人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例學(xué)案

第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例考試要求：1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題．2．能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題．3．通過解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．自查自測 知識點(diǎn)測量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．(1)東南方向與南偏東45°方向相同．(√)(2)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系．(√)(3)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(×)(4)俯角是鉛垂線與目標(biāo)視線所成的角，其范圍為0，π2．(2．如圖，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長度，工程技術(shù)人員已測得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為km.3解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理ABsinC＝BCsinA，得AB＝BCsinCsinA核心回扣 名稱圖形表示仰角俯角方位角方向角坡角θ坡比i 解三角形的實(shí)際應(yīng)用考向1測量距離問題【例1】(2024·重慶模擬)一個(gè)騎行愛好者從A地出發(fā)，向西騎行了2km到達(dá)B地，然后由B地向北偏西60°騎行23km到達(dá)C地，再從C地向南偏西30°騎行了5km到達(dá)D地，求A地到D地的直線距離．解：如圖，由題意知，∠ABC＝150°，AB＝2km，BC＝23km，∠BCD＝90°.在△ABC中，由余弦定理得AC＝A＝4+12+83×3由正弦定理得sin∠ACB＝Asin∠ABCAC在△ACD中，cos∠ACD＝cos(90°＋∠ACB)＝－sin∠ACB＝－714由余弦定理得AD＝A＝28+25+2×27×5×7所以A地到D地的直線距離是37km.距離問題的類型及解法(1)類型：①兩點(diǎn)間既不可達(dá)也不可視，②兩點(diǎn)間可視但不可達(dá)，③兩點(diǎn)中一點(diǎn)可達(dá)另一點(diǎn)不可達(dá)．(2)解法：選擇合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長問題，從而利用正弦定理、余弦定理求解．考向2測量高度問題【例2】如圖，在熱氣球M上，觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，M到地面的距離MD＝100m．已知∠BAC＝60°，則山的高度BC為m.150解析：依題意可知△AMD是等腰直角三角形，所以AM＝1002m.因?yàn)椤螦MC＝60°，∠BAC＝60°，所以∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，∠ACM＝180°－60°－75°＝45°.在△ACM中，由正弦定理得ACsin60°所以AC＝AMsin45°·所以BC＝AC·sin60°＝AMsin45°·sin260°＝100測量高度問題的求解策略(1)理解仰角、俯角、方向(位)角是關(guān)鍵．(2)在實(shí)際問題中，若遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．1．(2024·煙臺質(zhì)檢)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞．若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為．805解析：在△ADC中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理ACsin得AC＝80sin150°sin15°＝在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理CDsin∠DBC＝得BC＝80sin15°sin30°在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，得AB2＝1600×(8＋43)＋1600×(8－43)＋2×1600×(6+2)×(6?2)×12＝1600×解得AB＝805，故題圖中海洋藍(lán)洞的口徑為805.2．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝m.1006解析：由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600，故由正弦定理得600sin45°＝解得BC＝3002.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006余弦定理、正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用【例3】(2023·新高考全國Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3，D為BC的中點(diǎn)，且AD＝1.(1)若∠ADC＝π3，求tanB(2)若b2＋c2＝8，求b，c.解：(1)(方法一)在△ABC中，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，∠ADC＝π3，AD所以S△ADC＝12AD·DCsin∠ADC＝12×1×12a×32＝38a＝12S△在△ABD中，∠ADB＝2π3，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB即c2＝4＋1－2×2×1×?12＝7，解得c＝7，則cosB＝7+4?12sinB＝1?cos2B＝1?