第03講 概率的綜合運用（五大題型）（學生版）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義

第第頁第03講概率的綜合運用【題型歸納目錄】題型一：古典概型題型二：概率的基本性質題型三：事件的獨立性題型四：隨機模擬題型五：概率的綜合運用【知識點梳理】知識點1、古典概型(1)古典概型考察這些試驗的共同特征，就是要看它們的樣本點及樣本空間有哪些共性．可以發(fā)現(xiàn)，它們具有如下共同特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型(classicalmodelsofprobability)，簡稱古典概型．(2)概率公式一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．知識點2、概率的基本性質一般地，概率有如下性質：性質1：對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)．性質6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．知識點3、事件A與B相互獨立對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．(1)事件A與B是相互獨立的，那么A與B，A與B，A與B也是否相互獨立.(2)相互獨立事件同時發(fā)生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).【典例例題】題型一：古典概型例1．某停車場臨時停車按時段收費，收費標準如下：每輛汽車一次停車不超過1小時時收費6元，超過1小時的部分每小時收費8元(不足1小時按1小時計算).現(xiàn)有甲、乙兩人在該地停車，兩人停車都不超過4小時.(1)若甲停車1小時以上且不超過2小時的概率為SKIPIF1<0，停車費多于14元的概率為SKIPIF1<0，求甲的停車費為6元的概率；(2)若甲、乙兩人每人停車的時長在每個時段的可能性相同，求甲、乙兩人停車費之和為28元的概率.例2．清明期間，某校為緬懷革命先烈，要求學生通過前往革命烈士紀念館或者線上網絡的方式參與“清明祭英烈”活動，學生只能選擇一種方式參加.已知該中學初一、初二、初三3個年級的學生人數(shù)之比為SKIPIF1<0，為了解學生參與“清明祭英烈”活動的方式，現(xiàn)采用分層抽樣的方法進行調查，得到如下數(shù)據.年級人數(shù)方式初一年級初二年級初三年級前往革命烈士紀念館2a-1810線上網絡ab2(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)從該校各年級被調查且選擇線上網絡方式參與“清明祭英烈”活動的學生人任選兩人，求這兩人是同一個年級的概率.例3．某區(qū)為了全面提升高中體育特長生的身體素質，開設“田徑隊”和“足球隊”專業(yè)訓練，在學年末體育素質達標測試時，從這兩支隊伍中各隨機抽取100人進行專項體能測試，得到如下頻率分布直方圖：(1)估計兩組測試的平均成績，(2)若測試成績在90分以上的為優(yōu)秀，從兩組測試成績優(yōu)秀的學生中按分層抽樣的方法選出7人參加學校代表隊，再從這SKIPIF1<0人中選出2人做正，副隊長，求正、副隊長都來自“田徑隊”的概率．例4．隨著新課程標準的實施，新高考改革的推進，越來越多的普通高中學校認識到了生涯規(guī)劃教育對學生發(fā)展的重要性，生涯規(guī)劃知識大賽可以鼓勵學生樹立正確的學習觀、生活觀.某校高一年級1000名學生參加生涯規(guī)劃知識大賽初賽，所有學生的成績均在區(qū)間SKIPIF1<0內，學校將初賽成績分成5組：SKIPIF1<0加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試估計這1000名學生初賽成績的平均數(shù)SKIPIF1<0(同一組的數(shù)據以該組區(qū)間的中間值作代表)；(2)為了幫學生制定合理的生涯規(guī)劃學習計劃，學校從成績不足70分的兩組學生中用分層抽樣的方法隨機抽取6人，然后再從抽取的6人中任意選取2人進行個別輔導，求選取的2人中恰有1人成績在SKIPIF1<0內的概率.例5．甲、乙兩人進行摸球游戲，游戲規(guī)則是：在一個不透明的盒子中裝有質地、大小完全相同且編號分別為1，2，3，4，5的5個球，甲先隨機摸出一個球，記下編號，設編號為a，放回后乙再隨機摸出一個球，也記下編號，設編號為b，記錄摸球結果(a，b)，如果SKIPIF1<0，算甲贏，否則算乙贏．(1)求SKIPIF1<0的概率；(2)這種游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由．題型二：概率的基本性質例6．將一顆質地均勻的骰子(各面上分別標有點數(shù)1，2，3，4，5，6)先后拋擲3次，至少出現(xiàn)1次6點向上的概率是(

