人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章第六節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征學(xué)案

第六節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征考試要求：1．了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量的分布列．2．理解并會(huì)求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．(1)在離散型隨機(jī)變量的概率分布列中，各個(gè)概率之和可以小于1.(×)(2)若X是隨機(jī)變量，則Y＝aX＋b(a，b為常數(shù))也是隨機(jī)變量．(√)(3)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出，X25P0.30.7則它服從兩點(diǎn)分布．(×)2．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示()A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次D解析：因?yàn)榧住⒁覂扇讼孪笃?，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故{ξ＝3}表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．3．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，則正面向上的次數(shù)X的所有可能取值是0，1，2．4．(教材改編題)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X－101P0.51－2qq2則常數(shù)q＝．1－22解析：由分布列的性質(zhì)得0.5＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－22或q＝1＋22(核心回扣1．隨機(jī)變量(1)隨機(jī)變量：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．(2)離散型隨機(jī)變量：可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，我們稱為離散型隨機(jī)變量．(3)字母表示：通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量；用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值．注意點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能取值為實(shí)數(shù)，其實(shí)質(zhì)代表的是“事件”，即事件是用一個(gè)反映結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的．2．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列．(2)表示方法：①表格；②概率分布圖．(3)性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1．3．兩點(diǎn)分布：X的分布列如下表所示．X01P1－pp稱X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的均值與方差1．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101P111則E(X)的值為．－13解析：E(X)＝－12＋0＋162．籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球得分的規(guī)則：命中得1分，不中得0分．已知某籃球運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.9，設(shè)其罰球一次的得分為X，則X的方差D(X)＝.0.09解析：由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1.因?yàn)镻(X＝1)＝0.9，P(X＝0)＝1－0.9＝0.1，所以E(X)＝1×0.9＋0×0.1＝0.9，D(X)＝(1－0.9)2×0.9＋(0－0.9)2×0.1＝0.09.3．甲、乙兩名工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y，其分布列如下：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是．乙解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(Y)＜E(X)，故乙的技術(shù)較好．4．已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示，X01Pa2a則D(X)＝．29解析：由隨機(jī)變量X的分布列，得0≤a≤1(方法一)E(X)＝0×13＋1×23＝23，D(X)＝0?232×13＋1?(方法二)因?yàn)閄服從兩點(diǎn)分布，所以D(X)＝23×1?235．(教材改編題)隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，若P(X＝0)＝15，E(X)＝1，則D(X)＝25解析：設(shè)P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由題意得0×15+p+2q=1，15+p+q=1，解得p＝35，q＝15，所以D(X)＝15×(0－1)2＋35×核心回扣1．離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望．(2)意義：均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．注意點(diǎn)：E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量X是可變的，可取不同的值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài)．2．離散型隨機(jī)變量的方差(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn我們稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為Var(X)，并稱DX為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)．