第07講 空間向量的應(yīng)用（七大題型）（教師版）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第第頁(yè)第07講空間向量的應(yīng)用【題型歸納目錄】題型一：求平面的法向量題型二：利用向量研究平行問題題型三：利用向量研究垂直問題題型四：異面直線所成的角題型五：線面角題型六：二面角題型七：距離問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量：點(diǎn)A是直線l上的一個(gè)點(diǎn)，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點(diǎn)O，則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達(dá)式.知識(shí)點(diǎn)詮釋：(1)在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．(2)在解具體立體幾何題時(shí)，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運(yùn)算或向量的坐標(biāo)運(yùn)算．2、平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量，那么過點(diǎn)A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識(shí)點(diǎn)詮釋：一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量．3、平面的法向量確定通常有兩種方法：(1)幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；(2)幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：(i)設(shè)出平面的法向量為；(ii)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)，；(iii)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；(iv)解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量．由于一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè)，故可在代入方程組的解中取一個(gè)最簡(jiǎn)單的作為平面的法向量．知識(shí)點(diǎn)二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．(1)線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．(2)線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個(gè)平面平行，可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可．(3)面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識(shí)點(diǎn)三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．(1)線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．(2)線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．(3)面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．知識(shí)點(diǎn)四、用向量方法求空間角(1)求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則．知識(shí)點(diǎn)詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．(2)求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．(3)求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個(gè)面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角．①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的大?。诋?dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的補(bǔ)角的大小．知識(shí)點(diǎn)五、用向量方法求空間距離1、求點(diǎn)面距的一般步驟：①求出該平面的一個(gè)法向量；②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．即：點(diǎn)A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2、線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3、點(diǎn)線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點(diǎn)P到直線l的距離.【典例例題】題型一：求平面的法向量例1．如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求平面的一個(gè)法向量.

【解析】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為3，，所以，，，則，，設(shè)是平面的法向量，則，，所以，取，則，，故，于是是平面的一個(gè)法向量(答案不唯一)．例2．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：(1)平面的一個(gè)法向量；(2)平面的一個(gè)法向量.【解析】(1)由題意，可得,連接AC，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所?又因?yàn)槠矫妫矫?，所以，且，則AC⊥平面，∴為平面的一個(gè)法向量.(答案不唯一).(2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，得∴即為平面的一個(gè)法向量.(答案不唯一).例3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面PCD的一個(gè)法向量.【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則P(0，0，1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)即為直線PC的一個(gè)方向向量.設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為＝(x，y，z).因?yàn)镈(0，，0)，所以＝(0，，－1).則,即令y＝1，則z＝，，則所以平面PCD的一個(gè)法向量為.題型二：利用向量研究平行問題例4．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點(diǎn).分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.

