人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章第一節(jié)空間幾何體學(xué)案

第一節(jié)空間幾何體考試要求：1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，會描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2．知道柱、錐、臺、球的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題．3．能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形及其簡單組合體的直觀圖．自查自測知識點(diǎn)一多面體的結(jié)構(gòu)特征1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但底面不是平行四邊形．(×)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分是棱臺．(×)(4)底面是正方形的直棱柱是正四棱柱．(√)(5)棱臺的側(cè)面一定不是平行四邊形．(√)2．關(guān)于棱錐、棱臺的說法不正確的是(D)A．棱錐的側(cè)面一定是三角形B．棱臺的上底面和下底面互相平行C．棱臺的各側(cè)棱延長線相交于一點(diǎn)D．棱錐的側(cè)棱一定相等3．(教材改編題)如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是(C)A．四棱臺 B．四棱錐C．四棱柱 D．三棱柱核心回扣多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形注意點(diǎn)：(1)臺體可以看成是由錐體截得的，且截面一定與底面平行．(2)常見的幾種四棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其之間的關(guān)系：自查自測知識點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)夾在圓柱的兩個平行平面之間的幾何體是圓柱．(×)(2)直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐．(×)(3)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐會得到一個圓錐和一個圓臺．(√)(4)圓錐的母線相交于一點(diǎn)．(√)(5)圓臺的軸截面是等腰梯形．(√)2．下列說法正確的是(A)A．半圓面繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體是球B．不過球心的平面截球所得截面不是圓面C．球的直徑垂直于每一個截面D．與球心距離相等的兩個截面平行3．已知直角梯形ABCD，現(xiàn)繞著它的較長底CD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括()A．一個圓柱、一個圓錐B．一個圓柱、兩個圓錐C．一個圓臺、一個圓柱D．兩個圓柱、一個圓臺A解析：繞較長底CD所在直線旋轉(zhuǎn)時(shí)，直角梯形ABCD可分割成一個矩形和一個直角三角形，矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱，直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐，所以所得幾何體為一個圓柱、一個圓錐．核心回扣1．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線相互平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_圖矩形扇形扇環(huán)2．球的截面的性質(zhì)(1)球的任何截面都是圓面．(2)球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面．(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r的關(guān)系為r2＝R2－d2．自查自測知識點(diǎn)三立體圖形的直觀圖(多選題)下列說法正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍然相等B．相等的線段在直觀圖中不一定相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行BD解析：由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長度都有可能改變，而線段的平行性不變．故選BD．核心回扣斜二測畫法畫出的直觀圖中，(1)x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直．(2)平行于x軸、z軸的線段長度不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?3)原圖形中平行的線段仍然平行．自查自測知識點(diǎn)四圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式1．若圓柱的側(cè)面展開圖是長12cm、寬8cm的矩形，則這個圓柱的體積為()A．288πcm3 B．192πC．288πcm3或192πcm3 C解析：當(dāng)圓柱的高為8cm時(shí)，V圓柱＝π×12×8＝288π(cm3)；當(dāng)圓柱的高為12cm時(shí)，V圓柱＝π×82π2×12＝核心回扣1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l自查自測2．軸截面是正三角形的圓錐叫做等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的()A．