【初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)】2018屆人教版初中數(shù)學(xué)第15章《問(wèn)題與面積方法》競(jìng)賽復(fù)習(xí)

第15章面積問(wèn)題與面積方法

BD_S&ABD

1511★如圖(bMcX(dMe)中直線“尸與直線8c交于點(diǎn)。，則(a

CDS&ACD

(bL(d1(e)中有黑=學(xué)

D

(d)

解析只要作相應(yīng)的高，并運(yùn)用比例即可.

1512★若△/BC中有一點(diǎn)尸，延長(zhǎng)4尸、BP、CP,分別交對(duì)邊于點(diǎn)。E、F，則

歿+歿+空“

DAEBFC

P

BDC

解析如圖，易證空，生=紅竺，竺，三式相加即得結(jié)論.

D4S—BCEBS△ABCFCS^ABC

15.1.3★求證：若點(diǎn)4、B、C、。是一直線上依次的任意四個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)P是直線外一點(diǎn),

mi二sinNAPC,sinZBPDAC-BD

貝IJ有------------------=-------

sinZBPC-sinZ.APDBC?AD

解析如圖，

4C_S4APC_P4PC.sinZAPC

BCSI^SDBrPCCPB-PC-sinZ.BPC

_PAsinZAPC_

~PBsinZBPC，

BD_S&PBD_BPsinNBPD

4D-S^APD―4尸sin/APD'

兩式相乘，即得結(jié)論.

評(píng)注這個(gè)定理叫交比定理，在這里作為例子是為了強(qiáng)調(diào)交比（即上述比值）是一個(gè)重要的

不變量，交比為2時(shí)，四點(diǎn)稱為調(diào)和點(diǎn)列，此時(shí)=，這種情形在幾何中十分

常見(jiàn).

34★★如圖,瞎。,濟(jì)，箓…試用外…表示襄

A

解析用面積比或梅氏定理得出，絲=—!—,于是S△衣=坐5△皿）=S^ABC

QAr（p+l）△整AD281+尸+p尸

以及s△神與s△叱的表達(dá)式，最后算得沁=+、?

SMBC(l+r+pr)(l+p+pq)(l+q+在)

15.1.5**已知E為△/SC的角平分線40上任一點(diǎn),AB、/C延長(zhǎng)線上分別有點(diǎn)A/、N,

CM//BE,BN//CE,求證：BM=CN.

解析如圖，連結(jié)ME、NE.E至AB、/C距離相等，即8￡-sinN48E=CE-sin4CE,

由CM〃BE,BN//CE，有S^BME=S^BEC=SA￡CjV，故g8"?BE?sinZABE=

-CNCEsinZACE,于是BM=CN.

2

15.1.6★★在U/BCD的兩邊和CD上各取一點(diǎn)尸和E，使得NE=CF,4E與CF交于

P,求證：8尸是4PC的平分線.

解析如圖，易知S△仔=；風(fēng)."=5/^3，又AE=CF,故8至4E的距離與8至C尸距

離相等，于是BP平分41PC.

15.1.7★★已知△/8C的邊8C、。、上分別有點(diǎn)。、E、F，且4。、BE、CF共

點(diǎn)，求證：

S&DEFwJ.

S&ABC4

解析如圖，設(shè)竺=勺，—=k,,~^k3,則由塞瓦定理知勺左以=1?

AF'ECBD''

A

又知原式等價(jià)于證明S^FE+SHBFD+SWDC，而江些=竺注=----&------，同理,

S&ABC4S&ABCABAC（1+占）（1+e）

顯也=——勺-----,——占-----，于是問(wèn)題變?yōu)樽C明

S〉A(chǔ)BC（1+k1）（1+左3）S&ABC（1+42）。+后3）

&+k—去分母、考慮尢%刈=1并移項(xiàng)整理得上式等價(jià)于

（1+占）（1+&）（1+無(wú)3）4

用+工+鼠+工+43+'26.這顯然成立，取等號(hào)僅當(dāng)匕=幺=%=1,此時(shí)。、E、F為各

k、k2h

邊中點(diǎn).

15.1.8★在凸四邊形/BCD中，AB=17,8c=7,DA=22,48c=90°,ZBCD=\35°,

求四邊形488的面積.

解析如圖，AC=y/AB2+BC2=7338<22，故本題只有一解（否則N?？赡転殁g角）.

今延長(zhǎng)/8、DC交于E，則△8CE為等腰直角三角形，ZE=24.又作/FLE。，則

AF=EF=1242.

