版九年級上冊數(shù)學知識點總結(jié)一元二次方程21.1一元二次方程易錯點：①a≠0和a=0②方程兩個根的取舍知識點一一元二次方程的定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。注意已下幾點：①只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2;③是整式方程。知識點二知識點三一元二次方程的根：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據(jù)。21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知識點一直接開平方法解一元二次方程(1)如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負數(shù)，可以直接開平方。一般地，對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得x?=√a,x?=-√a.(2)直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0,就可以利用直接開平方法。(3)用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。(4)直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項；②使二次項系數(shù)或含有未知數(shù)的式的平方項的系數(shù)為1;③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知識點二配方法解一元二次方程通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開。(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；(2)方程兩邊都除以二次項系數(shù)；(3)方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；(4)若等號右邊為非21.2.2公式法知識點一公式法解一元二次方程(1)一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的兩個根為,這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法?！?)的過程。②確定公式中a,b,c的值，注意符號；④若b2-4ac≥0,則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac<0,則方程無實數(shù)知識點二一元二次方程根的判別式式b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4ac.△>0,方程△>0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根△=0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根△<0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數(shù)根根的21.2.3因式分解法知識點一因式分解法解一元二次方程(1)把一元二次方程的一邊化為0,而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉(zhuǎn)化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。①移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0;③令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。知識點二用合適的方法解一元一次方程方法名稱理論依據(jù)適用范圍直接開平方法平方根的意義形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法當ab=0,則a=0或b=0一邊為0,另一邊易于分解成兩個一次因式的積的一元二次方程。21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為xj,x?,則有x?+x?=-p,x?X?=q.若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根x,x?,則有x?+x?=,21.3實際問題與一元二次方程知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟：(1)審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關(guān)系。(2)設：是指設元，也就是設出未知數(shù)。(3)列：就是列方程，這是關(guān)鍵步驟，一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等含義，然后列代數(shù)式表示這個相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程。(4)解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。(5)驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。(6)答：寫出答案。知識點二列一元二次方程解應用題的幾種常見類型(1)數(shù)字問題三個連續(xù)整數(shù)：若設中間的一個數(shù)為x,則另兩個數(shù)分別為x-1,x+1。三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù)):若中間的一個數(shù)為x,則另兩個數(shù)分別為x-2,x+2。三位數(shù)的表示方法：設百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a,b,c,則這個三位數(shù)是100a+10b+c.(2)增長率問題設初始量為a,終止量為b,平均增長率或平均降低率為x,則經(jīng)過兩次的增長或降低后的等量關(guān)系為a(1±x)2=b。(3)利潤問題(4)圖形的面積問題根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，建立一元二次方程。二次函數(shù)一、相關(guān)概念及定義1二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。【這里需要強調(diào)】:和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a≠0,而b,c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).2二次函數(shù)y=ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征：(1)等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.(2)a,b,c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項。二、二次函數(shù)各種形式之間的變換,.2二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①y=ax2;②y=ax2+k;③y=a(x-h)2;④y=a(x-h)2+k;⑤y=ax2+bx+c.4注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b2-4ac≥0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.1五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y=ax2+bx+c化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點(0,c)、以及(0,c)關(guān)于對稱軸對稱的點(2h,c)、與x軸的交點(x?,0),(x?,0)(若與x軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點)2畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.