4倍 B．3倍C．2倍 D．2倍D解析：由已知得l＝2r，所以S側(cè)S底＝π核心回扣2．幾何體的側(cè)面積是指(各個)側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和．3．當(dāng)圓臺的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí)，得到圓柱；當(dāng)圓臺的上底面半徑為零時(shí)，得到圓錐．由此可得S圓柱側(cè)＝2πrlr'=rS圓臺側(cè)＝π(r＋r′)lr'自查自測知識點(diǎn)五空間幾何體的表面積與體積公式1．正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為()A．20＋123 B．282C．563 D．D解析：作出圖形，連接該正四棱臺上、下底面的中心，如圖．因?yàn)樵撍睦馀_上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺的高h(yuǎn)＝22-2下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，所以該棱臺的體積V＝13h(S1＋S2＋S1S2)＝13×2×2．已知一張邊長為2的正方形紙片繞著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)π4A．2π B．π＋8C．2π＋8 D．4π＋8C解析：由題意得形成的幾何體是底面半徑r＝2，高h(yuǎn)＝2的圓柱的八分之一，所以其表面積S＝18(2πrh＋2πr2)＋2×22＝18(2π×2×2＋2π×23．如圖，把一個長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體的體積的比為．1∶47解析：設(shè)該長方體的長、寬、高分別為2a，2b，2c，則該棱錐的體積為V1＝13×12ab×c＝16abc.因?yàn)樵撻L方體的體積為V＝8abc，所以剩下的幾何體的體積為V2＝V－V1＝476abc，所以該棱錐的體積與剩下的幾何體的體積的比為V1∶V2＝16abc∶4．若正四棱錐的底面邊長和高都為2，則其表面積為．4＋45解析：由題意知底面正方形的邊長為2，正四棱錐的高為2，則正四棱錐的斜高為22+12＝5.所以該四棱錐的側(cè)面積S側(cè)＝4×12×2×5＝45，所以S表＝2×核心回扣空間幾何體的表面積與體積公式表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底·h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝13S底·臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝13h(S上S上S下＋球(半徑R)S＝4πR2V＝43π注意點(diǎn)：(1)常用幾何體的展開圖解決表面距離最值問題．(2)求體積的常用方法：分割、補(bǔ)形、等體積法．【常用結(jié)論】1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理)．(3)等底等高的柱體是錐體的體積的3倍．2．直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖＝24S原圖形或S原圖形＝22S應(yīng)用1如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的體積為26，則三棱錐A-A1BC的體積為()A．6 B．6C．263 C解析：VA-A1BC＝VA1-ABC＝13VABC-應(yīng)用2如圖，平行四邊形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝5，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，則原圖形的面積為．102解析：在平行四邊形O′A′B′C′中，O′A′＝5，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，所以平行四邊形O′A′B′C′的面積為S′＝O′A′·O′C′·sin30°＝5×2×12所以原平面圖形的面積為S＝22S′＝22×5＝102.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與直觀圖1．下列命題中正確的是()A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱C．不存在每個面都是直角三角形的四面體D．棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等B解析：根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等，故A不正確；因?yàn)閮蓚€過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面，故B正確；如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形，故C不正確；棱臺的上、下底面相似且對應(yīng)邊平行，各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等，故D不正確．2．已知水平放置的四邊形OABC按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，則原四邊形OABC的面積為()A．322 C．42 D．52B解析：如圖1，過點(diǎn)O′作O′D′⊥B′C′，可得O′C′＝2.把直觀圖還原為原圖形如圖2，可得原圖形為直角梯形，OA∥CB，OA⊥OC，且OA＝1，BC＝2，OC＝22，可得原四邊形OABC的面積為12×(1＋2)×22＝32圖1圖23．