2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步練習(xí)-9平面向量

第9章平面向量

9.4向量應(yīng)用

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一向量在幾何中的應(yīng)用

22

1.在直角三角形ABC中，點(diǎn)。是斜邊A8的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CO的中點(diǎn)，則PA+PB_

PC2

（）

A.2B.4C.5D.10

2.（2021江蘇白塔高級(jí)中學(xué)月考）在^ABC中，設(shè)裕-同2=2詢尻，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌

跡必通過(guò)△A3c的（）

A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心

3.（2022江蘇南通海門(mén)實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末）如圖所示，在正方形A3CD中，已知|幅=2,若

點(diǎn)N為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則而?麗的最大值是.

4.（2021山東煙臺(tái)一中月考）如圖，設(shè)尸,。分別是梯形A3c。的對(duì)角線AC,8D的中

點(diǎn).

⑴試用向量的方法證明:PQ〃48;

（2）若府|=3面求登的值.

題組二向量在物理中的應(yīng)用

5.（2021江蘇射陽(yáng)中學(xué)月考）一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力842,冗（單位我）的作用

而處于平衡狀態(tài)，已知B產(chǎn)2成90。角，且尸的大小分別為2N和4N,則F3的大

小為（）

A.6NB.2NC.2V5ND.2V7N

6.某人騎車(chē)以akm/h的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來(lái)，而當(dāng)速度為2a

km/h時(shí)，感到風(fēng)從東北方向吹來(lái)，試求實(shí)際風(fēng)速的大小和方向.

能力提升練

題組一向量在幾何中的應(yīng)用

1.（2022江蘇太湖高級(jí)中學(xué)階段檢測(cè)）在4ABC中，角A氏C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

若氏c="=120。,且。是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則煙+而）?網(wǎng)+前）的取值范

圍是（）

A.[-8,10）B.[-16,40）

C.[-8,40）D.[-16,48）

2.（2021江蘇鎮(zhèn)江期末）已知點(diǎn)「是^ABC內(nèi)的一點(diǎn)，刀甘（而+元），則△ABC的面積

與△P3C的面積之比為（）

A.2B.3C.|D.6

3.（2021江蘇泰州中學(xué)月考）正方形A3CD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸在線段AC上運(yùn)動(dòng)，則

Q?（而+而）的取值范圍為_(kāi)________.

,1^---------------SB

4.（2022江蘇三倉(cāng)中學(xué)期末）如圖，在△A3C中，已知NB4C=12（r,AB=2,AC=4,點(diǎn)D

在BC上，且BD=2DC,E是4c的中點(diǎn),AQ,BE相交于O點(diǎn).

（1）求線段的長(zhǎng)；

（2）求NEOQ的余弦值.

題組二向量在物理中的應(yīng)用

5.（多選X2021山東臨胸實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中）在日常生活中，我們會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)

行李包的情境.假設(shè)行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為

尸1尸2,且尸1|=舊2|,b1與B的夾角為。.下列結(jié)論中正確的是（）

A.e越大越費(fèi)力,。越小越省力

B.e的取值范圍為［o,幻

C.當(dāng)供我寸,|B|二|G|

D.當(dāng)仇當(dāng)時(shí)，周=|G|

6.(2021江蘇灌云高級(jí)中學(xué)月考)質(zhì)量m=2.0kg的木塊，在平行于斜面向上，大小為

10N的拉力廠的作用下，沿傾斜角6=30。的光滑斜面向上滑行了|s|=2.0m的距

離.(g=9.8N/kg)

(1)分別求木塊所受各力對(duì)木塊所做的功；

(2)在這個(gè)過(guò)程中，木塊所受各力對(duì)木塊做功的代數(shù)和是多少？

答案與分層梯度式解析

第9章平面向量

9.4向量應(yīng)用

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

Pf+PF,引產(chǎn)+|麗|2_方2+而2

,PC2_|PC|2-PC2

_(PC+CA)2+(PC+CB')2

_超__

_2|近1+2無(wú)6+畫(huà)+麗2

~~

=^^-6=42-6=10.

\PC\2

2.C設(shè)BC的中點(diǎn)為O,

則前2一荏2=(而+荏＞(前一而)=2而.近=2詢?玩，即(而-施)?就二詬?近=0,

所以雨，近，

所以動(dòng)點(diǎn)M在線段BC的中垂線上，

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)△ABC的外心.

故選C.

3.答案4

解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則4(0,0),5(2,0),

設(shè)N(x,y)(0S^2,0筑2),

則四=(2,0),而=(x,y),

所VXAB-AN=2xe[0,4],所以布.前的最大值是4.

4.典J1)我:為8。的中點(diǎn)，

：.CB+CD=2CQ.

VP為AC的中點(diǎn),#.

2PQ=2CQ-2CP^(CB+CD)^CA=CB+CD+AC^AB+'CD.

由而與福共線，可設(shè)而=/而，

則2所=(1+2)福

.?質(zhì)=殍而.①

在梯形ABCD中,|而國(guó)而|,.?"齊1,

.,質(zhì)〃福即PQ//AB.