五、二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上y軸x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨x的增大而減??；x=0時，y有最小值0.向下y軸x>0時，y隨x的增大而減??；x<0時，y隨x的增大而增大；x=0時，y有最大值0.六、二次函數(shù)y=ax2+c的性質(zhì)a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上y軸x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨x的增大而減??；x=0時，y有最小值c.向下y軸x>0時，y隨x的增大而減?。粁<0時，y隨x的增大而增大；x=0時，y有最大值c.七、二次函數(shù)v=a(x-h2的性質(zhì)：a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上x>h時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨x的增大而減小；x=h時，y有最小值0向下x>h時，y隨x的增大而減小；x<h時，y隨x的增大而增大；x=h時，y有最大值0a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上x>h時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨x的增大而減??；x=h時，y有最小值k.向下x>h時，y隨x的增大而減小；x<h時，y隨x的增大而增大；x=h時，y有最大值k.1a的符號決定拋物線的開口方向：(3)|al相等，拋物線的開口大小、形狀相同.2對稱軸：平行于y軸(或重合)的直線記作.特別地，y軸記作直線x=0.4頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.1二次項系數(shù)a二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a作為二次項系數(shù)，顯然a≠0.(1)當a>0時，拋物線開口向上，a越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；(2)當a<0時，拋物線開口向下，a越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大.總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，|al的大小決定開口的大2一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.(1)在a>0的前提下，3常數(shù)項c1公式法：,∴頂點是,對稱軸是直線1y軸與拋物線y=ax2+bx+c得交點為(0,c).一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程①有兩個交點→△>0→拋物線與x軸相交；②有一個交點(頂點在x軸上)?△=0→拋物線與x軸相切；③沒有交點?△<0?拋物線與x軸相離.4平行于x軸的直線與拋物線的交點可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為②方程組只有一組解時?l與G只有一個交點；③方程組無解時?l與G沒有交點.1關(guān)于x軸對稱2關(guān)于y軸對稱3關(guān)于原點對稱4關(guān)于頂點對稱遠不變.求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線(或表達式已知的拋物線)的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式.1.平移步驟：平移k個單位平移k個單位2平移規(guī)律十六、根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達式的幾種基本思路。(2)已知拋物線y=a(x-1)2+4,經(jīng)過點A(2,3),求拋物線的解析式?！瘛?1)已知拋物線y=4(x+a)2-2a的頂點為(3,1),求拋物線的解析式。3.交點式。(1)已知拋物線與x軸兩個交點分別為(3,0),(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。(2)已知拋物線線與x軸兩個交點(4,0),(1,0)求拋物線x-b)的解析式。4.定點式。(1)在直角坐標系中，不論a取何值，拋物線經(jīng)過x軸上一定點Q,(2)拋物線y=x2+(2m-1)x-2m與x軸的一定交點經(jīng)過直線y=mx+m+4,求拋物線的解析式。(3)拋物線y=ax2+ax-2過直線y=mx-2m+2上的定點A,求拋物線的解析式。5.平移式。(1)把拋物線y=-2x2向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到拋物線y=a(x-h)2+k,求此拋物線解析式。6.距離式。(1)拋物線y=ax2+4ax+1(a>0)與x軸的兩個交點間的距離為2,求拋物線的解析式。(2)已知拋物線y=mx2+3mx-4m(m>0)與x軸交于A、B兩點，與軸交于C點，且AB=BC,求此拋物線的解析式。7.對稱軸式。(1)拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與x軸有兩個交點，這兩點間的距離等于拋物線頂點到y(tǒng)軸距離的2倍，求拋物線的解析式。(2)已知拋物線y=-x2+ax+4,交x軸于A,B(點A在點B左邊)兩點，交y軸于點C,且求此拋物線的解析式。8.對稱式。(1)平行四邊形ABCD對角線AC在x軸上，且A(-10,0),AC=16,D(2,6)。AD交y軸于E,將三角形ABC沿x軸折疊，點B到B?的位置，求經(jīng)過A,B,E三點的拋物線的解析式。(2)求與拋物線y=x2+4x+3關(guān)于y軸(或x軸)對稱的拋物線的解析式。9.切點式。(1)已知直線y=ax-a2(a≠0)與拋物線y=mx2有唯一公共點，求拋物線的解析式。(2)直線y=x+a與拋物線y=ax2+k的唯一公共點A(2,1),求拋物線的解析式。元二次方程(m+1)x2+2(m+1)x+2=0有兩個相等的實數(shù)根，求拋物線y=-x2+(m+1)x+3解析式。(2)已知拋物線y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的頂點在x軸上，求拋物線的解析式。圖形的旋轉(zhuǎn)知識點一旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點0轉(zhuǎn)動一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點0叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。知識點二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的特征：(1)對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(2)對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；(3)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點：(1)圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。(2)對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。(3)圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識點三利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：(1)任意一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；(2)對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度(作旋轉(zhuǎn)角)③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應點；④接：即連接到所連接的各點。