2021年中考數(shù)學(xué) 三輪沖刺：全等三角形（含答案）

2021中考數(shù)學(xué)三輪沖刺專題：全等三角形

一、選擇題

1.下列各圖中a,b,c為三角形的邊長，則甲、乙、丙三個(gè)三角形和左側(cè)△ABC

全等的是

A.甲和乙D.只有

丙

2.如圖，已知AB=AE,AC=AD,下列條件中不能判定△ABC之△AEO的是

)

A.4B=4EB.ZBAD=ZEACC.ZBAC=ZEADD.BC=ED

3.如圖，ABLCD,KAB=CD.E,廠是A。上兩點(diǎn)，CE±AD,BF±AD.^CE=a,

BF=b,EF=c,則AO的長為()

A.a+cD.a+b-c

4.如圖所示，在△ABC和△A50中，ZC=Z￡>=90°,要利用“HL”判定RtAA3c

會(huì)Rt^ABO成立，還需要添加的條件是（）

A.ZBAC=ZBADB.BC=BD或AC=ADC.ZABC=ZABD

D.AC=BD

5.如圖，BE±AC,CF±AB,垂足分別是￡,F.若BE=CF,則圖中全等三角形

有()

A.1對(duì)B.2對(duì)

6.如圖，在直角坐標(biāo)系中，是RtAOAB的角平分線，點(diǎn)。的坐標(biāo)是(0,-3),

那么點(diǎn)。到AB的距離是

A.3B.-3D.-2

7.如圖所示，已知△ABC四△AOE,的延長線交OE于點(diǎn)凡ZB=ZD=25°,

ZACB=ZAED=105°,ZDAC=10°,則尸8的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.55°D.60°

8.現(xiàn)已知線段a,b(a<b),ZMON=90°,求作Rt^AB。，使得NO=90。，OA=a,

小惠和小雷的作法分別如下：

小惠:①以點(diǎn)。為圓心、線段a的長為半徑畫弧，交射線ON于點(diǎn)A;②以點(diǎn)A為

圓心、線段匕的長為半徑畫弧，交射線OM于點(diǎn)B,連接AB,ZXAB。即為所求.

小雷:①以點(diǎn)。為圓心、線段。的長為半徑畫弧，交射線ON于點(diǎn)A;②以點(diǎn)。為

圓心、線段人的長為半徑畫弧，交射線OM于點(diǎn)B,連接AB,△ABO即為所求.

則下列說法中正確的是()

A.小惠的作法正確，小雷的作法錯(cuò)誤

B.小雷的作法正確，小惠的作法錯(cuò)誤

C.兩人的作法都正確

D.兩人的作法都錯(cuò)誤

二、填空題

9.如圖，在△ABC中，AD1BC,CE1AB,垂足分別為D,E,AD,CE交于

點(diǎn)H,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)條件：_______，使AAEH絲ZSCEB.

10.如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,連接BD.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件:

，使得△ABD絲4CDB.（只需寫出一個(gè)）

11.如圖，已知在△ABC和△OEF中，NB=NE,BF=CE,點(diǎn)B,F,C,E在同

一條直線上，若使△ABC之△OEF,則還需添加的一個(gè)條件是（只填一

個(gè)即可）.

12.如圖，四邊形A8CO的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)0,有下列

結(jié)論:①②CB=CD;③△A3C且△AOC;④0A=OC.其中所有正確結(jié)論的序

號(hào)是.

13.如圖，點(diǎn)。在△ABC的內(nèi)部，且到三邊的距離相等.若/8OC=130。，則NA

A

14.如圖，在△ABC中，ZACB=120°,BC=4,。為A3的中點(diǎn)，DCLBC,則^ABC

的面積是.

15.如圖，△ABC的兩條外角平分線BP,CP相交于點(diǎn)P,PELAC交AC的延長

線于點(diǎn)￡若△A3C的周長為11,PE=2,S&BPC=2,則S?BC=.

16.如圖，ZC=90°,AC=10,BC=5,AX1AC,點(diǎn)P和點(diǎn)Q是線段AC與射

線AX上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB=PQ,當(dāng)AP=時(shí)，△ABC與AAP。全等.

三、解答題

17.（2019?瀘州）如圖，AB//CD,AO和相交于點(diǎn)。，OA=OD.求證:

18.如圖，O是線段AB的中點(diǎn)，OD〃BC且OD=BC.

⑴求證：△AOD^AOBC；

(2)若NADO=35。，求NDOC的度數(shù).

