2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期培優(yōu)講義第04講 空間向量基本定理 （學(xué)生版）

第第頁(yè)第04講空間向量基本定理【題型歸納目錄】題型一：基底的判斷題型二：基底的運(yùn)用題型三：正交分解題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)01：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解空間向量基本定理：如果空間中的三個(gè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共面，那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量SKIPIF1<0，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.其中，空間中不共面的三個(gè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0組成的集合{SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0}，常稱為空間向量的一組基底.此時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都稱為基向量；如果SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在基底{SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0}下的分解式.知識(shí)點(diǎn)2：空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用SKIPIF1<0表示.正交分解：把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.知識(shí)點(diǎn)3：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)用已知向量來(lái)表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立【典例例題】題型一：基底的判斷例1．已知SKIPIF1<0是空間的一組基底，則可以與向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成基底的向量是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．已知SKIPIF1<0是空間的一個(gè)基底，則可以與向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型二：基底的運(yùn)用例3．在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，Q是BC的中點(diǎn)，且M為PQ的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例4．如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，E是MN的三等分點(diǎn)，且SKIPIF1<0，用向量SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0為(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型三：正交分解例5．設(shè)SKIPIF1<0為空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于(

)A．7 B．SKIPIF1<0 C．23 D．11例6．已知SKIPIF1<0是空間的一個(gè)單位正交基底，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空間的另一個(gè)基底，向量SKIPIF1<0在基底SKIPIF1<0下的坐標(biāo)為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題例7．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．例8．已知平行六面體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為1的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，Q是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且M為PQ的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02．在平行六面體SKIPIF1<0中，M為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列向量中與SKIPIF1<0相等的向量是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．已知四面體O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題5．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0的值為____________．6．如圖，已知空間四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則SKIPIF1<0＝________.(用向量SKIPIF1<0表示)7．在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的余弦值是________.三、解答題8．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱SKIPIF1<0的長(zhǎng)為2，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0.(1)將空間向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0用SKIPIF1<0