人教版高中數(shù)學(xué)全冊教案-09-直線、平面、簡單幾何體-03

平面的基本性質(zhì)(一)

平面的基本性質(zhì)是研究空間圖形性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，也是以后演繹推理的邏輯依據(jù).平

面的基本性質(zhì)是通過三條公理及其重要推論來刻劃的，通過這些內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生初步了

解從具體的直觀形象到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述的方法，使學(xué)生的思維從直覺思維上升至分析思維，

使學(xué)生的觀念逐步從平面轉(zhuǎn)向空間.

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

(-)知識教學(xué)點(diǎn)

平面的基本性質(zhì)是通過三個(gè)與平面的特征有關(guān)的公理來規(guī)定的.

1.公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別.通過直線的''直”來刻劃平面的

“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直

線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法.

2.公理2揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，提供了確定兩個(gè)平面交線的方

法.

3.公理3及其三個(gè)推論是空間里確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定

平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問題得

以在確定的平面內(nèi)充分使用平面兒何的知識來解決，是立體兒何中解決相當(dāng)一部

分問題的主要的思想方法.

4.“有且只有一個(gè)”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯

一，“只有一個(gè)”說明圖形如果有頂多只有一個(gè)，但不保證符合條件的圖形存在,

“有且只有一個(gè)"既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性.在數(shù)學(xué)語言

的敘述中，“確定一個(gè)”，“可以作且只能作一個(gè)”與“有且只有一?個(gè)”是同義

詞，因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面

來論證.

5.公理3的三個(gè)推論是以公理3為主要的推理論證的依據(jù)，是命題間邏輯

關(guān)系的體現(xiàn)，為使命題的敘述和論證簡明、準(zhǔn)確，應(yīng)將其證明過程用數(shù)學(xué)的符號

語舌表述.

(-)能力訓(xùn)練點(diǎn)

1.通過由模型示范到三條公理的文字?jǐn)⑹雠囵B(yǎng)觀察能力與空間想象能力.

2.通過由公理3導(dǎo)出其三個(gè)推論的思考與論證培養(yǎng)邏輯推理能力.

3.將三條定理及三個(gè)推論用符號語言表述，提高幾何語言水平.

（三）德育滲透點(diǎn)

借助模型和實(shí)物來說明三個(gè)公理，進(jìn)行“數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐”的唯物主義觀念的教育，

通過三條公理及公理3的三個(gè)推論的學(xué)習(xí)，逐步滲透事物間既有聯(lián)系又有區(qū)別的觀

點(diǎn)，更由于對三個(gè)推論的證明培養(yǎng)言必有據(jù)，一絲不茍的學(xué)習(xí)品質(zhì)和公理法思想.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法

1.教學(xué)重點(diǎn)

（1）體現(xiàn)平面基本性質(zhì)的三條公理及其作用.

（3）兩條公理及公理3的三個(gè)推論中的“有且只有一個(gè)”的含義.

（3）用圖形語言和符號語言表述三條公理及公理3的三個(gè)推論.

（4）理解用反證法和同一法證明命題的思路，并會(huì)證一些簡單問題.

2.教學(xué)難點(diǎn)

（1）對“有且只有一個(gè)”語句的理解.

（2）對公理3的三個(gè)推論的存在性與唯一性的證明及書寫格式.

（3）確定兩相交平面的交線.

3.解決辦法

（1）從實(shí)物演示中引導(dǎo)學(xué)生觀察和實(shí)驗(yàn)，闡明公理的條件和結(jié)論間的直觀

形象，加深對“有且只有一個(gè)”語句的理解.

（2）通過系列設(shè)問，幫助學(xué)生漸次展開思維和想象，理解公理的實(shí)質(zhì)和作

用.

三、課時(shí)安排

2課時(shí).

四、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)

圖1-9

準(zhǔn)備好兩塊紙板，一塊薄平的泡沫板，四根長15cm左右的小竹針，其中三根一樣

長，一根稍短.針對三條公理設(shè)計(jì)不同的活動(dòng)，對公理1,可作如下示范：把直

尺的兩端緊按在玻璃黑板上，完全密接；對公理2,可用兩塊硬紙板進(jìn)行演示(如

圖1—9)；對公理3,使用圖1—10所示的模型進(jìn)行演示.

五、教學(xué)步驟

圖1-10

(-)明確目標(biāo)

(1)理解并熟記平面基本性質(zhì)的三條公理及公理3的三個(gè)推論.

(2)掌握這三個(gè)公理和三個(gè)推論的文字語言、圖形語言、符號語言間的互

譯.