所以tanB＝sinBcosB(方法二)在△ABC中，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，∠ADC＝π3，AD則S△ADC＝12AD·DCsin∠ADC＝12×1×12a×32＝38a＝12S△在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC，即b2＝4＋1－2×2×1×12＝3，解得b＝3因?yàn)锳C2＋AD2＝4＝CD2，則∠CAD＝π2，C＝π如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，于是CE＝ACcosC＝32，AE＝ACsinC＝32，BE＝所以在Rt△ABE中，tanB＝AEBE＝3(2)(方法一)在△ABD與△ACD中，由余弦定理得c整理得12a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，則a＝23又S△ADC＝12×3×1×sin∠ADC＝32，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝所以b＝c＝AD(方法二)在△ABC中，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，則2AD＝AB+又CB＝AB?AC，于是4AD2＋CB2＝(AB+AC)2＋(AB?AC)2＝2(b2＋c2又S△ADC＝12×3×1×sin∠ADC＝3解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝π2所以b＝c＝AD1．求平面幾何中的中線、角平分線問題，通常思路是先找所求的邊、角所在的三角形，再在三角形中通過余弦、正弦定理求邊和角．常用的結(jié)論：(1)在△ABC中，若AD是邊BC上的中線，則AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，AD2＝14(b2＋c2＋2bccosA)．(2)若AD平分∠BAC，則S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，ABAC＝2．三角形面積計(jì)算問題要適當(dāng)選用公式，可以根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化．在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A為鈍角，△ABC的面積為23.(1)若D是BC的中點(diǎn)，求AD的長度；(2)若E是邊BC上一點(diǎn)，AE為△ABC的角平分線，求AE的長度．解：因?yàn)锳B＝2，AC＝4，△ABC的面積為23，所以S△ABC＝12AB·AC·sin∠BAC＝12×2×4×sin∠BAC＝2所以sin∠BAC＝32又∠BAC為鈍角，所以∠BAC＝2π3(1)因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以AD＝12(AB+所以AD2＝14(AB+又AB＝2，AC＝4，∠BAC＝2π3所以|AD|2＝AB2+AC所以|AD|＝3，即AD＝3.(2)因?yàn)锳E為△ABC的角平分線，所以∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC＝π因?yàn)镾△ABC＝S△ABE＋S△ACE，所以12AB·AE·sinπ3＋12AC·AE·sinπ即12×2AE×32＋12×4AE×3所以AE＝43解三角形與三角函數(shù)的綜合問題【例4】△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bc＝a2－c2.(1)若c＝3，且A＝π3，求△ABC(2)求cosA＋sinC的最大值．解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，得a2－c2＝b2－bc.又bc＝a2－c2，所以b＝2c＝23，故S△ABC＝12bcsinA＝3(2)由bc＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＞0，得a＞c，即A＞C，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2－c2＝b2－2bccosA，所以c＝b－2ccosA，即sinC＝sinB－2sinC·cosA．又A＋B＋C＝π，故sinC＝sin(A＋C)－2sinCcosA＝sinAcosC－sinCcosA＝sin(A－C)，由0＜A＜π，0＜C＜π，得C＝A－C或π－C＝A－C(舍)，所以A＝2C，則0＜A＋C＝3C＜π，即0＜C＜π3cosA＋sinC＝cos2C＋sinC＝－2sin2C＋sinC＋1＝－2sinC?14而sinC∈0，所以，當(dāng)sinC＝14時(shí)cosA＋sinC有最大值為9三角形中的范圍問題的兩個(gè)處理思路(1)把目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊的代數(shù)式，結(jié)合基本不等式及三角形邊長間的關(guān)系求解．(2)把目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為單角函數(shù)式，結(jié)合角的范圍求解．(2024·臨沂模擬)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2sinA+1(1)若B＝π6，求C(2)若B∈π6，π解：(1)由2sinA+11?2cosA＝sin所以2sinAcosC＋cosC＝sinC－2cosAsinC，即2sinAcosC＋2cosAsinC＝2sin(A＋C)＝sinC－cosC，所以2sinB＝2sinC?π4＝所以sinC?π4＝因?yàn)镃∈0，5π6，所以C－π4∈?π4，7π12，所以C(2)由(1)知2sinB＝2sinC?π因?yàn)锽∈π6，π4，所以A＋C∈3π4，5π所以B＝C－π4或B＝π－C?π4＝5π4－C，即C＝B＋π4或C因?yàn)锽∈π6，π4，所以當(dāng)C＝5π4－B時(shí)，C∈π，13π所以sinCsinB＝sinB+π4sinB＝因?yàn)閠anB∈33，1，所以1tanB∈[1，3三角形中的存在性問題【例5】(2021·新高考全國Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面積．(2)是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．解：(1)由2sinC＝3sinA及正弦定理，得2c＝3a.又c＝a＋2，所以a＝4，c＝6，所以b＝a＋1＝5，所以cosA＝b2+c2?又A∈(0，π)，所以sinA＝74所以S△ABC＝12bcsinA＝12×5×6×74(2)存在．由題意知c＞b＞a,要使△ABC為鈍角三角形，需cosC＝a2+b2?c22ab＝a2得0＜a＜3.由三角形三邊關(guān)系可得a＋a＋1＞a＋2，可得a＞1，故1＜a＜3.因?yàn)閍為正整數(shù)，所以a＝2.故存在正整數(shù)a＝2，使得△ABC為鈍角三角形．(1)先仔細(xì)審題，明確已知的條件有哪些，供選擇的條件有哪些，設(shè)問是什么．