(1)求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；(2)求證：EF∥平面ACD1.【解析】(1)由題意，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點(diǎn)，∴，(2)，，，，∴，∴AC∥EF，∵EF?平面ACD1，AC?平面ACD1，∴EF∥平面ACD1．例5．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).若，證明：直線平面.【解析】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，若，則，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面平面的其中一個(gè)法向量為，所以，即，又因?yàn)槠矫妫云矫?例6．如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.【解析】因?yàn)?，是棱的中點(diǎn)，所以，所以為正三角形.因?yàn)闉榈妊菪?，，所?取的中點(diǎn)，連接，則，所以.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，，所以，，又不重合，不重合，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面?．已知棱長(zhǎng)為1的正方體在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，分別為棱的中點(diǎn)，求證：.【解析】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，分別為棱的中點(diǎn)，所以有，，，，所以，，則有，所以.題型三：利用向量研究垂直問題例8．如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn).(1)求證：.(2)求證：平面.【解析】(1)因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又四邊形為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，，得，，，，，，.所以，，所以，所以，所以(2)由(1)知，，，.設(shè)是平面的法向量，則，，所以，得，取，得，，則.因?yàn)?，所以，即與共線.所以平面.例9．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.【解析】由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，故＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，，設(shè)平面AA1C1C的法向量為＝(x，y，z)，則，即令x＝1，得y＝1，故＝(1，1，0)．設(shè)平面AEC1的法向量為＝(a，b，c)，則，即,令c＝4，得a＝1，b＝－1.故＝(1，－1，4)．因?yàn)椋?×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.例10．如圖所示，△ABC是一個(gè)正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)．求證：平面DEA⊥平面ECA.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz，不妨設(shè)CA＝2，則CE＝2，BD＝1，則，所以，設(shè)平面ECA的一個(gè)法向量是，則，取，則，即，設(shè)平面DEA的一個(gè)法向量是，則，取，則，即，因?yàn)?，所以，所以平面DEA⊥平面ECA.例11．如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.【解析】(1)由題意知AD⊥BC，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過O點(diǎn)且平行于BC的直線為x軸，OD，OP所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.則，可得，∵∴，即AP⊥BC.(2)由(1)可得，∵M(jìn)是AP上一點(diǎn)，且AM＝3，∴，可得，設(shè)平面BMC的法向量為，則，令b＝1，則，即，顯然，故∥，∴AM⊥平面BMC.例12．如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD.【解析】如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接AO，因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以AO⊥BC，因?yàn)樵谡庵鵄BC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，平面ABC，則，，平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1，取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則，可得，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD，BA1∩BD＝B，平面，所以AB1⊥平面A1BD.例13．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，證明：．

【解析】證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1，分別是的中點(diǎn)，所以，所以，所以，由，所以，即.題型四：異面直線所成的角例14．已知正四棱柱中，，，點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則直線和所成角的余弦值為(

)

A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，則，所以異面直線和所成角的余弦值為.故選：D.例15．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，則，，所以，，所以，所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.例16．如圖所示，已知正方體，，分別是正方形和的中心，則和所成的角是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，所以，，設(shè)和所成的角為，則，因?yàn)?，所?故選：B例17．在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是(

)A．B．C．D．【答案】C【解析】過B作Bz//AS.以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，，.所以,.設(shè)直線與夾角為，則.故選：C.例18．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．(1)求證：AB⊥A1C；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，若存在，求出AF長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】(1)證明：因?yàn)锳A1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形，所以AC＝4，又AB＝3，BC＝5，所以BC2＝AB2+AC2，所以AB⊥AC，因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，AB?平面ABC，所以AB⊥平面AA1C1C，因?yàn)锳1C?面AA1C1C，所以AB⊥A1C．(2)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB，AA1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，C1(4，0，4)，B(0，3，0)，設(shè)F(0，0，a)，則(4，0，4)，(0，﹣3，a)，0＜a≤4，因?yàn)楫惷嬷本€AC1與BF所成角為60°，所以|cos，|，解得a＝3，所以F(0，0，3)，則AF＝3，所以在棱AA1上存在一點(diǎn)F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，此時(shí)AF＝3．例19．如圖：在三棱錐中，底面，，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面；(2)已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).【解析】(1)證明：取中點(diǎn)，連接?，∵為中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.∵為中點(diǎn)，∴，又?分別為?的中點(diǎn)，∴，則.∵平面，平面，∴平面.又，?平面.∴平面平面，∵平面∴平面；(3)因?yàn)榈酌妫矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，依題意，設(shè)，則，進(jìn)而可得，.由已知，得，整理得，解得或，所以線段的長(zhǎng)為或.題型五：線面角例20．如圖，在四棱錐中，底面，，底面為直角梯形，，，，點(diǎn)在棱上，且．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【解析】(1)因?yàn)榈酌?，底面，所以，因?yàn)?，面，所以面，因?yàn)槊?，所以，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪危?，，，所以在中，?在中，，，連接，，設(shè)，則，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?(2)因?yàn)榈酌?，底面，所以，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪?，所以，所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以,所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，取，則，設(shè)直線與平面所成角大小為，因?yàn)椋?，所以直線與平面所成角的正弦值為.例21．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，交于點(diǎn)E.(1)證明：直線平面；(2)求AD與平面所成角的正弦值.【解析】(1)證明：如圖，連接，，長(zhǎng)方體中，且，四邊形為平行四邊形，則有，又平面，平面，平面，同理可證，平面，又，平面，平面平面，又平面，直線平面；(2)以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸，建系如圖：得，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，得，可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)AD與平面所成角大小為，則，與平面所成角的正弦值為.例22．如圖所示，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，.(1)求證：平面；(2)若E為PC的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.【解析】(1)作，垂足為，易證，四邊形為正方形.所以，.又，因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫妫矫?，所?