(3)理解“有且只有一個(gè)”的含義，在此基礎(chǔ)上，以公理3為主要依據(jù)，

推證其三個(gè)推論.

(4)能夠用模型來說明有關(guān)平面劃分空間的問題.

(5)理解并掌握證明命題的常用方法——反證法和同一法.

(-)整體感知

本課以平面基本性質(zhì)的三條公理及公理3的三個(gè)推論為主要內(nèi)容，既有學(xué)生熟悉

的事實(shí)，又有學(xué)生初次接觸的證明，因此以“設(shè)問——實(shí)驗(yàn)——?dú)w納”法和講解

法相結(jié)合的方式進(jìn)行教學(xué).首先，對于平面基本性質(zhì)的三條公理，因?yàn)槭恰肮怼保?/p>

無需證明，教學(xué)中以系列設(shè)問結(jié)合模型示范引導(dǎo)學(xué)生共同思考、觀察和實(shí)驗(yàn)，從

而歸納出三條公理并加以驗(yàn)證.其中公理1應(yīng)以直線的“直”和“無限延伸”來

刻劃平面的“平”和“無限延展”；公理2要抓住平面在空間的無限延展特征來

講；公理3應(yīng)突出已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)和位置，強(qiáng)調(diào)“三個(gè)點(diǎn)”且“不在同一直線上”.通

過三條公理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間觀念，加深對“有且只有一個(gè)”語

句的理解.對于公理3的三個(gè)推論的證明，學(xué)生是初次接觸“存在性”和“唯一

性”的證明，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以公理3為主要的推理依據(jù)進(jìn)行分析，逐漸擺脫對實(shí)物

模型的依賴，培養(yǎng)推理論證能力，證明過程不僅要進(jìn)行口頭表述，而且教師應(yīng)進(jìn)

行板書，使學(xué)生熟悉證明的書寫格式和符號.最后，無論定理還是推論，都要將

文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言，并且做到既不遺漏又不重復(fù)且忠于原意.

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與完成過程

A.公理

師：立體幾何中有一些公理，構(gòu)成-個(gè)公理體系.人們經(jīng)過長期的觀察和實(shí)踐，把平

面的三條基本性質(zhì)歸納成三條公理.請同學(xué)們思考下列問題（用幻燈顯示）.

問題1：直線1上有一個(gè)點(diǎn)P在平面a內(nèi)，直線1是否全部落在平面a內(nèi)？

問題2：直線1上有兩個(gè)點(diǎn)P、Q在平面a內(nèi)，直線1是否全部落在平面a內(nèi)？

（用竹針穿過紙板演示問題1,用直尺緊貼著玻璃黑板演示問題2,學(xué)生思考回

答后教師歸納.）

這就是公理1:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所

有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).這里的條件是什么？結(jié)論是什么？

生：條件是直線（a）上有兩點(diǎn)（A、B）在平面（a）內(nèi)，結(jié)論是：直線（a）

在平面（a）內(nèi).

師：把條件表示為Ada,BGb且Ada,Bea,把結(jié)論表示

為aua.所以結(jié)論也可I期評面a經(jīng)過直線a.用網(wǎng)形衣示為091-

11）.

圖1-H

這條公理是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗(yàn)證一個(gè)面是否是平面，如泥瓦

工用直的木條刮平地面上的水泥漿.

在這里，我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個(gè)范圍

呢？

生：不是，因?yàn)槠矫媸菬o限延展的.

師：對，根據(jù)公理1,直線是可以落在平面內(nèi)的，因?yàn)橹本€是無限延伸的，如

果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具

有無限延展的特征.

現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無限延展性來觀察一個(gè)現(xiàn)象（演示圖1一9一（1）給學(xué)生看）.問：

兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)？

生甲：只有一個(gè)公共點(diǎn).

生乙：因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，應(yīng)當(dāng)有很多公共點(diǎn).

師：生乙答得對，正因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，所以有一個(gè)公共點(diǎn)，必有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).那

么這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在什么位置呢？（教師隨手一壓，一塊紙板隨即插入另一塊紙板上事先做

好的縫隙里）.可見，這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上.這說明，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，

那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.此時(shí)，就說兩平面相交，交線就是公共點(diǎn)

的集合，這就是公理2,其條件和結(jié)論分別是什么？

生：條件是兩平面（a、B）有一公共點(diǎn)（A）,結(jié)論

是：它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的直線.

圖1-12

師：條件表示為Ada,AG3,結(jié)論表示為：anB=a,AWa,圖形表示為

圖1一9一（2）或圖1一12.

公理2是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定相交平面的交線的方法.