)．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例7．拋擲一個質地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例8．某城市2017年的空氣質量狀況如下表所示：污染指數(shù)SKIPIF1<03060100110130140概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中污染指數(shù)SKIPIF1<0時，空氣質量為優(yōu)；SKIPIF1<0時，空氣質量為良；SKIPIF1<0時，空氣質量為輕微污染，該城市2017年空氣質量達到良或優(yōu)的概率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例9．拋擲一枚質地均勻的骰子，記事件SKIPIF1<0為“向上的點數(shù)是偶數(shù)”，事件SKIPIF1<0為“向上的點數(shù)不超過3”，則概率SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型三：事件的獨立性例10．兩個黑幫幫主甲和乙決定以如下方式決斗：甲帶了一名手下A，而乙?guī)Я藘擅窒耂KIPIF1<0和SKIPIF1<0，規(guī)定任意一名手下向敵方成員開槍時，會隨機命中敵方的一個尚未倒下的人，且命中每個人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就會倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中兩次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，決斗立刻結束，未倒下的一人勝出.決斗開始時，A先向敵方成員開槍，之后若B未倒下，則B向敵方成員開槍，之后按C，A，B，C，A，B，……的順序依次進行，則甲最終獲勝的概率是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例11．從高一(男、女生人數(shù)相同,人數(shù)很多)抽三名學生參加數(shù)學競賽，記事件A為“三名學生都是女生”，事件B為“三名學生都是男生”，事件C為“三名學生至少有一名是男生”，事件D為“三名學生不都是女生”，則以下錯誤的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．事件A與事件B互斥 D．事件A與事件C對立例12．某中學的“信息”“足球”“攝影”三個社團考核挑選新社員，已知高一某新生對這三個社團都很感興趣，決定三個考核都參加，假設他通過“信息”“足球”“攝影”三個社團考核的概率依次為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且他是否通過每個考核相互獨立，若三個社團考核他都通過的概率為SKIPIF1<0，至少通過一個社團考核的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例13．有6個大小相同的小球，其中1個黑色，2個藍色，3個紅色．采用放回方式從中隨機取2次球，每次取1個球，甲表示事件“第一次取紅球”，乙表示事件“第二次取藍球”，丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”，丁表示事件“與兩次取出相同顏色的球”，則(