_49239

5四世形4BCF—S4A￡F-SABCE=144-—

22

又DF=y)AD-AF=14,故S^AFD=840.

于是S四邊形g=竽+84應(yīng).

15.1.9★★銳角△N8C中，ZBAC=60°,向外作正與正△/（7￡?,設(shè)8與N8交于

點(diǎn)F,BE與AC交于點(diǎn)G,CD又與BE交于點(diǎn)P,求證：S四邊形.松=^^BPC-

解析結(jié)論轉(zhuǎn)化為SM.C=SMGC，兩邊同時(shí)除以S"BC,轉(zhuǎn)化成線段之比，即求證蕓=半

上式又等價(jià)為4￡=空

BFAG

這是成立的,因?yàn)樽笫?生=2=右式，此處用到了AB〃CE與AC〃BD.

BDAB

15.1.10*在等腰428。中，/8=/。=12,￡、尸分別在兩腰/8、AC±,AE^AF^S,

8尸與C￡相交于點(diǎn)。，四邊形4￡7）產(chǎn)的面積為8,求△Z8C的面積.

FFR9FHDF

解析如圖，連結(jié)EF,設(shè)SADEF=X?易知EF〃BC,-=—=-=—=—

△由BC123CDBD

于是SABED=S△mc=1X,

925

^△5DC~~^X，S梯形E8CF=1X

4

S△AEF=三S梯形EBCF=5尤，又

…4

S^AEF=S~X,故X=§

25

S〉A(chǔ)BC~-V+5x=15.

15.1.11★設(shè)4。、BE、C戶為銳角△/BC的三條高，若EF平分△/BC的三條高，若EF平

分△ABC的面積，求證：

DE'+EF2+FD-=BC-.

解析如圖，由條件知區(qū)里=1,由于△4FE-A4CB,=cosA,

S“BC2ACAB

故cos?4：,,Z-A=45°.

2

又由相似知NFD3=4=NEQC=45。，故NFDE=90。,DE2+EF2+FD2=2EF2.

又AAEF-AABC，得￡￡=任=立，于是2Er2=8Cz,結(jié)論證畢.

BCAB2

★設(shè)/是△/8C內(nèi)心，/在48、BC、C4上的身影分別是乙、M,N,A//延

長(zhǎng)后，交LN于T,ZT延長(zhǎng)后與8c交于0,求證：BQ=CQ.

解析如圖，連結(jié)78、TC,本題等價(jià)于證明SA"B=SA”一

而,由知

SZ.-jn.iToR=2-ABLT-sinZALN,'S.,Tr=-2ACNT-sinZANLAL=AN

"LN=4NL，于是只需證明/8ZT=NC-N7.

由

LT_S&UT_LI?sinNTIL_sin5_ZC

NT一S^NIT~Nl-sin/TIN~sinC-AB'

結(jié)論得證.

15.1.13itr*r★已知：銳角三角形Z8C,向外作正方形4BDE\ACFG,BF、CD交于J,

求證：AJVBC.

解析1如圖（1）,作/H_L8C,我們證明/，、BF、CD共點(diǎn).

(1)

由于力。=7￡48,AF=y/2AC,ADAC=45°+ZJ=ZBAF，故=5讖”，而S會(huì)

-BD-BCsin(B+90°)=-ABBCcosB,SABCF=-AC-BCcosC.

設(shè)CD、AB交于S,BF、"交于T.于《?黑^^^土!

故結(jié)論成立.

解析2如圖（2），設(shè)4/是高，在從I延長(zhǎng)線上分別找點(diǎn)K、K',使8KLCD,CKrlBF.

易知ADBC坐ABAK,AK=BC，同理4K'=8C.△K8C的三條高在Q、CD、8尸直線

上.因此K/、CD、8尸三線共點(diǎn).

KK'

⑵

15.1.14★★★求證：存在一個(gè)面積為1的四邊形N8C。，使形內(nèi)任何一點(diǎn)P,SNAB、S^PBC、

S&P8、S△也，至少有一個(gè)是無(wú)理數(shù)?

解析如圖，作梯形/BCD,AD//BC,AD=a=啦,BC=2-a,4。與BC的距離為1.

則S梯癡8co=1?

AED

設(shè)P是內(nèi)部任一點(diǎn)，則與中至少有一個(gè)是無(wú)理數(shù).

否則，若S△加與S△即c均為有理數(shù)，設(shè)分別為！〃八-n,貝lj'+—%—=1,整理得一個(gè)關(guān)

22a2—a

于“的二次方程，系數(shù)可以是整數(shù).但也決不是這個(gè)方程的根，矛盾.