如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為1，則在圓柱側(cè)面上從A出發(fā)經(jīng)過母線BB1到達(dá)A1的最短距離為．2π2+1解析：把圓柱側(cè)面沿母線AA1剪開，展開為一個矩形AA1因?yàn)锳M＝2π×1＝2π，NM＝2，所以所求最短距離為AN＝AM2+NM2空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．(2)在斜二測畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半，原圖形面積與直觀圖面積的關(guān)系：S直觀圖＝24S(3)在解決空間折線(段)最短問題時(shí)，一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．空間幾何體的表面積與體積考向1空間幾何體的側(cè)面積與表面積問題【例1】(1)(2024·威海模擬)已知三棱錐的三條側(cè)棱長均為2，側(cè)面有兩個是等腰直角三角形，底面為等腰三角形，且其底邊上的高為5，則這個三棱錐的表面積為()A．4＋33+15 B．4＋3C．4＋3+15 C解析：結(jié)合題目邊長關(guān)系，三棱錐如圖所示，AB＝AC＝AD＝2.由題意設(shè)△ABC，△ACD是等腰直角三角形，則BC＝CD＝22，CE＝5，BE＝BC2-CE2＝3，BD＝23則表面積為S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＝12×2×2＋12×2×2＋12×23×1＋12×2(2)陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一．圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中B，C分別是上、下底面圓的圓心，且AC＝3AB＝3BD，則該陀螺下半部分的圓柱的側(cè)面積與上半部分的圓錐的側(cè)面積的比值是．22解析：設(shè)AB＝BD＝m，則AD＝2m，圓錐的底面半徑r＝m.因?yàn)锳C＝3AB＝3m，所以BC＝2m，則圓柱的側(cè)面積S1＝2πr·BC＝4πm2，圓錐的側(cè)面積S2＝πr·AD＝2πm2故S1S2＝4空間幾何體表面積的求解策略(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積注意銜接部分的處理．考向2空間幾何體的體積問題【例2】(1)把一個鐵制的底面半徑為4，側(cè)面積為163A．32 B．C．2 D．6C解析：因?yàn)閷?shí)心圓柱的底面半徑為4，側(cè)面積為163π，所以圓柱的高為163π2π×4＝23，則圓柱的體積為V＝π×42×23＝323(2)(2024·煙臺模擬)如圖1，在高為h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC．現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好為△A1B1C(如圖2)，則容器的高h(yuǎn)為()A．3 B．4C．42 D．6A解析：在題圖1中，V水＝12×2×2×2＝4，在題圖2中，V水＝VABC-A1B1C1-VC-A1B1C1＝12×2由水的體積相等，得43h＝4，所以h求空間幾何體體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式求解割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積1．(2024·濰坊模擬)如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個圓心角為60°的扇形．把該圓錐截成圓臺，已知圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為13A．8π3 C．16π3C解析：設(shè)圓錐的半徑為R，母線長為l，則R＝1.設(shè)圓臺的上底面半徑為r，母線長為l1，則r＝13．由已知可得，π3＝2πRl＝2πl(wèi)，所以l＝6.如圖，作出圓錐、圓臺的軸截面，則有l(wèi)-l1l＝rR＝13，所以2．棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1-D1MN的體積為．1解析：如圖，由正方體的棱長為2及M，N分別為BB1，AB的中點(diǎn)，得S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32．又易知D1A1為三棱錐D1-A1MN的高，且D1A1＝2，所以VA1-D1MN＝VD1-A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝13．(2023·新高考全國Ⅰ卷)在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，則該棱臺的體積為．766解析：(方法一)如圖，設(shè)點(diǎn)O1，O分別為正四棱臺ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，連接B1D1，BD，則點(diǎn)O1，O分別為B1D1，BD的中點(diǎn)，連接O1O，則O1O是正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高，過點(diǎn)B1作B1E⊥BD，垂足為E，則B1E＝O1因?yàn)锳B＝2，A1B1＝1，所以O(shè)B＝2，O1B1＝22，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝22．