19.(2019?黃石)如圖，在△ABC中，NBAC=90。，E為邊8。上的點(diǎn)，且=

。為線段BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作過點(diǎn)A作AF〃BC,且AE、EF相交

于點(diǎn)F.

(1)求證：NC=NBAD；

(2)求證：AC=EF.

20.如圖，在菱形A5CO中，AB=5,sinZABD=^~,點(diǎn)P是射線8C上一點(diǎn),

連接AP交菱形對(duì)角線BD于點(diǎn)E,連接EC.

⑴求證：4ABE冬ACBE；

(2)如圖①，當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)，且3P=2,求的面積；

(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)尸在線段的延長線上時(shí)，若CELEP,求線段8P的長.

BPCBCP

圖①圖②

21.如圖，A,8兩點(diǎn)分別在射線OM,ON上，點(diǎn)C在NMON的內(nèi)部且C4=CB,

CDLOM,CELON,垂足分別為。，E,且

(1)求證：0C平分NMON；

(2)如果AO=10,80=4,求。。的長.

22.已知，如圖，ZSACB和AECD都是等腰直角三角形，NACB=NECD=90。,

D為AB邊上一點(diǎn).

⑴求證：△ACE^ABCD；

(2)求證：2CD2=AD2+DB2.

23.AABC和是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，NBAC=NEDF=9U°,△

OEF的頂點(diǎn)￡與△ABC的斜邊的中點(diǎn)重合.將△￡)￡：廠繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過

程中，線段OE與線段相交于點(diǎn)P,線段EE與射線CA相交于點(diǎn)。

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。在線段AC上，且AP=A。時(shí)，求證：

△BPE24CQE；

⑵如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線段C4的延長線上時(shí)，

①求證：ABPEsACEQ；

②當(dāng)3P=2,CQ=9時(shí)，求3C的長.

圖①圖②

24.已知正方形ABC。中，點(diǎn)E在BC上，連接AE,過點(diǎn)8作BFL4E于點(diǎn)G,

交CD于點(diǎn)F.

(1)如圖①，連接AF,若AB=4,BE=\,求證：ABCF咨LABE；

(2)如圖②，連接8。，交AE于點(diǎn)、N,連接AC,分別交80、BF于點(diǎn)0、M,連

接GO,求證：G。平分NAGF；

(3)如圖③，在第(2)間的條件下，連接CG,若CG_LGO,AG=nCG,求〃的值.

圖①

2021中考數(shù)學(xué)三輪沖刺專題：全等三角形■■答案

一、選擇題

1.【答案】B［解析］依據(jù)SAS全等判定可得乙三角形與△ABC全等;依據(jù)AAS全

等判定可得丙三角形與△ABC全等，不能判定甲三角形與△ABC全等.故選B.

2.【答案】A［解析］?.?AB=AE,AC=AD,.?.當(dāng)N8AO=NEAC或

時(shí)，依據(jù)SAS即可得到^ABC四△AED;

當(dāng)BC=ED時(shí)，依據(jù)SSS即可得到^ABC^AAED;

當(dāng)時(shí)，不能判定△ABCg/VIED

3.【答案】D［解析「.四臺(tái)，。。，CE±AD,BF±AD,

：.ZCED=ZAFB=90°,/A=NC,

XVAB=CD,:.XCED/4AFB,

：.AF=CE=a,DE=BF=h,DF=DE-EF=b-c,

：.AD=AF+DF=a+b-c,故選D.

4.【答案】B［解析］要添加的條件為BC=BD或AC=AD理曲若添加的條件為

BC=BD,

工、一(BC=BD,

在Rt^ABC和RtZAXABO中t，|

{AB=AB,

.：RtZ\A3%RtZ\ABO(HL);

若添加的條件為AC=AD,

(AC=AD,

在RtAABC和Rt/XABD中u，\

UB=AB,

:.RtA/lBC^RtA^BD(HL).

5.【答案】C［解析］①?；BE_LAC,CF1AB,

，ZCFB=ZBEC=90°.

CF=BE,

在RtABCF和RtACBE中，1

［BC=CB,

ARtABCF/RSCBE(HL).

(DVBEIAC,CF_LAB,.,.NAFC=NAEB=90°.在△ABE和△ACF中,

jZAEB=ZAFC,

5ZA=ZA,AAABE^AACF(AAS).

IBE=CF,

③設(shè)BE與CF相交于點(diǎn)O.

VBE±AC,CF±AB,

.??ZOFB=ZOEC=90°.