(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義：隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散．3．若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p；則D(X)＝p(1－p)．【常用結(jié)論】若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.應(yīng)用1(多選題)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有()A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2ACD解析：由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)，得q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，則E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8.因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝22D(X)＝7.2.故選ACD.應(yīng)用2已知離散型隨機(jī)變量X的取值為有限個(gè)，E(X)＝72，D(X)＝3512，則E(X2)＝916解析：因?yàn)镋(X)＝72，D(X)＝3512，由D(X)＝E(X2)－(E(X))2，得E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝3512＋7離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)1．設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X01P9a2－a3－8a則實(shí)數(shù)a的值為()A．13 B．C．13或23 D．－1A解析：由分布列的性質(zhì)可知0≤9a2?a2．(2024·濟(jì)寧模擬)已知隨機(jī)變量X的概率分布為P(X＝n)＝ann+1(n＝1，2，3，…，10)，則實(shí)數(shù)a＝1110解析：依題意，P(X＝n)＝a·1n?1n+1，由分布列的性質(zhì)得P(X＝n)＝a1?12+123．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求η＝|X－1|的分布列；(2)求P(1＜2X＋1＜9)．解：(1)由題意易知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.由X的分布列可知η＝|X－1|的取值為0，1，2，3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，所以η＝|X－1|的分布列為η0123P0.10.30.30.3(2)由1＜2X＋1＜9，解得0＜X＜4，故P(1＜2X＋1＜9)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.1＋0.1＋0.3＝0.5.離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值．(2)利用“離散型隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．離散型隨機(jī)變量的均值與方差【例1】(1)已知隨機(jī)變量X，Y滿足Y＝2X＋1，且隨機(jī)變量X的分布列如下：X012P11a則隨機(jī)變量Y的方差D(Y)＝()A．59 B．C．43 D．B解析：由分布列的性質(zhì)，得a＝1－16－13＝12，所以E(X)＝0×16＋1×13＋2×12＝43，所以D(X)＝0?432×16＋1?432×13＋2?432×12＝59．又Y＝2(2)(2024·1月九省適應(yīng)性測(cè)試)盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球．①求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；②記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．解：①記“取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件M，先確定3個(gè)不同數(shù)字的小球，有C4然后不同數(shù)字的小球各取1個(gè)，有種取法，所以P(M)＝＝47．②由題意可知，X的可能取值為1，2，3，當(dāng)X＝1時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為1的小球、有兩個(gè)數(shù)字為1的小球，所以P(X＝1)＝＝914；當(dāng)X＝2時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為2的小球、有兩個(gè)數(shù)字為2的小球，所以P(X＝2)＝＝27；當(dāng)X＝3時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為3的小球、有兩個(gè)數(shù)字為3的小球，所以P(X＝3)＝＝114．所以X的分布列為X123P921所以數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×914＋2×27＋3×114求離散型隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)字特征的方法(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值．(2)求X取每個(gè)值的概率．(3)寫出X的分布列．(4)由均值的定義求E(X)．(5)由方差的定義求D(X)．(6)涉及形如Y＝aX＋b(a，b為非零常數(shù))的期望、方差時(shí)，注意應(yīng)用性質(zhì)求解．為準(zhǔn)備元旦聯(lián)歡晚會(huì)，某班設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球游戲的表演節(jié)目：在一個(gè)紙盒中裝有紅球、黃球、白球、黑球各1個(gè)，這些球除顏色外完全相同，每次不放回地摸出1個(gè)球，若摸到黑球，則停止摸球，否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止．