又AA1＝2，所以BB1＝2，B1E＝BB12-BE2＝2-12＝62，所以O(shè)1O＝62，所以V正四棱臺ABCD-A1B1C1D1＝13(方法二)如圖，將正四棱臺ABCD-A1B1C1D1補(bǔ)全為正四棱錐P-ABCD．因?yàn)锳B＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分別為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)．又A1A＝2，所以PA＝22，即PB＝22.連接BD，取BD的中點(diǎn)為O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，易知BO＝2，所以PO＝PB2-BO2＝6，所以正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高為62，所以V正四棱臺ABCD-A1B1C1D1＝13×(22＋12＋與球有關(guān)的切、接問題【例3】(1)《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作，其中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個直角圓錐的側(cè)面積為42πA．83π C．16π D．32πB解析：如圖，設(shè)球的半徑為R，圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則l2＋l2＝4r2，所以l＝2r.因?yàn)橹苯菆A錐的側(cè)面積為42π，所以πrl＝πr·2r＝42可得r＝2，l＝2r＝22，圓錐的高BO1＝l2-r由r2＋(2－R)2＝R2，解得R＝2，所以該球的體積V＝43πR3＝43π(2)(2024·棗莊模擬)在三棱錐A-BCD中，對棱AB＝CD＝22，AD＝BC＝5，AC＝BD＝5，則該三棱錐外接球的體積為，內(nèi)切球的表面積為．92π23π解析：因?yàn)槿忮FA-BCD每組對棱的棱長相等，所以可以把三棱錐A-BCD放入長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為x，圖1則x2+y2＝22，x2+z2＝外接球的直徑2R＝x2+y2+所以該三棱錐外接球的體積為43πR3＝三棱錐A-BCD的體積V＝xyz－16xyz×4＝13xyz＝在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝22，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，如圖2所示，圖2則CE⊥AB，且CE＝AC2-AE2＝3，所以S△ABC＝12因?yàn)槿忮FA-BCD的每個面的三邊長分別為5，5，2所以三棱錐A-BCD的表面積為S＝4S△ABC＝46.設(shè)三棱錐A-BCD的內(nèi)切球的圓心為O，半徑為r，則三棱錐A-BCD的體積V＝VO-ABC＋VO-ADC＋VO-BCD＋VO-ABD＝13r·S△ABC＋13r·S△ADC＋13r·S△BCD＋13r·S△ABD＝13Sr，可得r＝3V所以該三棱錐內(nèi)切球的表面積為4πr2＝23處理與球有關(guān)的切、接問題的策略(1)構(gòu)造正(長)方體等特殊幾何體轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的外接球問題．(2)空間問題平面化，把平面問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，作出適當(dāng)?shù)慕孛?過球心、接點(diǎn)等)．(3)利用球與截面圓心的連線垂直于截面，確定球心所在的直線．(4)正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合．1．已知一個三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個體積為4πA．63 B．123C．183 D．243C解析：設(shè)球的半徑為R，由已知得43πR3＝4π3，所以R＝1，所以三棱柱的高h(yuǎn)＝2R＝2.設(shè)正三棱柱的底面邊長為a，則其內(nèi)切圓的半徑r＝13×32a＝1，解得a＝23，所以這個三棱柱的表面積為3a·2R＋2×2．在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB＝BD＝2.已知動點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱AD上一點(diǎn)到點(diǎn)B的最短距離為10，則該棱錐的外接球的體積為．82π3解析：在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB＝BD＝2，所以∠ADB＝45°，∠ADC將三棱錐A-BCD沿棱AD展開，如圖1所示．圖1設(shè)CD＝x，即C′D＝x，由題意知C′B＝10，∠BDC′＝∠ADB＋∠ADC′＝135°.在△C′BD中，由余弦定理得C′B2＝C′D2＋BD2－2C′D·BDcos135°，整理得x2＋2x－8＝0，解得x＝2或x＝－4(舍去)．將三棱錐A-BCD補(bǔ)成長方體如圖2所示，圖2三棱錐A-BCD的外接球即為長方體的外接球，則長方體的外接球的半徑為12×22+所以三棱錐的外接球的體積為V＝43π·(2)3＝[試題呈現(xiàn)]正四面體ABCD的體積為4，O為其中心，正四面體EFGH與正四面體ABCD關(guān)于點(diǎn)O對稱，則這兩個正四面體公共部分的體積為()A．3 B．8C．2 D．4[四字程序]讀正四面體ABCD的體積為4，O為其中心，正四面體EFGH與正四面體ABCD關(guān)于點(diǎn)O對稱，求兩個正四面體公共部分的體積想點(diǎn)O的位置，公共部分的形狀算正四面體外接球的半徑，公共部分幾何體的體積思空間想象能力、割補(bǔ)法計(jì)算體積、類比推理在幾何問題中的應(yīng)用[一題多解]思路參考：對棱相等的四面體可以通過構(gòu)造長方體(正方體)，把四面體的相關(guān)計(jì)算問題放到長方體(正方體)中解決，利用整體與局部的長度、面積、體積關(guān)系簡化運(yùn)算．