(2):?向量荏與而反向，

且|而|=3|而|,

.,.屈=-3而，即2=一,將其代入①式，

得麗亭福場(chǎng)

.PQ_1

??——.

AB3

5.答案C

信息提取①一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力尸|出,尸3的作用而處于平衡狀態(tài);②M,尸2成90。角;③的

大小分別為2N,4N.

數(shù)學(xué)建模以物理中的質(zhì)點(diǎn)受力平衡問(wèn)題為背景構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,求解質(zhì)點(diǎn)的受力大小.根據(jù)向量垂直的

充要條件,向量加法的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算，從而求出力尸3的大小.

解析由題意知尸3=-(尸|+尸2),

二+尸2)]2=理+母+2Q優(yōu)=4+16=20,

...島|=2通.

故用的大小為24N.

故選C.

6.解析設(shè)此人行駛的速度為則間=。,無(wú)風(fēng)時(shí)此人感覺(jué)到風(fēng)速為乜設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v,由題意知，此人所感

到的從正北方向吹來(lái)的風(fēng)速為v-a,

如圖所示，令萬(wàn)5=-a,麗=-24

由^-PO+OA=PA,mPA=v-a,yJPO+OB=PB,

.?.而”2”,即此人的速度是原來(lái)的2倍時(shí)所感到的風(fēng)速.由題意得/已3。=45。/4,8。,胡=4。,從而

△BP。為等腰三角形，

/.PB=PO,ZPOA=ZAPO=45°,

.?.尸0=或。,即|W=或4km/h.

故實(shí)際吹來(lái)的風(fēng)是西北風(fēng)，其大小為aakm/h.

解題模板

用向量法解決物理問(wèn)題時(shí)，正確作出相應(yīng)的幾何圖形有助于建立數(shù)學(xué)模型.用向量知識(shí)來(lái)解決共點(diǎn)

力的問(wèn)題往往需要把向量平移到同一作用點(diǎn)上.

能力提升練

1.C以所在直線為x軸,BC的中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

B0I)C

因?yàn)閎=c=44=120。,所以40,2),8(2/5,0),C(2g,0),設(shè)D(x,0)^e(-273,273),

則說(shuō)=(-x,2),麗=(-2通-x,0),覺(jué)=(2巡-x,0),

所以兩+而)舊+沆)=(-2存2x,2>(2叵2犬,2)=4/-8,

因?yàn)閤G(-2g,2g),

所以4r-8引-8,40),

所以(而+而)?(育+沆)的取值范圍是[-8,40).

故選C.

2.B如圖，取BC的中點(diǎn)O,連接A。,則點(diǎn)P在線段4。上，過(guò)點(diǎn)P作PMLBC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作ANLBC

于點(diǎn)N,

BDMNC

則而三(而+硝，

因?yàn)槎?：(荏+前)，所以而=：而,

貝"同二3而，因止匕|而|二1而I,即PD=^AD.

易知RtAPDMSRSADN,

因噴啜W

所以S—BJ#N?BC=4N=3

S^PBC^PMBCPM

故選B.

3.答案卜2周

解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)/B,A￡＞所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,

則A(0,0),8(1,0),C(1,1),￡>(0,1),

設(shè)P(xj)(081),

貝|J/P=(羽x),PB=(1?x,?x),PO=(?x,l-x),

/.AP-(PB+PD)=(x^c)-(1-2x,1-2x)=2%(1-2x)=-4x2+2x=-4(^x—+^(0<x<l),

/.當(dāng)x=：時(shí)，存?(而+而)有最大值,為:，

當(dāng)x=I時(shí)，9?(而+而)有最小值，為-2,

???欣(而+而)的取值范圍是卜蜀.

4.解析(1)易得麗=荏-同三亞-布，

：.[BE\2=BE2=(^AC-AB'fAC2^AC-AB+AB2\AC\2-\AC\-\AB\COSZBAC+\AB\2=\2,

.?.函=2b，即BE=2V3.

易得而=而+前=同+|尻=南+|(宿福[AC+^AB,

：.[AD\2=AD2=(^AC+^AB^^AC2-^AC-AB+^AB2^\AC\2+^\AC\-\AB\COSZBAC+^\AB\2=^,

.，.麗=率，即A小率.

⑵由(1)知麗AC^ABjD=l^4C+|AB,

：.ADBE=(^AC+:硝G前-硝=萍2,而通-萬(wàn)2=2_興_4卓22=6

易知NE。。為而與麗的夾角，

和證_6_3回

/.cosNEOD=

I布II前「逅森方一百,

5.AD對(duì)于A,根據(jù)題意，得|0=尸|+乃|,

故|GF*F+|同2+2圖x|同xcos6=2間2（+c°s。）,解得國(guó)F=募篇

由題意知。￡（0㈤時(shí),y=cos6單調(diào)遞減，所以。越大越費(fèi)力,9越小越省力，故A正確;

對(duì)于B,由題意知。的取值范圍是（0,兀），故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)咐時(shí),間2=字所以周=￥。|,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,當(dāng)供