規(guī)定摸到紅球表演2個(gè)節(jié)目，摸到白球或黃球表演1個(gè)節(jié)目，摸到黑球不用表演節(jié)目．(1)求A同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率；(2)記X為A同學(xué)摸球后表演節(jié)目的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望、方差．解：(1)設(shè)“A同學(xué)摸球三次后停止摸球”為事件E，則P(E)＝A32A故A同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率為14(2)隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，P(X＝0)＝14P(X＝1)＝2A42P(X＝2)＝1A42＋AP(X＝3)＝C21AP(X＝4)＝A33A所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P11111E(X)＝0×14＋1×16＋2×16＋3×16＋4×D(X)＝(0－2)2×14＋(1－2)2×16＋(2－2)2×16＋(3－2)2×16＋(4－2)2×均值與方差在決策問題中的應(yīng)用【例2】(2024·泰安模擬)某公司為活躍氣氛提升士氣，年終擬通過抓鬮兌獎(jiǎng)的方式對(duì)所有員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的鬮的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)鬮，鬮上所標(biāo)的面值之和為該員工獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額．(1)若袋中所裝的4個(gè)鬮中有1個(gè)所標(biāo)的面值為800元，其余3個(gè)均為200元，求：①員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為1000元的概率；②員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)額的預(yù)算是人均1000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)鬮只能由標(biāo)有面值200元和800元的兩種鬮或標(biāo)有面值400元和600元的兩種鬮組成．為了使員工得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)鬮的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由．解：(1)設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為X，①P(X＝1000)＝C31C所以員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為1000元的概率為12②X所有可能的取值為400，1000，P(X＝400)＝C32CP(X＝1000)＝1－P(X＝400)＝12所以X的分布列為X4001000P11E(X)＝400×12＋1000×12＝所以員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望為700元．(2)根據(jù)公司預(yù)算，每個(gè)員工的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為1000元，所以先尋找期望為1000元的可能方案．對(duì)于面值由800元和200元組成的情況，如果選擇(200，200，200，800)的方案，因?yàn)?000元是面值之和的最大值，所以期望不可能為1000元；如果選擇(800，800，800，200)的方案，因?yàn)?000元是面值之和的最小值，所以期望不可能為1000元，因此可能的方案是(800，800，200，200)記為方案1.對(duì)于面值由600元和400元組成的情況，同理排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案，所以可能的方案是(400，400，600，600)記為方案2.對(duì)于方案1，設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，X1可取400，1000，1600.P(X1＝400)＝C22C42＝16，P(X1＝1000)＝C21A22C42所以X1的期望為E(X1)＝400×16＋1000×23＋1600×16方差D(X1)＝(400－1000)2×16＋(1000－1000)2×23＋(1600－1000)2×1對(duì)于方案2，設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，X2可取800，1000，1200，P(X2＝800)＝C22C42＝16，P(X2＝1000)＝C21A22C42所以X2的期望為E(X2)＝800×16＋1000×23＋1200×16方差D(X2)＝(800－1000)2×16＋(1000－1000)2×23＋(1200－1000)2×16由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額都符合預(yù)算要求，但方案2的方差比方案1的方差小，所以應(yīng)選擇方案2.利用期望與方差進(jìn)行決策的方法(1)若我們比較兩個(gè)隨機(jī)變量的差別時(shí)，可先求隨機(jī)變量ξ1，ξ2的期望，當(dāng)E(ξ1)＝E(ξ2)時(shí)，需要用D(ξ1)，D(ξ2)來進(jìn)一步比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的偏離程度，從平均水平和離散程度兩個(gè)方面進(jìn)行比較．(2)若我們希望比較穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近．(2021·新高考全國Ⅰ卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列．(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？說明理由．解：(1)由題意，X的可能取值為0，20，100，則P(X＝0)＝0.2，P(X＝20)＝0.8×0.4＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)由(1)得，先回答A類問題的期望E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.