下面請同學(xué)們思考下列問題（用幻燈顯示）：

問題1：經(jīng)過空間一個(gè)已知點(diǎn)A可能有兒個(gè)平面？

問題2：經(jīng)過空間兩個(gè)已知點(diǎn)A、B可能有兒個(gè)平面?

問題3：經(jīng)過空間三個(gè)已知點(diǎn)A、B、C可能有幾個(gè)平面？

（教師演示圖1—10給學(xué)生看，學(xué)生思考后回答，教師歸納）.這說明，經(jīng)

過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，即公理3,其條件、結(jié)論分別是

什么？

生：條件是：不在同一直線上的三點(diǎn)（A、B、C）,結(jié)論是：過這三點(diǎn)（A、B、C）

有且只有一個(gè)平面（a）.

加條件赫力C隹直線AB,結(jié)論我示為，存在平面，使

ACa,BGa,CGa,圖形表示為圖1-13,公理3是確定平面位置的依

據(jù)之一.

圖1-13

以上三個(gè)公理是平面的基本性質(zhì).其中公理2和公理3中的“有且只有一個(gè)”有

兩層含義，在數(shù)學(xué)中，“有一個(gè)”是說明“存在”、但不唯一；“只有一個(gè)”是

說明“唯一”，但不保證圖形存在.也就是說，如果有頂多只有一個(gè).因此，在

證明有關(guān)“有且只有一個(gè)”語句的命題時(shí)，要證明兩個(gè)方面——存在性和唯一性.

B.推論

師：確定一個(gè)平面的依據(jù)，除公理3外，還有它的三個(gè)推論.

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.說出推論

1的條件和結(jié)論.

生：條件是：?條直線和直線外一點(diǎn)，結(jié)論是：經(jīng)過這條直線和這一點(diǎn)有且只有個(gè)

平面.

卯（板節(jié)）?已知?宜券及A營如

求證：經(jīng)過a和A有且只有一個(gè)平面.

證明：“存在性”即存在過A、a的平面，在直線a上任取兩點(diǎn)B、C.

圖1-14

：A/&BE&CE4

:.A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上.

.?.過A、B、C三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面a（公理3）.

ABEa,CCa.

.".aca（公理i）.

即過直線a和點(diǎn)A有一個(gè)平面a.

“唯一性”，假設(shè)過直線a和點(diǎn)A還有一個(gè)平面B.

'."ac0.BEa.CGa,

.,.BeB,CG3.

過不共線三點(diǎn)A、B、C有兩個(gè)平面a、p,這與公理3矛盾.

假設(shè)不成立，即過直線a和點(diǎn)A不可能還有另一個(gè)平面B,而只能有一個(gè)平

面a.

這里證明“唯一性”時(shí)用了反證法.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.

其條件、結(jié)論分別是什么？

生：條件是：兩條直線相交，結(jié)論是：經(jīng)過這兩條直線有且只有一-個(gè)平面.

師（板書）：已知：直線an直線b=A.

求證：經(jīng)過a、b有且只有一個(gè)平面.

證明：“存在性”.

在a、b上分別取不同于點(diǎn)A的點(diǎn)B、C,得不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C,

則過A、B、C三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面a（公理3）.

Aa,B￡a,A￡a,B￡a,

.".ABcaflPacG（公理1）.

國理buQ.

...平面a是經(jīng)過相交直線a、b的一個(gè)平面.

“唯一性”.

設(shè)過直線a和b還有另一個(gè)平面B,則A、B、C三點(diǎn)也一定都在平面B內(nèi).

過不共線三點(diǎn)A、B、C就有兩個(gè)平面a和B.

平面a與平面B重合.

過直線a、b的平面只有一個(gè).

這里證明唯一性時(shí)，用的是“同一法”.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.（證明作為思考題）

C.練習(xí)

1.下面是一些命題的敘述語（A、B表示點(diǎn)，a表示直線，a、8表示平面）

A.VAea,Bda,AABea.

B.Va^a,B，；?aGB=a.

C.VAC&aua,.".Atfa.

D.■?'A筆a,auQ,

其中命題和敘述方法都正確的

是.[

2.下列推斷中，錯(cuò)誤的是

[]

A.AWLA€a.B€LBGa=>lca

B.AGa,A￡P(guān),BEG,B€BoaflB=AB

C.laa,A￡L=>A?(L

D.A、B、cea,A、B、CGB,且A、B、C不共

線na與B重合.

圖1-16

3.一個(gè)平面把空間分成一部分，兩個(gè)平面把空間最多分成一部分，三

個(gè)平面把空間最多分成一部分.

4.確定經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的平面與