因此以"。與中至少有一個(gè)是無(wú)理數(shù)?

15.1.15★★設(shè)UABCD中，N/8C=9W90。，點(diǎn)P為其內(nèi)部任一點(diǎn)，求證：

221

PB-+PD-PA-PC=2cot6?舟ABcn.

解析此題用坐標(biāo)法能使解題思路看起來(lái)更加清晰.

如圖，設(shè)8(0,0、C(/7?,0X4(5,/),則。(%7+5,/),于是

PB2+PD2-PA2-PC2

=x2+y2+(x-m-s)2+(y—Z)2-(x-s)2-(y-z)2-(x-m)2-y2

=(加+s)2—nr—s2

=2ms=2?BC-AB-cos6

=2cot0-SjABCD.

15.1.16**四邊形438的兩條對(duì)角線垂直且交于點(diǎn)。，0〃、ON分別與48、力。垂直，

延長(zhǎng)MO、NO,分別與C。、BC交于點(diǎn)尸、0,求證：尸0〃5O.

解析顯然可將待證式改為

BQDP

~CQ~'CP'

由于80二S^BOQ二BOsinNBO。

丁詼-S&coQ-C0,sinNCOQ

_8。sinNOON

CO-sinNNOA

_BO?sinNOADBO-DO

~COsinAADO~AOCO'

同理，竺也是此式.

CP

于是結(jié)論成立.

15117★★已知凸五邊形/8COE滿足/8=8C,CD=DE,48c=150°,NCDE=30。,

30=2,求五邊形/8CZ)￡的面積.

解析如圖作點(diǎn)C關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)K，于是4B=KB,EDKD，分別作乙4BK和NKZM

的角平分線，設(shè)交于點(diǎn)〃，則加8、分別垂直平分/K、EK,則點(diǎn)M是LAKE的外

心.

又由于

ZMBD=-ZABC=15°,

2

NMDB=LNCDE=15。,

2

因此ZBMD=90°.

又由于HK〃MZ）,EK//BM，因此/KJ.KE，點(diǎn)〃為RtZ\4KE斜邊/E的中點(diǎn).

由AABM坐/\KBM,/\MKD"MED，以及△8CQ合△BKD得

S五達(dá)影ABCDE=2s■

為求心期。，只需注意NMDB=15。，BD=2，因此作點(diǎn)3關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)"（圖中未畫(huà)

出）,相4BMD坐LB'MD,于是

S五邊形ABCDE=2S&BMD=

=—x2x2xsin3O°

2

=1.

15.1.18**凸四邊形48。。中，￡\歹分別在43、BC上，DE、。產(chǎn)將4C三等分，且

S&ADE=S&CDF=~^S五邊形ABCD,求證：48=CD.

解析如圖，連結(jié)8。、BP、BQ.

由S△皿=S△加，S△加=S，8（這是因?yàn)锳P=QC）知：

S&APE=52叱,

由于"=C0，故如〃即.因此痣=喘，亦即沁=沁?由知，

匕6卜H'&DEB、4DFB

S&DEB=S^DFB,

而SAADE=S^DCF=[S/BCD故

S&ADE-SADCF=S&DE8~^ADFB，

因而E、F為4B、8c中點(diǎn).由此可得0F、尸E分別為△CP8、△NQB的中位線，即

QF//PB,PE//QB.

因此四邊形。08尸為平行四邊形，所以

OP=OQ,OD=OB,

而4P=CQ,故

OA=OC,

由此得四邊形/8CQ為平行四邊形，故43=CD.

15.1.為△NBC的內(nèi)心，與、￡分別為/3、NC的中點(diǎn).43與CJ延長(zhǎng)線交于巴，

AC延長(zhǎng)線與BJ延長(zhǎng)線交于C2（如圖），S^BC=S-BC，求N4

解析設(shè)/C=b,AB=c,AB2-C,ACf,BC=a,內(nèi)切圓半徑為r.

be

由—sinZ=S4.c=S△力8c=----sin力得

2Z.i/lxJv￡i/fO2'--22

be=b'c.

矛AB{?AC2b'r

而S^BGA~-TTT*ABC=寶?+b+c)?

-AB?AC2b2

又S95~S^AiB、+S〉A(chǔ)K：2=5,.AB[=],°.所以

Z?z+—=(t74-/>4-c)-—,

22h

即

be=(a-b+c),b'.

同理，對(duì)△4G層用同樣的方法可得：

be=(a+b-c)?c’.