)A．甲與乙相互獨立 B．甲與丙相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．乙與丁相互獨立例14．籃球隊的5名隊員進行傳球訓練，每位隊員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型四：隨機模擬例15．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題,現(xiàn)有類似的題：糧倉開倉收糧，有人送來532石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得54粒內夾谷6粒，則這批米內夾谷約為A．59石 B．60石 C．61石 D．62石例16．假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數(shù)為一組，代表兩次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數(shù)：9328124585696834312573930275564887301135據此估計，該運動員兩次擲飛鏢恰有一次正中靶心的概率為______．例17．拋擲一枚質地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第998次拋擲恰好出現(xiàn)“正面向上”的概率為_____________．例18．利用隨機模擬方法計算y=x2與y=4圍成的面積時,利用計算器產生兩組0~1之間的均勻隨機數(shù)a1=RAND,b1=RAND,然后進行平移與伸縮變換,a=4a1-2,b=4b1,試驗進行100次,前98次中落在所求面積區(qū)域內的樣本點數(shù)為65,已知最后兩次試驗的隨機數(shù)a1=0.3,b1=0.8及a1=0.4,b1=0.3,那么本次模擬得出的面積的近似值為_____.題型五：概率的綜合運用例19．進行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會?經濟?生態(tài)等多方面的效益，是關乎生態(tài)文明建設全局的大事.為了普及垃圾分類知識,某學校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為SKIPIF1<0，乙同學答對每題的概率都為SKIPIF1<0，且在考試中每人各題答題結果互不影響.已知每題甲、乙兩位同學中恰有一人答對的概率為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值及每題甲、乙兩位同學同時答對的概率；(2)試求兩人答對的題數(shù)之和為3的概率.例20．某中學為了解高一年級數(shù)學文化知識競賽的得分情況，從參賽的1000名學生中隨機抽取了50名學生的成績進行分析．經統(tǒng)計，這50名學生的成績全部介于55分和95分之間，將數(shù)據按照如下方式分成八組：第一組SKIPIF1<0，第二組SKIPIF1<0，…，第八組SKIPIF1<0，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．已知第一組和第八組人數(shù)相同，第七組的人數(shù)為3人．(1)求第六組的頻率；若比賽成績由高到低的前15%為優(yōu)秀等級，試估計該校參賽的高一年級1000名學生的成績中優(yōu)秀等級的最低分數(shù)(精確到0.1)；(2)若從樣本中成績屬于第六組和第八組的所有學生中隨機抽取兩名學生，記他們的成績分別為x，y，從下面兩個條件中選一個，求事件E的概率SKIPIF1<0．①事件E：SKIPIF1<0；②事件E：SKIPIF1<0．注：如果①②都做，只按第①個計分．例21．11分制乒乓球比賽，每贏1球得1分，當某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．已知甲乙兩位同學進行11分制乒乓球比賽，雙方10：10平后，甲先發(fā)球?假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．(1)求事件“兩人又打了2個球比賽結束”的概率：(2)求事件“兩人又打了4個球比賽結束且甲獲勝”的概率．例22．我市某校為了解高一新生對物理科與歷史科方向的選擇意向，對1000名高一新生發(fā)放意向選擇調查表，統(tǒng)計知，有600名學生選擇物理科，400名學生選擇歷史科.分別從選擇物理科和歷史科的學生中隨機各抽取20名學生的數(shù)學成績得如下累計表(下表)：分數(shù)段物理人數(shù)歷史人數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)利用表中數(shù)據，試分析數(shù)學成績對學生選擇物理科或歷史科的影響，并繪制選擇物理科的學生的數(shù)學成績的頻率分布直方圖(如圖)；(2)從數(shù)學成績不低于70分的選擇物理科和歷史科的學生中各取一名學生的數(shù)學成績，求選取物理科學生的數(shù)學成績至少高于選取歷史科學生的數(shù)學成績一個分數(shù)段的概率.【過關測試】一、單選題1．已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0無實數(shù)根或SKIPIF1<0的概率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．某中學舉行疾病防控知識競賽，其中某道題甲隊答對該題的概率為SKIPIF1<0，乙隊和丙隊答對該題的概率都是SKIPIF1<0.若各隊答題的結果相互獨立且都進行了答題.則甲、乙、丙三支競賽隊伍中恰有一支隊伍答對該題的概率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在一次考試中，小明同學將比較難的第8題、第12題、第16題留到最后做，做每道題的結果相互獨立．假設小明同學做對第8、12、16題的概率從小到大依次為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，做這三道題的次序隨機，小明連對兩題的概率為p，則(

)A．p與先做哪道題次序有關 B．第8題定為次序2，p最大C．第12題定為次序2，p最大 D．第16題定為次序2，p最大4．連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子兩次，向上的點數(shù)分別記為a，b，SKIPIF1<0，則(

)A．事件“SKIPIF1<0是偶數(shù)”與“a為奇數(shù)，b為偶數(shù)”互為對立事件B．事件“SKIPIF1<0”發(fā)生的概率為SKIPIF1<0C．事件“SKIPIF1<0”與“SKIPIF1<0”互為互斥事件D．事件“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”的概率為SKIPIF1<05．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是(

)A．至少有1個白球，都是白球 B．至少有1個白球，至少有1個紅球C．恰有1個白球，恰有2個白球 D．至少有1個白球，都是紅球6．下列說法正確的是(

)A．當A，B不互斥時，可由公式SKIPIF1<0計算SKIPIF1<0的概率B．A，B同時發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率小C．若SKIPIF1<0，則事件A與B是對立事件D．事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率大7．下列說法正確的是(

)A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個事件，則“SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互斥”是“SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相互對立”的必要不充分條件B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個事件，則SKIPIF1<0C．若事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩互斥，則SKIPIF1<0D．若事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相互對立8．甲、乙兩人進行乒乓球比賽，采用七局四勝制，先贏四局者獲勝，沒有平局、甲每局贏的概率為SKIPIF1<0，已知前兩局甲輸了，則甲最后獲勝的概率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題9．已知事件A，B，且SKIPIF1<0，則(