又，平面，平面，所以平面.

(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.

則，，.設(shè)平面的法向量為，由，得，令，可得平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)與平面所成角為，則.例23．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．(1)求證：平面MBD；(2)若，求直線BM與平面AMD所成角的正弦值．【解析】(1)連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，由四邊形ABCD為矩形，可知O為AC中點(diǎn)，M為PC中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面MBD.(2)以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．例24．四棱錐中，底面，四邊形是正方形，.(1)求證：平面平面；(2)設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，則、、、，設(shè)平面的法向量為，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以，所以，所以平面平面.(2)因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.例25．在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，E是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)點(diǎn)P在線段上(異于點(diǎn)，)，與平面所成角為，求的值.【解析】(1)因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又因?yàn)?，，平面，，所以平?(2)取的中點(diǎn)O，連接，四邊形為菱形，且，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，所以，又因?yàn)?，與相交，所以平面.取中點(diǎn)D，連結(jié)，以O(shè)為原點(diǎn)，，，為空間基底建立直角坐標(biāo)系.則，，，，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，，所以.設(shè)，可得點(diǎn)，.由題意解得或(舍)，即.題型六：二面角例26．如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；(2)求銳二面角的余弦值.【解析】(1)因?yàn)橹比庵云矫?，因?yàn)槠矫妫?；因?yàn)槭堑冗吶切?，是棱的中點(diǎn)，所以；因?yàn)槠矫?，且，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?2)分別取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭堑冗吶切?，是中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹比庵云矫?，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以即兩兩垂直，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，取，則，平面的一個(gè)法向量為；則，所以銳二面角的余弦值為例27．如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點(diǎn)E在棱PB上．

(1)證明：平面平面PBC；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．【解析】(1)因?yàn)榈酌?，平面，所以．因?yàn)椋?，所以．所以，所以．又因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又平面EAC，所以平面平面PBC．(2)解法一：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，即，，，所以．所以，．設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為，則．所以，取，則，．所以平面ACE的一個(gè)法向量為．又因?yàn)槠矫鍼AC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為．設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，則．所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為．解法二：取AB的中點(diǎn)G，連接CG，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，即，，，所以．所以，．設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為，則．所以，取，則，．所以，平面ACE的一個(gè)法向量為．又因?yàn)槠矫鍼AC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為．設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，則．所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為例28．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，且直線PB與CD所成角的大小為．

(1)求BC的長(zhǎng)；(2)求二面角的余弦值．【解析】(1)由于平面ABCD，，所以兩兩垂直，故分別以,,所在直線為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，,0,，,0,，,1,，,0,．設(shè),,，則,0,，,,．直線與所成角大小為，，即，解得或(舍，,2,，則的長(zhǎng)為2；(2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,．,0,，,1,，,，令，則，，,1,．平面的一個(gè)法向量為，，令，則，，,，由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為．

例29．如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，．(1)證明：；(2)若，求二面角的正弦值．【解析】(1)連接，，則和都為正三角形．取中點(diǎn)，連，，則，，又因?yàn)槠矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫?，所?(2)由(1)知，，又因?yàn)?，所以．如圖所示，分別以，，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以取，則