C解析：將正四面體放入正方體中，可知公共部分是以正方體各個面的中心為頂點(diǎn)的一個正八面體，如圖所示．設(shè)正方體的棱長為a，則a3＝4＋4×16a3，所以a3＝12，故正八面體的體積V＝2×13×22a2×a2思路參考：根據(jù)正四面體的對稱性確定公共部分幾何體的形狀，利用公共部分幾何體的截面確定小四面體與原四面體的體積比，從而確定公共部分與原四面體的體積關(guān)系解決問題．C解析：由正四面體的性質(zhì)知，中心O將高分成的兩部分的比值為3∶1，底面中心O1關(guān)于O的對稱點(diǎn)O2是AO1的中點(diǎn)．公共部分的一個面為△MNQ(M，N，Q是所在棱的中點(diǎn))，如圖所示．VA-MNQ＝18VA-BCD＝12，于是所求公共部分的體積V＝4－4VA-思路參考：運(yùn)用類比的方法巧妙的得出所求部分幾何體與原幾何體的體積關(guān)系，運(yùn)算簡潔．C解析：圖1圖2如圖1，正三角形關(guān)于中心對稱后公共部分是在原三角形基礎(chǔ)上去掉三個小三角形，利用類比的方法可得：正四面體關(guān)于中心對稱后的公共部分是在原正四面體上去掉四個小正四面體．如圖2，底面BCD對稱后經(jīng)過AH的中點(diǎn)，由此可得相似比為12，則所求體積為V－4×V8＝課時(shí)質(zhì)量評價(jià)(三十二)1．如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，A′O′＝6，B′O′＝2，則線段AB的長度為()A．210 B．410C．213 D．413C解析：因?yàn)椤鱋′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，所以△OAB是直角三角形，且兩條直角邊長為OA＝6，OB＝4，斜邊AB的長為OA2+OB2＝36+162．(數(shù)學(xué)與生活)某同學(xué)有一個形如圓臺的水杯如圖所示，已知圓臺形水杯的母線長為6cm，上、下底面圓的半徑分別為2cm和4cm.為了防燙和防滑，水杯配有一個杯套，包裹水杯23A．24πcm2 B．25πcm2C．683πcm2 D．76D解析：根據(jù)題意，杯套的形狀可看作一個圓臺，且該圓臺的母線長是圓臺形水杯的母線長的23，即6×2下底面圓的半徑是2＋23×2＝103(cm)，則圓臺的側(cè)面積S1＝2+103×4π＝圓臺形水杯的下底面面積S2＝4π(cm2)，故杯套的表面積S＝S1＋S2＝643π＋4π＝7633．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝4，EF＝2，△BCF，△ADE都是等邊三角形，則五面體ABCDEF的體積為()A．4113 C．8113 B解析：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，F(xiàn)S⊥CD于點(diǎn)S，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，連接HS，GQ，將五面體的體積轉(zhuǎn)化為兩個相同的四棱錐和一個三棱柱的體積之和，則V五面體ABCDEF＝2V四棱錐F-BCSH＋V三棱柱HSF-GQE.過點(diǎn)F作FM⊥HS于點(diǎn)M，則易知FM⊥平面ABCD,FM2＝FH2－HM2＝FB2－HB2－HM2＝11，所以FM＝11，所以V四棱錐F-BCSH＝13×4×1×11＝4113，V三棱柱HSF-GQE＝12×4×11×2＝411，故V五面體ABCDEF＝8114．(2024·福州模擬)已知圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的側(cè)面積為．910π解析：圓臺的下底面半徑為5，故下底面的圓心與球心重合，如圖所示．設(shè)球的球心為O，圓臺上底面的圓心為O′，則圓臺的高OO′＝OQ2-O'Q2＝52-425．(2024·1月九省適應(yīng)性測試)已知軸截面為正三角形的圓錐MM′的高與球O的直徑相等，則圓錐MM′的體積與球O的體積的比值為，圓錐MM′的表面積與球O的表面積的比值是．231解析：設(shè)圓錐MM′的底面半徑為r,球O的半徑為R因?yàn)閳A錐MM′的軸截面為正三角形，所以圓錐MM′的高h(yuǎn)＝3r，母線l＝2r.由題意可知h＝2R，所以球O的半徑R＝32r所以圓錐MM′的體積V1＝13×πr2×3r＝33π球O的體積V2＝43πR3＝43π×32r所以V1V2＝3圓錐MM′的表面積S1＝πrl＋πr2＝3πr2，球O的表面積S2＝4πR2＝4π×32r2＝3πr所以S1S26．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1cm，高為5cm，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長為cm.61解析：如圖，把三棱柱的側(cè)面展開兩次可得對角線最短，則最短路線的長為62+57．如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，點(diǎn)M，N分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則棱錐B-AMNC的體積為．13V解析：如圖，連接AN對于三棱錐B-ACN，B-AMN，顯然它們等底同高，故VB-ACN＝VB-AMN.因?yàn)閂B-ACN＝VN-ABC，CN＝C1N，所以三棱錐N-ABC的高是三棱柱ABC-A1B1C1的高的一半，且都以△ABC為底面，故VN-ABC＝13×12V＝16V，故VB-AMNC＝2×16V8．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接