)A．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0B．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0C．如果A與B相互獨立，那么SKIPIF1<0D．如果A與B相互獨立，那么SKIPIF1<010．某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結論中，正確的是()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<011．下列命題中，正確的是(

)A．若事件A，B互斥，則SKIPIF1<0B．若事件A，B相互獨立，則SKIPIF1<0C．若事件A，B，C兩兩互斥，則SKIPIF1<0D．若事件A，B，C兩兩獨立，則SKIPIF1<012．甲袋中有2個黑球，2個白球，乙袋中有2個黑球，1個白球，這些小球除顏色外完全相同.從甲、乙兩袋中各任取1個球，則下列結論正確的是(

)A．2個球都是黑球的概率為SKIPIF1<0 B．2個球都是白球的概率為SKIPIF1<0C．1個黑球1個白球的概率為SKIPIF1<0 D．2個球中最多有1個黑球的概率為SKIPIF1<0三、填空題13．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0______；(2)如果A，B互斥，那么SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0______.14．隨著阿根廷隊的奪冠，2022年卡塔爾足球世界杯落下帷幕.根據足球比賽規(guī)則，兩支球隊先進行90分鐘常規(guī)賽.若比分相同，則進行30分鐘加時賽；如果在加時賽比分依舊相同，則進入5球點球大賽.若甲、乙兩隊在常規(guī)賽與加時賽中得分均相同，則甲、乙兩隊輪流進行5輪點球射門，進球得1分，不進球不得分.假設甲隊每次進球的概率均為0.8，乙隊每次進球的概率均為0.5，且在前兩輪點球中，乙隊領先一球，已知每輪點球大賽結果相互獨立，則最終甲隊獲勝的概率為______.15．甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為SKIPIF1<0；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為SKIPIF1<0．假定每局之間相互獨立且無平局，第二局由上一局負者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲勝第一局，乙勝第二局的概率為___________．16．課外活動期間，幾名籃球愛好者在體育老師指導下進行定點投籃訓練，約定每人最多投籃10次，若某同學第n次投籃進球為首次連續(xù)進球，則該同學得SKIPIF1<0分且停止投籃.例如：某同學前兩次均投籃進球，則得10分，且停止投籃.已知同學甲每次投籃進球的概率均為SKIPIF1<0，則甲在第2次投籃恰好進球，且得5分時停止投籃的概率為___________.四、解答題17．甲、乙兩同學組成“星隊”參加“慶祝中國共產黨成立SKIPIF1<0周年”知識競賽．現(xiàn)有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩類問題，競賽規(guī)則如下：①競賽開始時，甲、乙兩同學各自先從SKIPIF1<0類問題中隨機抽取一個問題進行回答，答錯的同學本輪競賽結束；答對的同學再從SKIPIF1<0類問題中隨機抽取一個問題進行回答，無論答對與否，本輪競賽結束．②若在本輪競賽中甲、乙兩同學合計答對問題的個數(shù)不少于SKIPIF1<0個，則“星隊”可進入下一輪．已知甲同學能答對SKIPIF1<0類中問題的概率為SKIPIF1<0，能答對SKIPIF1<0類中問題的概率為SKIPIF1<0．乙同學能答對SKIPIF1<0類中問題的概率為SKIPIF1<0，答對SKIPIF1<0類中問題的概率為SKIPIF1<0．(1)設“甲答對SKIPIF1<0個，SKIPIF1<0個，SKIPIF1<0個問題”分別記為事件SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求事件SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的概率；(2)求“星隊”能進入下一輪的概率．18．本學期初，某校為檢驗高三學生網絡學習的效果，對全校高三學生進行期初數(shù)學測試(滿分100)，并從中隨機抽取了100名學生的成績，以此為樣本，分成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．

(1)求圖中SKIPIF1<0的值；(2)估計該校高三學生期初數(shù)學成績的平均數(shù)和85%分位數(shù)；(3)為進一步了解學困生的學習情況，從數(shù)學成績低于70分的學生中，分層抽樣6人，再從6人中任取2人，求此2人分