兩式相乘，利用bci"得：

be=a2—b2—c2+2hc,

即a2=h2+c2-he=h2+c2-2歷cosA.

所以cosA=—,A=60°.

2

求S四邊形

15.1.20★★已知C￡\5。為直角三角形45C(乙4=90。)的角平分線，交于F

S叢BCF

解析設(shè)=c由內(nèi)角平分線性質(zhì),有言=?故?b

"a+b，

,BE=c-AE=-^-

a+ba+b

；abc

于是S&cBE=BEb

2(a+6)

a+b缶

而空=4——,故

FEBEc

CF「a+b

CEa+b+c'

_a+babc

Q&BCF一,i,

a+b+c2(〃+b+c)

同前面類似的算法可得:AD=-^-,故

a+c

be

S四邊形

22a+ca+b

abc(a+b+c)

2(a+6)(。+c)

222

禾Ij用a=h+c,

S2BCF(a+b)(a+c)

/+〃+c?+2ab+2bc+2ca

a2+ab+ac+bc

2a2+2ah+2ac+2bc汽

i=2.

+ah+ac+be

15.1.21★★點(diǎn)尸為正三角形48C內(nèi)一點(diǎn)，PZ=q,PB=b,PC=c，試用〃、6、c表示工力院?

解析分別把△ZPC、/\APB、ACPB繞點(diǎn)4、B、。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得4、B\C三

點(diǎn)，則△4/M'、/\BPB'、△C7V是邊長(zhǎng)分別為〃、b、c的正三角形，而APB'C

與△NCP是邊長(zhǎng)各為a、b、c的全等三角形，最終得治枷=且面+〃+/)+

15.1.22★在凸四邊形/8C。中有一點(diǎn)尸，滿足用?$△〃￡■，求證：點(diǎn)P在

該四邊形的對(duì)角線上.

解析顯然P在對(duì)角線上時(shí)，上述結(jié)論成立.今用反證法，若點(diǎn)尸不在對(duì)角線上時(shí)，如圖，

不妨設(shè)/C與8。交于點(diǎn)O,又不妨設(shè)點(diǎn)尸位于△BOC的內(nèi)部.此時(shí)，80與4尸有一交點(diǎn)，

記為E.

E

BC

由題設(shè)得

S&BPC_S&APBBE

S&DPCS&APD~DE

于是由面積比知點(diǎn)E、P、C共線.這樣一來(lái)，點(diǎn)/、C均在EP直線上，點(diǎn)戶就在4C上，

與假設(shè)矛盾.

15.1.23★★自△ABC的頂點(diǎn)引兩條射線交邊BC于X、Y,^,ZBAX=ZCAY，求證：

BXBYAB-?u+

-------=-7.又，反之如何？

CXCYAC-

解析如圖，由N歷!X=NC4y,得

BX=S“BX_ABAX

CY~S^ACY~AC-AY

又N8/y=44C,故

BY=S^ABY_ABAY

CX~S^ACX~ACAX

兩式相乘,即得等晉AB1

7c1

反之，若斯，BY=與，作外接圓，分別交、AC于E、F則BE-B4=BX-BY,

CXCYAC2

CFCA=CXCY，代入得吧=金一得EF"BC，但X、八F、E共圓，故四邊形EXXF

CFAC

為等腰梯形，圓周角NE4￥和ZFAY所對(duì)弧相等，由于其和小于NA4Cv180。，故

NE4X=NFAY.

15.1.24*★★已知正三角形45c內(nèi)一點(diǎn)尸，至（I8C、04、A8的射影分別是。、E、F,

求證：AF+BD+CE-BF+AE+CD；LAFP、△8P。和△€1「￡：和面積和等于△/8C的

一半.

解析如圖，易知AF—BF=P￡P(guān)B；

AB

2y

PC1-PA2

CE-AE=

CA

三式相加即得結(jié)論/尸+8D+CE=8尸+/E+C。.

又過(guò)P作MN〃BC,QR//AB,ST〃AC.M、T在上，0、S在.BC上，N、R在NC

上.易知△77>M、△尸QS和△2/??均為正三角形，四邊形/Tn?、MPQB、SCNP均為平行

四邊形,記S&APR=S&APT=S],S4TPF=S,WPF=S[,S&PMB~$△008=邑，5△/)℃=S&PSD=$4,

SAPSC=S&PCN=，5，S&PNE=S&PRE=S6,則S&AFP+$△&?￡>+$△?>￡=^?+5,+S3+S4+S5+S6

=2SAABC?

