2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期培優(yōu)講義第01講 平面向量與三角形中的范圍與最值問題（教師版）

第第頁第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：定義法題型二：坐標(biāo)法題型三：基底法題型四：幾何意義法【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一．平面向量范圍與最值問題常用方法：1、定義法第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題第三步：得出結(jié)論2、坐標(biāo)法第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解3、基底法第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論4、幾何意義法第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式第三步：解得結(jié)果知識(shí)點(diǎn)二．極化恒等式1、平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0(2)(1)(2)兩式相加得：SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)三．在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；(4)根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值．要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大．【典例例題】題型一：定義法例1．如圖，在SKIPIF1<0中，M為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，G為線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0，過點(diǎn)G的直線分別交直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于P，Q兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為(

)．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．9【答案】B【解析】因?yàn)镸為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào).故選：B.例2．已知點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的SKIPIF1<0邊上靠近點(diǎn)SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào).故選：D.題型二：坐標(biāo)法例3．已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若點(diǎn)M是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，依題意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.例4．已知梯形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0.故選：A.題型三：基底法例5．已知SKIPIF1<0的外心為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為(

)A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．5【答案】A【解析】如圖所示，過點(diǎn)SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其垂足分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②，由①②解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0的最大值為2.故選：A．題型四：幾何意義法例6．向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為(

)A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故由向量加減的三角形法則可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0構(gòu)成三角形SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角等于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C.【過關(guān)測試】一、單選題1．如圖，在直角梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，且滿足SKIPIF1<0(m，n均為正數(shù))，則SKIPIF1<0的最小值為(

)

A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得·，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立.故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：D2．平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值的最大值是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0兩邊平方得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào).則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值的最大值SKIPIF1<0.故選：A.3．已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若平面區(qū)域D由所有滿足SKIPIF1<0的點(diǎn)P組成(其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，則SKIPIF1<0的取值范圍為(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：D4．如圖所示，邊長為2的正SKIPIF1<0，以BC的中點(diǎn)O為圓心，BC為直徑在點(diǎn)A的另一側(cè)作半圓弧SKIPIF1<0，點(diǎn)P在圓弧上運(yùn)動(dòng)，則SKIPIF1<0的取值范圍為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交半圓弧于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖，而SKIPIF1<0是正三角形，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)P在弧SKIPIF1<0上時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)P在弧SKIPIF1<0上時(shí)，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B5．如圖，正方形SKIPIF1<0的邊長為2，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0點(diǎn)在正方形內(nèi)部及邊上運(yùn)動(dòng)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖所示，以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0所在的直線分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值為SKIPIF1<0.故選：B.6．如圖所示，矩形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0是圓弧SKIPIF1<0(含端點(diǎn)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：D.7．已知平行四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，點(diǎn)P在線段CD上(不包含端點(diǎn))，則SKIPIF1<0的取值范圍是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，以SKIPIF1<0的垂線為SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0