人教A版必修第二冊1013古典概型學(xué)案

10.1.3古典概型

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

1.能夠把握古典概型的根本特征，

1.結(jié)合詳細實例，理解古典概型.依據(jù)實際問題構(gòu)建概率模型，解決

2.能計算古典概型中簡潔隨機大簡潔的實際問題.

事的概率.2.會用求古典概型的公式方法求

解概率問題.

課前篇咱主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學(xué)問點古典概型

1.概念

(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為

古典概率模型，簡稱古典概型.

2.古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間。包含幾個樣本點，

大事4包含其中的左個樣本點，那么定義大事A的概率

尸但)=?=皿

⑷n雙

其中，〃(A)和“(。)分別表示大事A和樣本空間。包含的樣本點

個數(shù).

［重點理解］

1.隨機試驗片中的樣本點

⑴任何兩個樣本點都是互斥的；

⑵任何大事(除不行能大事)都可以表示成某些樣本點的和.

2.求解古典概型問題的一般思路

(1)明確試驗的條件及要觀看的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?字母、數(shù)字、

數(shù)組等）表示試驗的樣本點（借助圖表可以關(guān)心我們不重不漏地列出

全部樣本點）；

（2）依據(jù)實際問題情景推斷樣本點的等可能性；

（3）計算樣本點總個數(shù)及大事A包含的樣本點個數(shù)，求出大事A

的概率.

［自我排查］

1.以下試驗中，屬于古典概型的是（）

A.種下一粒種子，觀看它是否發(fā)芽

B.從規(guī)格直徑為250mm±0.6mm的一批合格產(chǎn)品中任意抽一

根，測量其直徑d

C.拋擲一枚硬幣，觀看其消失正面或反面

D.某人射擊中靶或不中靶

答案：C

解析：依據(jù)古典概型的特點推斷，只有C項滿意：①樣本空間

的樣本點只有有限個；②每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

2.（多項選擇）以下關(guān)于古典概型的說法中正確的選項是（）

A.樣本空間的樣本點只有有限個

B.每個大事消失的可能性相等

C.每個樣本點發(fā)生的可能性相等

D.樣本點的總數(shù)為小隨機大事A假設(shè)包含上個樣本點，那么

k

尸⑷F

答案：ACD

解析：依據(jù)古典概型的特征與公式進行推斷.A、C、D正確，B

不正確，應(yīng)選A、C、D.

3.從甲、乙、丙三人中任選兩人擔(dān)當(dāng)課代表，甲被選中的概率

為（）

C.1D.1

答案：C

解析：從甲、乙、丙三人中任選兩人有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，

丙），共3種狀況，其中，甲被選中的狀況有2種，故甲被選中的概

率為P=1.

4.有5支彩筆（除顏色外無差異），顏色分別為紅、黃、藍、綠、

紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，那么取出的2支彩筆

中含有紅顏色筆的概率為（）

4321

A.gB.gC.gD.g

答案：C

解析：從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有以下10種狀

況：（紅，黃），（紅，藍），（紅，綠），（紅，紫），（黃，藍），（黃，綠），

（黃，紫），（藍，綠），（藍，紫），（綠，紫）.其中含有紅顏色筆的有4

種狀況：（紅，黃），（紅，藍），（紅，綠），（紅，紫），所以所求大事的

42

概率尸=正=亍應(yīng)選C.

5.從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)，那么其中一個數(shù)

是另一個數(shù)的兩倍的概率為.

答案：；

解析：從1,2,3,4中一次隨機地取兩個數(shù)，此試驗的樣本空間共

有以下6種取法：（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）.其中一個

數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的共有（1,2）,（2,4）兩種.

21

.,.所求概率為Z=可.

oJ

課堂篇?重點難點研習(xí)突破

研習(xí)1古典概型的推斷

［典例1］推斷以下概率模型中哪些是古典概型，為什么？

①從區(qū)間［1,10］內(nèi)任意取出一個數(shù)，求取到1的概率；

②從含有1的10個整數(shù)中任意取出一個數(shù)，求取到1的概率；

③向一個正方形ABCD內(nèi)投擲一點P,求產(chǎn)恰好與A點重合的

概率；

④向上拋擲一枚不勻稱的舊硬幣，求正面朝上的概率.