15.1.25★★已知：凸五邊形N8CDE中，AE//BD,CE//AB,P、0分別是BE、CD中

點(diǎn)，R在BE上,AR//PQ,求證：S&BCR=.

解析如圖，設(shè)8c中點(diǎn)為S,連結(jié)PS、QSJi]PS//AB,SQ//AE,NSPQ=NBAR,

ZSQP=NRAE.

設(shè)肛CE交于。，則”E，…，普懸瑞嚼Mg噴普

0EBD

=^BDE_故BE.s=RE-S△的，1S.BCR=—S.BCE=—S.BDE=S.DER.

￡5'ZAZJCBL\DiJCL\DLKREdm匕BEdBD匕L\Ut,K

△BCE

15126★凸四邊形ABC。中，對(duì)角線相交于E,M、N分別為/8、CD的中點(diǎn)，連結(jié)MN,

交AC于G,交BD于F,K、S分別為8c中點(diǎn)，KS分別與ZC、BD交于P、Q,

求證：S4EGQ=$4升.

解析如圖（圖中點(diǎn)尸、。未畫(huà)出）連結(jié)MK、NK則以,NK￡^AC以XEFG

-△MAW,fi—=—，同理生=處，于是在aEGO與△￡"中，NFEP與NGEQ互

EGACEPAC

補(bǔ)，EF.EP=EG.EQ，于是以屆。

15.1.27**已知產(chǎn)為△48C內(nèi)一點(diǎn)，NPAB=NPBC=NPCA=a,求證：

4s△”8c

解析如圖，由余弦定理P82=p/2+c2_2Pz.c.cos=P/2+c2_4s△加?cota,同理

222222

PC=PB+a-4S^BPC-cota,PA=PC+b-4S^APC-cota,三式相加，得

22

0=a-+ft+c-4-cot(z'+S^BPC+S^APC),

此即

a2+b2+c2

cota=---------------

4sA曲c

15.1.28*Z\/8C中，AH是高,N8/C=45°,BH=2,CH=3,求S?

解析設(shè)/”=〃.分兩種情況討論，一種8、。在”兩側(cè)，另一種8、C在，同側(cè).

B、C在H兩側(cè)時(shí)，8C=5，于是由面積，/81C-sin45o=5力，即+4）（必+9）=5〃,

得/-37店+36=0,得力=1或6"=1時(shí)，ABAC>Z.BAH>45°,不合要求；故6=6,

S/XMC=；x5x6=15.

B、C在〃同側(cè)時(shí)，8C=1,同樣由面積公式，45?4C?sin45o=/7，即

行+4）（川+9）=/1,得力4+11〃2+36=0,無(wú)解.

15.1.29ilr*r★設(shè)矩形的邊8C、8上分別有點(diǎn)E、F，滿足△/跖是正三角形，求

證：

S^ECF=S&AHE+SAAFD?

解析如圖，設(shè)△/￡■尸邊長(zhǎng)為a.NEFC=6.

取0,^QAF=2ZFAD,ZQAE=2Z.EAB,AQ=a，連結(jié)/0、EQ、FQ,AQ^EF

交于R，延長(zhǎng)EC至P,EC=CP，連結(jié)FP，則以.=；￡尸?尸P-sinNEFP=；/sin26.

又易知SAABE+S4AFD=5s△/￡。+-S^AFQ=-S^^AEQF=—?AQ-￡,Fsin/.ARE=

-a2sinNARE.于是只要證明sinZARE=sin28即可.

4

事實(shí)上,ZARE=Z.QAF+60°=2(ZFAD+90°)-120°=2ZAFC-120°=2(6^+60°)-120°

=2夕于是結(jié)論成立.

15.1.30***已知正三角形/8。邊長(zhǎng)為1,。在8c上，BQ=4CQ,尸在上，

ZBPC=120°,求/尸的長(zhǎng).

C

解析如圖，作尸。、PE、尸尸分別與8C、C4、48垂直，設(shè)PE=x,由一^二

S^ACP

些二4,得尸尸=4x.

CQ

又由條件,知43尸=60。一/尸5C=NPCB,同理，/ACP=NPBC,故

PF_sinZABP_sinZBCP_PD

而一sinNCBP-sinZACP一話

7■又

于是PD-2x.由-S&ABC=S&ABP+S^BCP+S/^c/P=/（X+2入,+4x）

h^APPQ2X5

AR=—,AR.LBC故——=1———=1A----=-

2AQAQAR7

4i491

由于/8=NC=1,BQ=-,CQ=-,tSiAQ2=AB2-BQCQ=\——=—,于是

552525

AP=^AQ=--.（見(jiàn)題9.2.3.）

15.1.31★用正弦定理證明三角形面積公式

$△=篝=2R?sin/sin5sinC=1/?2（sin2/+sin28+sin2C）.