VAABE^AACF,，AB=AC,AE=AF.

，BF=CE.

rZOFB=ZOEC,

在ABOF和ACOE中，5ZBOF=ZCOE,

IBF=CE,

ABOF^ACOE(AAS).

6.【答案】A［解析］如圖，過點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E.

丁點(diǎn)。的坐標(biāo)是(0,-3),

?：OD=3.

'.'AD是△Q4B的角平分線,

.：ED=OD=3,

即點(diǎn)。到AB的距離是3.

7.【答案】D［解析］因?yàn)椤鰽BCgZXAOE,ZB=ZD=25°,ZACB=ZAED=\05°,

所以NCAB=NE4D=

180o-105°-25o=50°.所以NDAB=ZCAB+ZDAC=60°.由圖易得NDFB=Z

0AB=60°.

8.【答案】A［解析］A3是斜邊，小惠作的斜邊長是b符合條件，而小雷

作的是一條直角邊長是尻故小惠的作法正確，小雷的作法錯(cuò)誤.

二、填空題

9.【答案】AH=C5（符合要求即可）【解析】VAD±BC,CE±AB,垂足分別

為點(diǎn)D、E,.,.ZBEC=ZAEC=90°,在放aAEH中，ZEAH=90°-ZAHE,

在?△HDC中，ZECB=90°-ZDHC,VZAHE=ZDHC,ZEAH=ZECB,

,根據(jù)A4s添加AH=CB或EH=EB；根據(jù)ASA添加AE=CE.可證△AEH^A

CEB.故答案為：AH=CB或EH=EB或AE=CE均可.

10.【答案】答案不唯一，如AB=CD［解析］由已知AB〃CD可以得到一對(duì)角

相等，還有BD=DB,根據(jù)全等三角形的判定，可添加夾這個(gè)角的另一邊相等，

或添加另一個(gè)角相等均可.

11.【答案】或NA=NO或NACB=NDFE或AC〃。/［解析］已知條件已

經(jīng)具有一邊一角對(duì)應(yīng)相等，需要添加的條件要么是夾已知角的邊，構(gòu)造SAS全

等，要么添加另外的任一組角構(gòu)造ASA或AAS,或者間接添加可以證明這些結(jié)

論的條件即可.

12.【答案】①②③［解析］由△A3。/△A。。，得NAO8=NAOO=90。,

ZBAC=ZDAC.

又因?yàn)锳C=AC,所以△ABCgzMOC,則CB=CD所以①②③正確.

13.【答案】80［解析］?.?點(diǎn)0到^ABC三邊的距離相等，...B0平分NABC,

CO平分NACB.

，ZA=180°-(ZABC+ZACB)=180°-2(ZOBC+/OCB)=180。-ZqgOo-

NBOCEO。.

14.【答案】8百［解析］???OCJL8C,

:.NBCD=90。.

,：ZACB=120°,

：.ZACD=30°.

延長CD到H使DH=CD,

H

?.?。為A3的中點(diǎn),

:.AD=BD.

DH=CD,

Z.ADH=乙BDC,

{AD=BD,

：.△AO“空△BOC(SAS),

：.AH=BC=4,NH=NBCD=90。.

,/ZACH=30°,

：.CH=yf3AH=4yf3,，CO=2百，

△ABC的面積=2SABCD=2xix4x2\i,，3=8v/3.

15.【答案】7［解析］過點(diǎn)P作PEL8C于點(diǎn)EPGJ_A8于點(diǎn)G,連接AR：'△

ABC的兩條外角平分線BP,CP相交于點(diǎn)P,；.PF=PG=PE=2.：&BPC=2,；.

-BC-2=2,解得BC=2.rAABC的周長為11,

2

ZAC+AB=11-2=9.

.^SA4BC=5AACP+SAABP-SABPC=-AC-PE+-T4B-/>G-SABPC=-X9X2-2=7.

222

16.【答案】5或10［解析］TAX_LAC,AZPAQ=90°.AZC=ZPAQ=90°.

分兩種情況：①當(dāng)AP=BC=5時(shí)，

AB=QP,

在RtAABC和RtAQPA中，］

［BC=PA,

ARtAABC^RtAQPA(HL)；

②當(dāng)AP=CA=10時(shí)，

AB=PQ,

在RtAABC和RtAPQA中，，

［AC=PA,

Z.RtAABC^RtAPQA(HL).

綜上所述，當(dāng)AP=5或10時(shí)，ZkABC與AAPQ全等.