［解］依據(jù)古典概型的特征進行考慮，①③中樣本點有無限多

個，因此不屬于古典概型.④中硬幣不勻稱，那么“正面朝上〃“反

面朝上〃消失的可能性不相等，不是古典概型.②從含有1的10個

整數(shù)中任取1個整數(shù)，其樣本點總數(shù)為10,是有限的，且每個數(shù)取

到的可能性相等，故②為古典概型概率問題.

［巧歸納］推斷一個試驗是不是古典概型要抓住兩點：一是有限

性；二是等可能性.

［練習(xí)1］某同學(xué)隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結(jié)果只

有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)、...、命中5環(huán)和不中環(huán).你認

為這是古典概型嗎？為什么？

解：不是古典概型，由于試驗的全部可能結(jié)果只有7個，而命中

10環(huán)、命中9環(huán)、……、命中5環(huán)和不中環(huán)的消失不是等可能的，

即不滿意古典概型的其次個特征.

研習(xí)2樣本點的計數(shù)問題

［典例2］(1)4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中

隨機抽取2張，那么取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的全部樣本

點個數(shù)為()

A.2B.3

C.4D.6

(2)連續(xù)擲3枚質(zhì)地勻稱的硬幣，觀看這3枚硬幣落在地面上時

是正面朝上還是反面朝上.

①寫出這個試驗的全部樣本點；

②求這個試驗的樣本點的總數(shù)；

③“恰有兩枚硬幣正面朝上〃這一大事包含哪些樣本點？

（1）［答案］C

［解析］用列舉法列舉出“數(shù)字之和為奇數(shù)”的可能結(jié)果為：

（1,2）,（1,4）,（2,3）,（3,4）,共4種可能.

（2）［解］①這個試驗包含的樣本點有：（正，正，正），（正，正，

反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反,

反，正），（反，反，反）.

②這個試驗包含的樣本點的總數(shù)是8.

③“恰有兩枚硬幣正面朝上〃這一大事包含以下3個樣本點：

（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.

［巧歸納］隨機試驗中樣本點的探求方法

（1）列舉法：把試驗的全部結(jié)果一一列舉出來.此方法適合于較

為簡潔的試驗問題.

（2）樹狀圖法：樹狀圖法是使用樹狀的圖形把樣本點列舉出來的

一種方法，樹狀圖法便于分析樣本點間的關(guān)系，對于較簡單的問題，

可以作為一種分析問題的主要手段，樹狀圖法適用于較簡單的試驗的

題目.

［練習(xí)2］將一枚質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲兩次，那么：

（1）一共有幾個樣本點？

（2）“消失的點數(shù)之和大于8〃包含幾個樣本點？

解：（樹狀圖法）一枚骰子先后拋擲兩次的全部可能結(jié)果用樹狀圖

表示.如下圖：

V

V

VV

VV

VV

（1）由圖知，共36個樣本點.

（2）“點數(shù)之和大于8〃包含10個樣本點（已用"J〃標(biāo)出）.

研習(xí)3簡潔的古典概型的概率計算

［典例3］袋中有6個大小質(zhì)地完全相同的球，其中4個白球，2

個紅球，從袋中任意取出兩球，求以下大事的概率：

(1)A：取出的兩球都是白球；

(2)5：取出的兩球一個是白球，另一個是紅球.

［解］。={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),

(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15個樣本點.

(1)由于由={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},所以〃(A)

=6,從而尸(A)="(0=記=于

(2)由于5={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},

所以〃⑻=8,從而尸(5)=嘿=白

［巧歸納］求解古典概型的概率“四步〃法

［練習(xí)3］(2019?全國卷II)生物試驗室有5只兔子，其中只有3

只測量過某項指標(biāo).假設(shè)從這5只兔子中隨機取出3只，那么恰有2

只測量過該指標(biāo)的概率為()

2321

A.gB.gC.gD.j

答案：B

解析：設(shè)5只兔子中測量過某項指標(biāo)的3只為m,a2,俏，未測

量過這項指標(biāo)的2只為歷，b2,那么從5只兔子中隨機取出3只的全

部可能狀況為(。1,Q2,43),(。1,。2,bl),(。1,Q2,岳),(。1,。3,bl),

(。1,<23,bi),(ai,bi,bi),(。2,<73,bi),(<22,的，bi),(痣，bi,bi),

(。3,bl,岳)，共10種可能.其中恰有2只測量過該指標(biāo)的狀況為31,

。2,bi),(ai,。2,02),(tzi,用，bi),(ai,俏，bi),(z,as,bi),(。2,

03,歷)，共6種可能.故恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為*=1.應(yīng)選

B.