同理，面的一個(gè)法向量為，

設(shè)二面角的大小為

，則，所以，平面與平面所成的二面角的正弦值為.例30．如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦.【解析】(1)證明：依題意，平面．如圖，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．依題意，可得，，，，，，．取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)椋?，，所以，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?2)因?yàn)?所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，?,所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，且平?所以平面,平面,所以，，，平面，所以平面，故為平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的法向量為，因?yàn)樗约?，令，得，，故．所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.例31．在四棱錐中，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值．【解析】(1)證明：取BD中點(diǎn)O，連接PO，AO．因?yàn)?，O為BD中點(diǎn)，所以．在、中，因?yàn)?，，，，所以，又在中，，所以．又，，所以，又，AO，平面ABCD，所以面ABCD，又面PBD，所以面面ABCD．(2)由于為等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點(diǎn)，所以，由(1)知面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OP為x軸，y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面PAD與平面PBC的法向量分別為，，由，和得和令，，則，，設(shè)法向量，所成的角為，則，所以平面PAD與平面PBC所成角的余弦值為．例32．如圖，在三棱錐中，底面．，D為中點(diǎn)，且．(1)求的長(zhǎng)；(2)求銳二面角的余弦值．【解析】(1)因?yàn)榈酌妫鐖D建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，所以，，所以，即，解得或(舍去)，所以，所以，所以，即的長(zhǎng)為.(2)因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，由(1)可知，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，即銳二面角的余弦值為.例33．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱BC的中點(diǎn)，AB=4，AA1=3.(1)證明：A1D⊥B1C1；(2)若E為棱AB上一點(diǎn)，且滿足A1E⊥DE，求二面角A-A1E-C的正弦值【解析】(1)由題易知，為正三角形，連接，由于為的中點(diǎn)，故.平面，平面，.又，，平面，平面.∵在正三棱柱中，，所以平面.又平面，；(2)因?yàn)槠矫妫矫妫裕?，，，平面，故平面．又平面，所以．因?yàn)闉檎切危瑸橹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則．如圖，取為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則平面的一個(gè)法向量為．又，，設(shè)平面的法向量為．則，即，令，則，，故．設(shè)二面角的平面角為，則，則二面角的正弦值為．例34．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，，，點(diǎn)F為PB中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．(1)求證：平面AFC；(2)若二面角的大小為60°，則CE為何值時(shí)，三棱錐的體積為．【解析】(1)連接，設(shè)，如下圖所示:四邊形ABCD是矩形，所以是的中點(diǎn)，F(xiàn)為PB中點(diǎn)，所以有，而平面，平面，由直線與平面平行的判定定理可知:平面AFC；(2)建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，，則有，而PA⊥平面，所以是平面的法向量，所以有，，設(shè)，，三棱錐的體積為，解得，所以當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為．例35．如圖，在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，M，N分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn).(1)證明：；(2)是否存在點(diǎn)D，使得平面與平面夾角的余弦值為？如果不存在，請(qǐng)說明理由；如果存在，求線段的長(zhǎng).【解析】(1)證明：由題意，，，兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，所以，因?yàn)?，所?(2)由題意，平面，所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，整理得，，解得，所以存在點(diǎn)，滿足條件.例36．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，．(1)證明：平面PAD；(2)在棱PC上是否存在點(diǎn)F，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】(1)在PD上找中點(diǎn)G，連接AG，EG，如圖：∵G和E分別為PD和PC的中點(diǎn)，∴，且，又∵底面ABCD是直角梯形，，，∴且．即四邊形ABEG為平行四邊形，∴，∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD；(2)因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，由F為棱PC上一點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)平面FAD的法向量為，由可得，解得：，令，則，則，取平面ADC的法向量為，則二面角的平面角滿足：,解得：，解得：或(舍去)，故存在滿足條件的點(diǎn)F，此時(shí)．題型七：距離問題例37．如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，，底面，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)．