這里a、b、c為△NSC的三邊長(zhǎng)，R為△48C的外接圓半徑.

解析

又q=27?sin4,b=27?sinB,c=27?sinC，代入得

2

5A=2RsinAsinBsinC.

又找到外心o,則

S^ABC=S(\OAB+Sz)BC+SMKJA

=gR?(sin2A+sin2B+sin2C).

評(píng)注最后的結(jié)果中，S△.外S&OBC、s△⑼可能取負(fù)值，但不影響結(jié)論.

15.1.32★★★已知U48C。,M、N分別在力。、ABk,5^^=^,SA/fA/Af=S2,SACAV

=$3,試用S|、S2sS3表示S2CMN?

解析如圖（a）作PMQJ_CQ，尸、。在直線48、CQ上，設(shè)SLLS,又設(shè)=〃，

z

MQ=h",AN=a,BN=b，貝lj2s2=4〃,2S3=b(h+/?),2s1=(〃+b)/?',

因此〃=至_,“=2%一空,于是有

aba

…修-訃九

展開(kāi)得3邑+&-$2-21=51.

ba

解得(—S'+S「S3土小(S3-52-S])~+4s2s3所

記4=X，則SaY+q—S,-S1)x—S,=0

x=25；.

b

2

以S=(a+b)(h+h')=2s3(1+x)=St+S2+S)±yj(St+S2-S3)+4S2S3.

因?yàn)镾>E+S2+S3,故根號(hào)前應(yīng)取“+”號(hào)，于是

解析2如圖（b）,延長(zhǎng)CM、B4交于K,連結(jié)1C,設(shè)$二比=$摻8=；$須8=5,則

S"CN=S-S、、于是有_^_=叢皿=必=坐=配"=號(hào)二色.解出S,以下同解析

SYS”CNKCAD//sS

1.

K

15.1.33*已知4/8。面積為1,。、E分別在邊8c上，且3O=CE=-丁、F、M在邊48

Ai,FD//ME//AC,N、G在邊ACh,EG//DN//AB，若ME、ND交于P,求S^PFG.

解析如圖，由于生=%，，型=3,故/G〃BC,且尸G=±8C.

ABBC5AC55

又作PK,8c，交尸G于S，則PS為△尸F(xiàn)G的高.

設(shè)4至8。距離為〃,則由△PDE-A48C,知空=變=3.又叫=!■，故SK=t，于

hBC5CA55

是PS——h.所以S&PFC——FG-PS——,一■BC—h——S4,——.

5°2255258由BC25

15.1.34★已知△18C的三邊長(zhǎng)分別為°、b、c,面積為S;△力‘8'C’的三邊長(zhǎng)分別為/、

b\c',面積為S',且。>a',b>b',c>c',則S與S'的大小關(guān)系一定是()

A.S>S'B.S<Sf

C.S=S'D.不確定

解析構(gòu)造AABC與AAB'C'如下：

(1)作,顯然

即S>S'.

（2）設(shè)a=b=Viol,c=20,〃'=//=c'=10，貝ll兒=1,S=10,S'=x100>10，即

有S<S'.

（3）設(shè)a=b=J101,c=20,a'-b'->/29,c'=10，則S=10,h'c-2,S'=10，即有S=S'.

因此，S與S'的大小關(guān)系不能確定.應(yīng)選（D）.

15135★★用長(zhǎng)為1、4、4、5的線段為邊作梯形，求這個(gè)梯形的面積.

解析（1）當(dāng)梯形的上底為1,下底為5時(shí)，兩腰長(zhǎng)均為4,得等腰梯形（如圖（a）所示）.

作ZEJ.8C交8c于E,DF工BC交BC于F，易知EF=1,且8E=BC=2.由勾股定理可

得AE=ylAB2-BE2=2G.所以

S|j影“pc。=3（4D+8C）?AE

=-（1+5）-2>/3=6A/3.

2

（2）當(dāng)梯形的上底為1,下底為4時(shí)，兩腰分別為5和4,得直角梯形（如圖（b）所示）.

過(guò)力作交8C于E,易知CE=1,4E=OC=4,從而B(niǎo)E=3.根據(jù)勾股定理的逆

定理可知，4￡8=90。.所以

S梯形小=；（1+4>4=10.

（3）若用長(zhǎng)為1的線段作梯形的腰，則無(wú)法完成符合條件的梯形.