研習(xí)4含“有放回〃抽取的古典概型問題

［典例4］小李在做一份調(diào)查問卷，共有5道題，其中有兩種題

型，一種是選擇題，共3道，另一種是填空題，共2道.

(1)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，求所選的

題不是同一種題型的概率；

(2)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，求所選的

題不是同一種題型的概率.

［解］將3道選擇題依次編號為1,2,3,2道填空題依次編號為4,5.

(1)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，那么樣

本空間01={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),

(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},

共20個樣本點，而且這些樣本點發(fā)生的可能性是相等的.

設(shè)大事A="所選的題不是同一種題型〃，那么大事人={(1,4),

(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},

19

共12個樣本點，所以P(A)=on=0.6.

(2)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，那么樣

本空間02={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共25個樣本點,而且這些樣本點

發(fā)生的可能性是相等的.

設(shè)大事5="所選的題不是同一種題型〃，

由(1)知所選的題不是同一種題型的樣本點共12個，

12

所以尸(5)=芯=0.48.

［巧歸納］解決有序和無序問題應(yīng)留意兩點

(1)關(guān)于不放回抽樣，計算樣本點個數(shù)時，既可以看做是有挨次

的，也可以看做是無挨次的，其最終結(jié)果是全都的.但不管選擇哪一

種方式，觀看的角度必需全都，否那么會產(chǎn)生錯誤.

(2)關(guān)于有放回抽樣，應(yīng)留意在連續(xù)取出兩次的過程中，由于先

后挨次不同，所以3,b),s，。)不是同一個樣本點.解題的關(guān)鍵是

要清晰無論是“不放回抽取〃還是“有放回抽取〃，每一件產(chǎn)品被取

出的時機都是均等的.

［練習(xí)4］從含有兩件正品Q1，。2和一件次品。的三件產(chǎn)品中，

每次任取一件.

(1)假設(shè)每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中

恰有一件次品的概率；

(2)假設(shè)每次取出后放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰

有一件次品的概率.

解：(1)每次取出一個，取出后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可

能的結(jié)果組成的樣本點有6個，即(ai,“2),(ai,8),(。2,ai),(“2,

b),(b,ax),(b,02).其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)

品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品.總的大事個數(shù)為6,而且可

以認為這些樣本點是等可能的.

設(shè)大事A=”取出的兩件中恰有一件次品〃，

所以A={(ai,b),(。2,b),(b,ai),(b,ai)},

所以"(4)=4,

I1H~、丁(A)42

從而P(A)=”(0=f

(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其全部可能的結(jié)果為31,。1),31,

。2),(。1,b),(。2,Qi),(。2,。2),(。2,b),(/7,a\),(b,ai),(b,b),

共9個樣本點組成.由于每一件產(chǎn)品被取到的時機均等，因此可以認

為這些樣本點的消失是等可能的.設(shè)大事5="恰有一件次品〃，那

么5={(0,b),(。2,b),(b,ai),(b,ai)},所以"(5)=4,從而尸(5)

n(B)4

一“(0

課后篇?根底達標(biāo)延長閱讀

1.以下關(guān)于古典概型的說法中正確的選項是（）

①樣本空間的樣本點只有有限個；②每個大事消失的可能性相

等；③每個樣本點發(fā)生的可能性相等；④樣本點的總數(shù)為%隨機大

事4假設(shè)包含上個樣本點，那么P（A）=*

A.②④B.①③④

C.①④D.③④

答案：B

解析：依據(jù)古典概型的特征與公式進行推斷，①③④正確，②不

正確，應(yīng)選B.

2.某袋中有9個大小相同的球，其中有5個紅球，4個白球，

現(xiàn)從中任意取出1個，那么取出的球恰好是白球的概率為（）

A—n—04pj

答案：c

解析：袋中有9個大小相同的球，從中任意取出1個，共有9種

取法.取出的球恰好是白球，共有4種取法.故取出的球恰好是白球

4

的概率為應(yīng)選C.

3.某地區(qū)有學(xué)校21所，中學(xué)14所，高校7所，現(xiàn)實行分層抽

樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對同學(xué)進行視力調(diào)查.

（1）求應(yīng)從學(xué)校、中學(xué)、高校中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；

（2）假設(shè)從抽取的6所學(xué)校中隨機抽取2所學(xué)校做進一步數(shù)據(jù)分

析