(1)直線與平面所成角的正弦值；(2)點(diǎn)到平面的距離.【解析】(1)因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，又面，故以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)?，，，且為中點(diǎn)，則，，，，，，故，，，設(shè)面的法向量為，則，令，則，，故，所以，故直線與平面所成角的正弦值為；(2)由(1)可知，面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離，故點(diǎn)到平面的距離為．例38．如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)依次為的中點(diǎn)．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面AEF的距離．【解析】(1)在直三棱柱中，，以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以異面直線所成角的余弦值為．(2)設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，而，則，令，得，又，于是．所以點(diǎn)到平面AEF的距離為．例39．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)P在棱上，且．(1)求直線與平面所成的角的正弦值大??；(2)求點(diǎn)P到平面的距離．【解析】(1)連接，由正方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)易知面，為垂足，所以即為所求的線面角，∵，∴，由勾股定理知，，∴．(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知，，，，，所以，，，設(shè)面的法向量為，故有，令，則，故，故點(diǎn)P到平面的距離．例40．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到平面的距離為；(2)求到平面的距離．【解析】(1)以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，所以平面所的法向量為，又所以點(diǎn)到平面的距離.(2)由(1)可得平面的法向量為，∵，∴，，，∴平面，

所以到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，由，所以到平面的距離為.例41．如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．【解析】(1)圖①菱形，，由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以，在圖②中，，即，又平面所以平面，即平面，又平面，所以，如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，故，則異面直線與所成的角的余弦值為；(2)由(1)得，設(shè)是異面直線與公垂線的方向向量，所以，令，則所以異面直線與之間的距離為.例42．已知點(diǎn)，若點(diǎn)和點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為___________.【答案】/【解析】由題意知，點(diǎn)，，，可得，則，所以，可得，所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.例43．已知點(diǎn)，若，兩點(diǎn)在直線l上，則點(diǎn)A到直線l的距離為______.【答案】3【解析】依題意，而，故與方向相同的單位向量為，則所求距離.故答案為:3例44．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中點(diǎn)，M是棱CC1上的點(diǎn)，且CC1=3CM，則直線BM與B1N之間的距離為____.【答案】【解析】正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，1，0)，B1(1，1，1)，，，∴=(0，0，1)，，.設(shè)直線BM與B1N的公垂線方向上的向量，由，，得，令x=2，則z=6，y=-7，∴，設(shè)直線BM與B1N之間的距離為d，則d===.故答案為：.例45．正方體中，棱長(zhǎng)為，則直線與的距離為__________．【答案】【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)和的公共法向量，則，取，得，直線與的距離為：．故直線與的距離為．故答案為：．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．已知直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則＝()A．﹣3 B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，解得，所?故選：B2.正方體的棱長(zhǎng)為1，則平面與平面的距離為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由正方體的性質(zhì)：∥,∥，，，且平面，平面，平面，平面，所以平面平面，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面的距離．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由正方體的棱長(zhǎng)為1，所以，，，，，所以，，，．連接，由，，所以，且，可知平面，得平面的一個(gè)法向量為，則兩平面間的距離：．故選：D.3．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為a，設(shè)，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，正方體中，棱長(zhǎng)為，且，可得，可得，且，則，因?yàn)?，所?故選：D.4．已知平面α的一個(gè)法向量，點(diǎn)在α內(nèi)，則到α的距離為(

)A．10 B．3C． D．【答案】D【解析】由題意，得，又知平面的一個(gè)法向量，則到平面的距離，故選：D.5．下列說法正確的是(

)A．若向量、共線，則向量、所在的直線平行；B．若向量、所在的直線是異面直線，則向量、一定不共線；C．若直線l的方向向量為，平面的法向量，則l；D．若、、是空間三個(gè)向量，則對(duì)空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.【答案】B【解析】對(duì)選項(xiàng)A，若向量、共線，則向量、所在的直線平行或重合，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)橄蛄俊⑺诘闹本€是異面直線，所以向量、一定不共線，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)闊o法判斷直線是否在平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，只有、、三個(gè)向量不共面時(shí)，才有，故D錯(cuò)誤.故選：B6．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，=λ，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則異面直線A1F與BE所成角θ的余弦值為(