23.2中心對稱知識點一中心對稱的定義中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。注意以下幾點：中心對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系；只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°兩個圖形能夠完全重合。知識點二作一個圖形關(guān)于某點對稱的圖形要作出一個圖形關(guān)于某一點的成中心對稱的圖形，關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點關(guān)于對稱中心的對稱點。最后將對稱點按照原圖形的形狀連接起來，即可得出成中心對稱圖形。知識點三中心對稱的性質(zhì)有以下幾點：(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形上的對應點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且都被對稱中心平分；(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；(3)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行(或共線)且相等。知識點四中心對稱圖形的定義把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。知識點五關(guān)于原點對稱的點的坐標關(guān)于在平面直角坐標系中，如果兩個點關(guān)于原點對稱，它們的坐標符號相反，即點p(x,y)關(guān)于原點對稱點為(-x,-y)。圓知識點一圓的定義圓的定義：第一種：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓。固定的端點0叫作圓心，線段0A叫作半徑。第二種：圓心為0,半徑為r的圓可以看成是所有到定點0的距離等于定長r的點的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進行描述的，第二種是運用集合的觀點下的定義，但是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。知識點二圓的相關(guān)概念(1)弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。24.1.2垂直于弦的直徑知識點一圓的對稱性知識點二垂徑定理垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點M,24.1.3弧、弦、圓心角知識點弦、弧、圓心角的關(guān)系(2)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應24.1.4圓周角知識點一圓周角定理(1)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角(2)圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對弦是直徑。(3)圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻然　笔遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡?，否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。知識點二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。24.2點、直線、圓和圓的位置關(guān)系24.2.1點和圓的位置關(guān)系知識點一點與圓的位置關(guān)系點P在圓外一>d>r;點p在僵七d=r;點車圓知識點二過已知點作圓(1)經(jīng)過一個點的圓(如點A)以點A外的任意一點(如點0)為圓心，以0A為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個。(2)經(jīng)過兩點的圓(如點A、B)以線段AB的垂直平分線上的任意一點(如點0)為圓心，以0A(或OB)為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個。第14頁共19頁①經(jīng)過在同一條直線上的三個點不能作圓AC或BC、AC)并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點0,以點0為圓心，以0A③C知識點三三角形的外接圓與外心(2)外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。知識點四反證法①假設命題的結(jié)論不成立；24.2.2直線和圓的位置關(guān)系知識點一直線與圓的位置關(guān)系若設⊙0的半徑是r,直線1與圓心0的距離為d,則有：=r;直線1和0相離d>r。知識點二切線的判定和性質(zhì)(1)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。(2)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。(3)切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。知識點三切線長定理(1)切線長的定義：經(jīng)過園外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切(2)切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.(3)注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另一個是切點。知識點四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心(1)三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。(2)三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。(3)注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的內(nèi)心已知時，過三角形的頂點和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。24.2.3圓和圓的位置關(guān)系知識點一圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓的位置關(guān)系有五種：①如果兩個圓沒有公共點，就說這兩個圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種；②如果兩個圓只有一個公共點，就說這兩個圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種；③如果兩個圓有兩個公共點，就說這兩個圓相交。(2)圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來表示：若設兩圓圓心之間的距離為d,兩圓的半徑分別是rr?,且r<r?,則有兩圓相交r?-r?<d<r?+r?24.3正多邊形和圓知識點一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切：把圓分成n(n是大于2的自然數(shù))等份，順次連接各分知識點二正多邊形的性質(zhì)(4)正n邊形的每一個內(nèi)角等于,中心角和外角相等，等于24.4弧長和扇形面積知識點二扇形面積公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積S=πR2,所以圓心角為n°的扇形的面積為：比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：知識點三圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開，容易得到圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形。設圓錐的母線長為1,底面圓的半徑為r,那么這個扇形的半徑為1,扇形的弧長為2πr,因此圓錐的側(cè)面積：圓錐的全面積為：概率25.1隨機事件與概率25.1.1隨機事件知識點一必然事件、不可能事件、隨機事件在一定條件下，有些事件必