15.1.36★★在直角三角形/BC中，N8=60。，ZC=90°,48=1,分別以“8、BC、CA

為邊長(zhǎng)向外作等邊三角形△N8R、XBCP、△。。，連結(jié)。及交于點(diǎn)T,求△PR7的

面積.

解析由題設(shè)得8C=；,AC=；,N0/7=9O°,NQCP=150°,尸、8、R三點(diǎn)共線.

因?yàn)镾△的」"?/?！?7-/。=更47，而^L，所以％陋=更/7.即

△④224SA.ab4

S/M8=$△，?!!■，從而="7,于是

S4PRT=QSAPQR

二2(SAABC+S&ABR+S4BCP+SMAQ+S4CPQ-SEAQR)

V3V337373

4----1---4------1-----

214161616

9#)

~32

15.1.37★設(shè)點(diǎn)E、F、G、H分別在面積為1的四邊形Z5CZ）的邊力8、BC、CD、DAk,

曰AE_BF_CG=也=左（*是正數(shù)），求四邊形E/G”的面積.

'EB~'FC~'GDHA

解析如圖，連續(xù)/C、80.易知

H

AEB

S&DHG_DHDG

S&ACDDA-DC

_k___1___k

-7+T?+T-u+1)2

因此

=

SADHG伏+])2S&DAC?

同理BAC■

s△眄=而7”

所以

S&DHG+S&BEF~(卜+34DAC+SBAC)

_k。k

一"訪7四邊物8"一語(yǔ)記.

同理可證S&AEH+S&CFG=伏+1『-

所以

S四邊形EFCH

+

=S四邊形/BCD—(S&AKH+S&BEF+SKCFGt\DHG)

-2k/+i

-~a+i)2-a+i)2'

15.1.38★如圖，在△/BC中，DE//AB//FG，且尸G到。E、48的距離之比為1:2.若

△/BC的面積為32,△CDE的面積為2,求△CFG的面積S.

解析由。E〃〃尸G知，MDE。ACAB-4CFG,所以

CD=[S△物一[Z=l

CANs：丫324'

又由題設(shè)知￡2=1,所以

FA2

FD_1

~AD~3"

1131

FD=-AD=-x-AC=-AC,

3344

故FD=DC,

15.1.39*★★凸四邊形43C。中，點(diǎn)N在邊CO上3N與ZC交于點(diǎn)",若"L,且

ACCD

S^ABC=1,5的=3,S.e=4,求證：點(diǎn)M、N分別為4c與CO的中點(diǎn)?

解析如圖，由于工88>5△,，延長(zhǎng)C8、D4交于0.

,貝心=三』也也絲=9,故X=1,3%

設(shè)$&ABQ=x

S&ABCBCS&BCD4

又代MR〃CD,R在4。上,連結(jié)RN、RC,RC與MN交于S,則”=也=處,故

CDACAD

AC//RN,四邊形M/WC為平行四邊形，S為火。的中點(diǎn).

于是8s為△CQR的中位線，故MN為△力CD之中位線，故M、，分別為/C、CD的中

點(diǎn).

2

15140★★已知，ZA8C=90。，。在ZC上,且電變=?_求證：BD^S..BC.

BC+BDCD

解析如圖，設(shè)",CD=b,NC=6*,則由條件知=

A

+AD-BD,止匕即S-a)8O=a(a+6)cos9-b(a+6)sin8,于是

(b-a)2BD2=(a+b)2(acos0-bsin0)2

=(Q+b)2(a2cos20+b2sin20-2Q%COS6sin0),

注意acos。即。至48距離，bsin。即。至8C距離，故有/8§2。+62$由2夕=802，代入

上式，W[(a+b)2-(a-b)2]BD2=2ab(a+Z>)2cos^sin0,

1

即BD=；(。+bfcos(9?sin6=；.8C=S^ABC.

15.1.41★★點(diǎn)K、M分別是凸四邊形/8CZ)的邊/B、CO的中點(diǎn)，點(diǎn)乙、N分別在8C、

上使四邊形KLMN為平行四邊形，證明：鼠地面BQ=2S.8.

解析如圖，S-=2S-

h

當(dāng)4?！?c時(shí)，MK為中位線，于是2s△KML=MK?Q，〃為力。至6c距離，此正是

-7V

QS四邊形WBCD＞于是$四邊形A8CZ）-40nKLMN?