)

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，則A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).所以，又所以，整理得到，解得(舍去),所以，,所以，故cosθ=，故選：B.7．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，為線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，且，則，，所以，當(dāng)，夾角余弦值最小為，當(dāng)，夾角余弦值最大為，所以直線與所成角的余弦值的取值范圍是.故選：C8．如圖，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則(

)A． B． C． D．1【答案】C【解析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得,，則,所以，設(shè)平面EFC的法向量為，則，解得，令，則，所以平面EFC的一個(gè)法向量為.因?yàn)槠矫鍱FC，則，設(shè)，則，所以，解得，所以，即.故選：C二、多選題9．下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是(

)A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．直線的方向向量，平面的法向量是，則C．兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AC【解析】對(duì)于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，則，所以，即，故正確；對(duì)于，兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，則，所以，故正確；對(duì)于，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故錯(cuò)誤；對(duì)于，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故錯(cuò)誤．故選：．10．下列命題是真命題的有(

)A．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過三點(diǎn)，是平面α的法向量，則u+t＝1【答案】ABD【解析】對(duì)于A，A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則共面，可得A，B，M，N共面，故A正確；對(duì)于B，，故，可得l與m垂直，故B正確；對(duì)于C，，故，可得在α內(nèi)或l∥α，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，易知，故﹣1+u+t＝0，故u+t＝1，故D正確．故選：ABD．11．點(diǎn)P在正方體的側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持，若正方體邊長(zhǎng)為，則的可能取值是(

)A． B． C． D．【答案】BC【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)、、，設(shè)點(diǎn)，，，因?yàn)?，則，所以，，所以，.故選：BC.12．如圖，為正方體，邊長(zhǎng)為1，下列說法正確的是(

)

A．平面 B．到面的距離為C．異面直線與的距離為 D．異面直線與的夾角為【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，，，，，，，，，，，，所以，又因平面，平面，，所以平面，A正確；B選項(xiàng)：由A知為平面的法向量，，所以到面的距離為，故B正確，C選項(xiàng)：，，，設(shè)異面直線與的公共法向量為，則，，令，則，，,則異面直線與的距離為，故C正確，D選項(xiàng)：，，，所以異面直線與的夾角的余弦值為，夾角為故D錯(cuò)誤，故選：ABC三、填空題13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若點(diǎn)在軸上，且，則M的坐標(biāo)是_____________.【答案】【解析】依題意，設(shè)，因?yàn)?，，，所以，解得，所以．故答案為?14．矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則P到BC的距離為__________．【答案】【解析】方法一：如圖，因?yàn)槠矫?平面,所以,又因?yàn)槭蔷匦?，所?因?yàn)?所以平面,因?yàn)槠矫妫?所以為到的距離.在矩形中，因?yàn)?，所?在直角三角形中，由勾股定理得,所以到的距離為.故答案為：.方法二：建立如圖所示坐標(biāo)系，在矩形中，，所以，所以,所以,所以為到的距離.,所以到的距離為.故答案為：15．如圖，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為__________.【答案】【解析】依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸、軸、軸的正方向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，，，則，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，令，則，，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)與平面所成的角為，.因?yàn)?，，，則，所以.因?yàn)?，所以，所以與平面所成角的余弦值為.故答案為：.16．已知空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為用以上知識(shí)解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為_______.【答案】【解析】平面的方程為，所以平面的法向量為，平面與平面的法向量分別為，，設(shè)直線的方向向量為，則，即，取設(shè)直線與平面所成的角為，則.故答案為：.四、解答題17．如圖，在直三棱柱