設(shè)先回答B(yǎng)類問題累計(jì)得分為Y，Y的可能取值為0，80，100，則P(Y＝0)＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×0.2＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48則E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因?yàn)镋(Y)＞E(X)，所以應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(六十六)1．(2024·聊城模擬)袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是()A．至少取到1個(gè)白球B．至多取到1個(gè)白球C．取到白球的個(gè)數(shù)D．取到的球的個(gè)數(shù)C解析：選項(xiàng)A，B表述的都是隨機(jī)事件，選項(xiàng)D是確定的值2，并不隨機(jī)；選項(xiàng)C是隨機(jī)變量，可能取值為0，1，2.2．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值E(X)＝3，則a－b＝()A．110 B．C．－110 D．A解析：由題意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1.又X的均值E(X)＝3，則(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.聯(lián)立10a+4b=1，30a+10b=3，解得a＝110，b＝0，所以a－3．(2024·棗莊模擬)口袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)大小和形狀完全相同的小球，從中任取2個(gè)球，記取出的球的最大編號(hào)為X，則D(X)＝()A．29 B．C．227 D．A解析：由題意得X的可能取值為2，3，X＝2包含的事件為取出的兩個(gè)球?yàn)?，2，所以P(X＝2)＝1C32X＝3包含的事件為取出的兩個(gè)球?yàn)?，3或2，3，所以P(X＝3)＝2C32E(X)＝2×13＋3×23＝D(X)＝22×13＋32×23－832＝4．(多選題)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P(X＝0)＝13，E(X)，D(X)分別為隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是(A．P(X＝1)＝E(X)B．E(3X＋2)＝4C．D(3X＋2)＝4D．D(X)＝4AB解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P(X＝0)＝13，所以P(X＝1)＝2E(X)＝0×13＋1×23＝23，D(X)＝0?232×13＋1?對(duì)于A，P(X＝1)＝E(X)，故A正確；對(duì)于B，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×23＋2＝4，故B對(duì)于C，D(3X＋2)＝32D(X)＝9×29＝2，故C對(duì)于D，D(X)＝29，故D錯(cuò)誤．故選5．設(shè)隨機(jī)變量X滿足P(X＝i)＝k2i(i＝1，2，3)，則k＝；P(X≥2)＝8737解析：由已知得隨機(jī)變量X123Pkkk所以k2＋k4＋k8＝1，解得k所以隨機(jī)變量X的分布列為X123P421所以P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝27＋17＝6．某射擊運(yùn)動(dòng)員共有三發(fā)子彈，他射擊一次命中目標(biāo)的概率是23，擊中目標(biāo)后射擊停止，射擊次數(shù)X為隨機(jī)變量，則方差D(X)＝3881解析：由題意知X＝1，2，3P(X＝1)＝23，P(X＝2)＝13×23＝29，P(X＝3)＝13×13×23＋1所以X的分布列為X123P221所以E(X)＝1×23＋2×29＋3×19(方法一)所以D(X)＝1?1392×23＋2?1392×29＋3?(方法二)E(X2)＝1×23＋4×29＋9×19＝239，所以D(X)＝239－7．“摸獎(jiǎng)游戲”是商場(chǎng)促銷最為常見的形式之一，某摸獎(jiǎng)游戲的規(guī)則如下：第一次在裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的A袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，第二次在裝有1個(gè)紅球、1個(gè)白球、1個(gè)黑球的B袋中隨機(jī)取出1個(gè)球，兩次取球相互獨(dú)立，兩次取球合在一起稱為一次摸獎(jiǎng)，取出的3個(gè)球的顏色與獲得的積分對(duì)應(yīng)如下表：所取球的情況三球同色三球均不同色其他情況所獲得的積分100600(1)設(shè)一次摸獎(jiǎng)所獲得的積分為X，求X的分布列和期望；(2)記甲在這次游戲中獲得0積分為事件M，甲在B袋中摸到黑球?yàn)槭录﨨，判斷事件M，N是否相互獨(dú)立，并說明理由．解：(1)X的可能取值有100，60，0，P(X＝100)＝C22C42×13＋P(X＝60)＝C21A22P(X＝0)＝1－P(X＝100)－P(X＝60)＝23所以X的分布列為X100600P122所以E(X)＝100×19＋60×29＋0×23(2)由(1)可知P(M)＝23又P(N)＝13，P(MN)＝2×C22C4則P(MN)≠P(M)P(N)，所以事件M，N不相互獨(dú)立．8．某投資公司在2024年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和2項(xiàng)目二：通信設(shè)備．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為35，13和針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由．解：若投資“項(xiàng)目一”，設(shè)獲利為X1萬元，X1的所有可能取值為300，－150，則X1的分布列為X1300－150P72所以E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29若投資“項(xiàng)目二”，設(shè)獲利X2萬元，X2的所有可能取值為500，－300，0，則X2的分布列為X2500－3000P311所以E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利的期望值相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該投資公司選擇投資項(xiàng)目一．9．