三、解答題

17.【答案】

?:AB//CD,/.ZA=ZD,NB=NC,

NA=N0

在^AOB和△OOC中，,NB=NC,

OA=OD

：.AAOB也△￡>OC，

:.OB=OC.

18.【答案】

解：(1)證明：YO是線段AB的中點(diǎn)，

/.AO=OB.

?.?OD〃BC,/.ZAOD=ZOBC.

fAO=OB,

在^AOD與^OBC中，5ZAOD=ZOBC,

[OD=BC,

.,.△AOD^AOBC(SAS).

(2):△AOD絲△OBC,

.,.ZADO=ZOCB=35°,

VODZ/BC,,?.ZDOC=ZOCB=35°.

19.【答案】

(1)如圖，

???AB=AE,二AABE是等腰三角形，

又丁。為BE的中點(diǎn)，/.AD±BE,

在RtAABC和Rt^xDBA中，

:B8為公共角，ZBAC=ZBDA=90°,

:.ZC=ZBAD.

(2)VAF//BC,二/FAF=ZAEB,

VAB=AE,：.ZABE=ZAEB,

:.ZEAF=ZABC,

又?:ZBAC=ZAEF=Z90°,

AC=EF.

20.【答案】

(1)證明：?.?四邊形ABC。是菱形，

；.AB=BC,NABE=/CBE.

在ZiABE和△CBE中，AB=BC,ZABE=ZCBE,BE=BE,

：.AABE^ACBE(SAS)；

(2)解：如解圖①，連接AC交8。于點(diǎn)O,分別過點(diǎn)A、E作BC的垂線，垂足

分別為點(diǎn)H、F,

解圖①

???四邊形A8CO是菱形，

：.ACLBD,

\"AB=5,sinZABD=^~,

：.AO=OC=y[5,

：.BO=OD=2y[5,

：.AC=2yf5,BD=4\[5,

,.?5C-BD=BC-AH,

即3X2小X4小=5AH,

：.AH=4,

'：AD//BC,

：.XAEDs^PEB,

?AE_AD

'"'PE=~BP,

.AE+PEAD+BP

-PE=-BP-'

：.AP=^PE,

：./\EFP^/\AHP,

?EF_PE

,,麗=而’

?PEPE

'EF=AP?AH=q—

-^PE

iiQ12

:&PEC=qPC?￡^=2^(5—2)Xy=—；

(3)解：如解圖②，連接AC交3。于點(diǎn)O,

解圖②

V^ABE^ACBE,CELPE,

：.ZAEB=ZCEB=45°,

：.AO=OE=y[5,

:.DE=OD-OE=2小一下=4,BE=3y[5.

\'AD//BP,

：.XADEsAPBE,

?AD_DE

,?麗=礪’

.5_V5

「BP—3P

：.BP=15.

21.【答案】

解：(1)證明：VCD±OM,CELON,

.".ZCDA=ZCEB=90°,

CA=CB,

在RtAACD與RtABCE中，，

[AD=BE,

ARtAACD絲RSBCE(HL).

/.CD=CE.

又YCDLOM,CE±ON,，0C平分/MON.

CD=CE,

(2)在RtAODC與RtAOEC中，1

.,.RSODC^RtAOEC.

，OD=OE.

設(shè)BE=x.

VB0=4,.\0E=0D=4+x.

AD=BE=x,

??.AO=OD+AD=4+2x=10.

/.x=3.OD=4+3=7.

22.【答案】

?萬證明：（口???△ACB和aECD都是等腰直角三角形，

，CD=CE,AC=BC,ZECD=ZACB=90°,

/.ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,即NACE=NBCD,（1分）

在4ACE與ABCD中，

EC=DC

NACE=NBCD,（3分）

AC=BC

△ACE?△BCD（SAS）.（4分）

（2）VAACE^ABCD,

；.AE=BD,ZEAC=ZB=45°,（6分）

，ZEAD=ZEAC+ZCAD=90°,

在7?rAEAD中，ED2=AD2+AE2,

.\ED2=AD2+BD2,（8分）

又ED2=EC2+CD2=2CD2,

.,?2CD2=AD2+DB2.（10分）

23.【答案】

（1）證明：???△ABC是等腰直角三角形，

：.AB=AC,ZB=ZC=45°,

又YAP=AQ,

：.BP=CQ,

???E是8C的中點(diǎn)，

：.BE=EC.

.?.在△BPE與△CQE中，

BP=CQ

?NB=NC,

BE=CE

.?.△BPE9△CQE（SAS）；

⑵①證明：V