若/。與8c不平行，設(shè)/。、8c中點(diǎn)分別為N'、1，四邊形亦為平行四邊形,NL、

NZ'的中點(diǎn)都是KW之中點(diǎn)，若N與N'不重合，則Z,與￡'也不重合（否則LV、LV'的中

點(diǎn)不是同一點(diǎn)）,因此NZ'與M,相互平分，NN'〃LL',即AD〃BC，與4D、3c不平

行矛盾.所以乙、N是BC、的中點(diǎn)，此時(shí)易證S四邊陷8CD=2$MM心

15.1.42★★已知UABCD,E、尸分別在8C、CQ上，P、0、R分別為ZE、EF、AF

的中點(diǎn)，求證：BP、CQ、OH三線共點(diǎn).

解析如圖，設(shè)BP、。式延長(zhǎng)后交于。，如能證明OC平分EE，貝lj6P、CQ、OR即共點(diǎn).

易知S^AOD+S^BOC=3'ABCD~^^AOB+^^COD

又S&BOE=SAOB?S^AOD=S4DOF

于是,SXBOC=3sqABCD-S^BOE—S^AQD=—SABCD—S^AQB—S&DOF=^FOC?故結(jié)論成立.

15.1.43★★已知凸四邊形Z8CD的邊40、8c上各有一點(diǎn)0、P，滿定告=罟,AP與

BQ父于M,CQ與DP交于N,求證：S四邊形QMPN=S^AMB+S^DNC,

解析如圖，/問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求證S/*x0c/izD+工i尸sr乂.

下證此式：

記坐=cc=則由定比分點(diǎn)，在

QDBP

SgQC=]+〃S△彳8c+]S4BCD

~S&APB+S.DP?

15.1.44★已知：/XABC中，40是角平分線，E、尸分別在、ZC上，且

NEDB=NFDC=NBAC,求證：BE=CF,并用AABC三邊表示贏邊曲的.

S&ABC

解析如圖，由4DBE-/\ABC-ADFC,得

BE=BC—,

AB

CF=BC—.

AC

于是些二處0￡=故8七=6

CFCDAB

ac42

又設(shè)△NBC的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為a、b、,則BD,BE=

b+cb+c'

2

_BE?BDaIABC，同理S/SW=

S^(SAABC，故

'△BED=ABBC、AABCb+c

S四邊形,4￡P(guān)尸(6+C)2-2/

S/^ABCS+C)2

15.1.45**已知448。,AB=AC=\0,E.。在ZC上，8。=OE=4,AABE=ZDBC,

求S&ABC?

解析如圖，設(shè)/ABE=/DBC=e,/EBD=/BED=a,則N4=a—6.

A

由三角形內(nèi)角和，a-6>+2(26?+a)=180°，得a+6?=60°.S△9=；xl0x4xsin60°=log,

AD=yjAB2+BD2-AB-BD=2M.

由_4c得

S^ABD4D

SA_.=-^=-10V3=—757.

2M19

15.1.46★★★已知△N8C,N&4c=60：=2/C.點(diǎn)尸在△N8C內(nèi)，使得=G,

PB=5,PC=2,求△NBC的面積.

解析如圖，作△/BQ-ZUCP,由于48=2ZC,故相似比為2,于是

AQ=2AP=2y/3,BQ=2CP=4.

NQAP=NQAB+NBAP

=ZPAC+ZBAP=ZBAC=60°,

結(jié)合/Q:/P=2:l知，ZAPQ=90°,于是尸Q=K/P=3.

所以BP2=25=BQ2+PQ：從而ABQP=90°.于是

AB2=PQ2+(AP+BQ)2=28+873,

故

SA/fSC=^S-JCsin60°

82

15.1.47★已知矩形488,E、F分別在8C、CDh,AE=4,EF=3,4F=5，若5/、小=

S△陽(yáng)+$△的，求矩形N8CZ)的面積.

解析如圖易知4EF=90。AABEMECF.設(shè)AB=x,BE=y則CE==x,CF=-y,

33

DF=x----y,AD=y+—x

44

由條件，知

展開(kāi)得x=y=,BC=-1V2,

S矩形,￡)=2>/2x—\/2=14.

15.1.48★★一個(gè)凸四邊形的邊長(zhǎng)依次為〃、b、c、d,兩條對(duì)角線相交所成的銳角為。，

求該四邊形的面積(用〃、b、c、”和。表示).

解析如圖，不妨設(shè)48=a,BC=b,CD=c,DA=d,4c與BD交于O,/AOD=?

(<90°)，則由四邊形的“余弦定理”(見(jiàn)題13.1.7):

cos”3T

2ACBD

于是

S四邊形.BD,sin