在某次考試中，多項(xiàng)選擇題的給分標(biāo)準(zhǔn)如下：在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，正確選項(xiàng)為其中的兩項(xiàng)或三項(xiàng)，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分．甲、乙、丙三人在完全不會(huì)做某個(gè)多項(xiàng)選擇題的情況下，分別選了A，AB，ABC，則三人該題得分的數(shù)學(xué)期望分別為()A．1，0.8，0.5 B．1.2，0.8，0.6C．1，0.9，0.6 D．1.2，0.9，0.5D解析：由題意得正確選項(xiàng)若為兩項(xiàng)，則有C42＝6(種正確選項(xiàng)若為三項(xiàng)，則有C43＝4(種)可能情況，故正確選項(xiàng)的可能情況共有甲選A，他可能的得分X1為0，2，則他可能得分的情況即正確答案中含有A，有C31+C3故P(X1＝2)＝610＝3則P(X1＝0)＝25故他得分的數(shù)學(xué)期望為E(X1)＝0×25＋2×35＝6乙選AB，他可能的得分X2為0，2，5，若正確答案為AB，即他可能得5分的情況有1種，此時(shí)P(X2＝5)＝110若正確答案為ABC或ABD，他可能得2分的情況有2種，此時(shí)P(X2＝2)＝210＝1則P(X2＝0)＝710故E(X2)＝0×710＋2×15＋5×110＝丙選ABC，他可能的得分X3為0，5，若正確答案為ABC，則P(X3＝5)＝110，P(X3＝0)＝9故E(X3)＝0×910＋5×110＝5即三人該題得分的數(shù)學(xué)期望分別為1.2，0.9，0.5.故選D.10．(多選題)已知投資A，B兩個(gè)項(xiàng)目獲得的收益分別為X，Y，分布列如下表，則()X－102P0.2m0.6Y012P0.30.4nA．m＋n＝0.5B．E(2X＋1)＝4C．投資兩個(gè)項(xiàng)目的收益期望一樣多D．投資A項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)比B項(xiàng)目高ACD解析：依題意可得0.2＋m＋0.6＝1，所以m＝0.2，0.3＋0.4＋n＝1，所以n＝0.3，所以m＋n＝0.5，故A正確；所以E(X)＝－1×0.2＋0×0.2＋2×0.6＝1，則E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3，故B錯(cuò)誤；E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，所以E(X)＝E(Y)，故C正確；因?yàn)镈(X)＝(－1－1)2×0.2＋(0－1)2×0.2＋(2－1)2×0.6＝1.6，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，所以D(X)＞D(Y)，所以投資A項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)比B項(xiàng)目高，故D正確．故選ACD.11．(多選題)隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示，其中xy≠0，下列說法正確的是()ξ012Pxy2yA．x＋y＝1B．E(ξ)＝5yC．D(ξ)有最大值D．D(ξ)隨y的增大而減小ABC解析：由題意可知x＋y3＋2y3＝1，即x＋y＝1，故E(ξ)＝0×x＋1×y3＋2×2y3＝5y3D(ξ)＝x0?5y32＋y31?5y32＋2y32?5y32＝(1－y)0?5y32＋y因?yàn)閤y≠0，x＋y＝1，易得0＜y＜1，而函數(shù)f(y)＝－259y2＋3y的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線y＝27所以f(y)在0，2750上單調(diào)遞增，在2750，1上單調(diào)遞減，故f(y所以D(ξ)隨著y的增大先增大后減小，當(dāng)y＝2750時(shí)，取得最大值，故C正確，D錯(cuò)誤．故選12．游樂場(chǎng)某游戲設(shè)備是一個(gè)圓盤，圓盤被分成紅色和綠色兩個(gè)區(qū)域，圓盤上有一個(gè)可以繞中心旋轉(zhuǎn)的指針，且指針受電子程序控制，前后兩次停在相同區(qū)域的概率為14，停在不同區(qū)域的概率為34．某游客連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)指針三次，記指針停在綠色區(qū)域的次數(shù)為X，若開始時(shí)指針停在紅色區(qū)域，則E(X)＝2716解析：則X的分布列為X0123P121393故E(X)＝0×164＋1×2164＋2×3964＋3×313．(2024·蘇州模擬)設(shè)a，b是從集合{1，2，3，4}中隨機(jī)選取的數(shù)，直線l：y＝ax＋b，圓O：x2＋y2＝1，則直線l與圓O有公共點(diǎn)的概率是；直線l與圓O的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是．5854解析：由已知可得l：ax－y＋b＝0，圓O：x2＋y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑r＝則圓心O(0，0)到直線l的距離d＝ba因?yàn)橹本€l與圓O有公共點(diǎn)，所以d≤1，整理可得a2＋1≥b2.因?yàn)閍，b∈{1，2，3，4}，所以a≥b，則滿足條件的(a，b)可能為(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(3，3)，(4，3)，(4，4)，共包含10個(gè)樣本點(diǎn)，而(a，b)總的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4×4＝16，所以直線l與圓O有公共點(diǎn)的概率是1016＝5設(shè)直線l與圓O的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，由上可知，X＝0，2.當(dāng)a≥b時(shí)，10個(gè)樣本點(diǎn)都滿足a2＋1＞b2，即d＜1，此時(shí)有2個(gè)公共點(diǎn)，所以P(X＝2)＝58，P(X＝0)＝1－P(X＝2)＝3所以E(X)＝0×38＋2×58＝14．甲、乙足球愛好者為了提高球技，兩人輪流進(jìn)行點(diǎn)球訓(xùn)練(每人各踢一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有一人進(jìn)球另一人不進(jìn)球，進(jìn)球者得1分，不進(jìn)球者得－1分；兩人都進(jìn)球或都不進(jìn)球，兩人均得0分．設(shè)甲、乙每次踢球命中的概率均為12，甲撲到乙踢出球