2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第04講 空間向量基本定理 （學生版）

第第頁第04講空間向量基本定理【題型歸納目錄】題型一：基底的判斷題型二：基底的運用題型三：正交分解題型四：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題【知識點梳理】知識點01：空間向量基本定理及樣關概念的理解空間向量基本定理：如果空間中的三個向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共面，那么對空間中的任意一個向量SKIPIF1<0，存在唯一的有序實數(shù)組SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.其中，空間中不共面的三個向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0組成的集合{SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0}，常稱為空間向量的一組基底.此時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都稱為基向量；如果SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在基底{SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0}下的分解式.知識點2：空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用SKIPIF1<0表示.正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.知識點3：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題用已知向量表示某一向量的三個關鍵點：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立【典例例題】題型一：基底的判斷例1．已知SKIPIF1<0是空間的一組基底，則可以與向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構成基底的向量是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．已知SKIPIF1<0是空間的一個基底，則可以與向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構成空間另一個基底的向量是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型二：基底的運用例3．在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，Q是BC的中點，且M為PQ的中點，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例4．如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，E是MN的三等分點，且SKIPIF1<0，用向量SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0為(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型三：正交分解例5．設SKIPIF1<0為空間的一個標準正交基底，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于(

)A．7 B．SKIPIF1<0 C．23 D．11例6．已知SKIPIF1<0是空間的一個單位正交基底，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空間的另一個基底，向量SKIPIF1<0在基底SKIPIF1<0下的坐標為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型四：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題例7．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．例8．已知平行六面體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為1的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0．【過關測試】一、單選題1．在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，Q是SKIPIF1<0的中點，且M為PQ的中點，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02．在平行六面體SKIPIF1<0中，M為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列向量中與SKIPIF1<0相等的向量是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長度為(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．已知四面體O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點，且OG＝3GG1，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題5．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則SKIPIF1<0的值為____________．6．如圖，已知空間四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對角線AC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，則SKIPIF1<0＝________.(用向量SKIPIF1<0表示)7．在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的余弦值是________.三、解答題8．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為1的正方形，側棱SKIPIF1<0的長為2，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，設SKIPIF1<0.(1)將空間向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0用SKIPIF1<0