(2)將已知的條件和設(shè)問關(guān)聯(lián)，結(jié)合有關(guān)的概念、公式、定理等進(jìn)行思考，采用多種方式進(jìn)行推理，確定所要選擇的條件具備哪些性質(zhì)．(3)觀察供選擇的條件有哪些，判斷條件選擇后是否有解題思路，進(jìn)而確定所選擇的條件．在①ac＝3，②csinA＝3，③c＝3b三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinA＝3sinB，C＝π6，解：選條件①.由C＝π6及余弦定理得a2+由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2+由此可得b＝c.又①ac＝3，所以a＝3，b＝c＝1.因此，選條件①時(shí)，問題中的三角形存在，此時(shí)c＝1.選條件②.由C＝π6及余弦定理得a2+由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2+由此可得b＝c，B＝C＝π6，A＝2π又②csinA＝3，所以c＝b＝23，a＝6.因此，選條件②時(shí)，問題中的三角形存在，此時(shí)c＝23.選條件③.由C＝π6和余弦定理得a2+由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2+由此可得b＝c.又③c＝3b，與b＝c矛盾．因此，選條件③時(shí)，問題中的三角形不存在．外接圓、內(nèi)切圓的半徑問題【例6】已知在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且滿足bcosC＋3bsinC＝a＋c.(1)若b＝3，求△ABC的外接圓半徑；(2)若a＋c＝43，且BA·BC＝6，求△解：(1)因?yàn)閎cosC＋3bsinC＝a＋c，所以bcosC＋3bsinC－a－c＝0，所以sinBcosC＋3sinB·sinC－sinA－sinC＝0.因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以sinBcosC＋3sinB·sinC－sin(B＋C)－sinC＝0，所以3sinBsinC－cosBsinC－sinC＝0.因?yàn)镃∈(0，π)，所以sinC≠0，所以sinB?π6＝因?yàn)锽∈(0，π)，所以B－π6＝π6，所以B＝設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，所以2R＝bsin所以R＝1.(2)因?yàn)锽A·BC＝6，由(1)可知B＝π3又因?yàn)閎2＝a2＋c2－2accosB，a＋c＝43，可得b＝23.所以S△ABC＝12ac·sinB＝33設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，由S△ABC＝12(a＋b＋c)r＝33，得r正弦定理與三角形外接圓的半徑存在一定關(guān)系，是解三角形中常用策略“邊角互化”的重要轉(zhuǎn)化工具，往往能起到出其不意的效果．在△ABC中，角A，B,C的對邊分別為a,b,c，已知a＝2，且sinA+sin(1)求△ABC的外接圓半徑R；(2)求△ABC的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．解：(1)因?yàn)閟inA+sinBsinC＝b?cb?a，由正弦定理得a+bc＝b?cb?a，即b2由余弦定理，得cosA＝b2+c2?a22bc＝bc2bc＝由2R＝asinA＝232＝43(2)由正弦定理得bsinB＝csinC＝asinA＝2sinπ3＝43，所以b＝由余弦定理，得4＝b2＋c2－2bccosπ3＝(b＋c)2－3bc，所以bc＝b+c利用等面積法可得S△ABC＝12bcsinA＝12(a＋b＋c)則r＝bcsinAa+b+c＝36·b+c2?42+b+c＝＝3＝233sinB+π因?yàn)閍≠b，所以B≠A＝π3，故B∈0，π3∪π3，2π3，則所以sinB+π6∈12，1課時(shí)質(zhì)量評價(jià)(二十七)1．如圖所示，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD＝()A．30° B．45°C．60° D．75°B解析：依題意可得AD＝2010m，AC＝305m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理的推論，得cos∠CAD＝AC2+AD2?CD又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.2．(2024·瀘州模擬)如圖，航空測量的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的海拔高度為10000m，速度為50m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650mB解析：如圖，設(shè)飛機(jī)的初始位置為點(diǎn)A，經(jīng)過420s后的位置為點(diǎn)B，山頂為點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，則∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°.在△ABC中，AB＝50×420＝21000(m)，由正弦定理得ABsin∠ACB＝則BC＝2100012×sin15°＝10500(因?yàn)镃D⊥AB，所以CD＝BCsin45°＝10500(6?2)×22＝10500(3所以山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為10000－7350＝2650(m)．3．(數(shù)學(xué)與生活)我國無人機(jī)技術(shù)處于世界領(lǐng)先水平，并廣泛用于搶險(xiǎn)救災(zāi)、視頻拍攝、環(huán)保監(jiān)測等領(lǐng)域．如圖，有一個(gè)從地面A處垂直上升的無人機(jī)P，對地面B，C兩受災(zāi)點(diǎn)的視角為∠BPC，且tan∠BPC＝13．已知地面上三處受災(zāi)點(diǎn)B，C，D共線，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1km，則無人機(jī)P到地面受災(zāi)點(diǎn)D處的遙測距離PD的長度是()A．2km B．2kmC．3km D．4kmB解析：(方法一)由題意得BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.設(shè)PD＝xkm，記∠PBD＝α，∠PCD＝β，所以tanα＝x2，tanβ＝x所以tan∠BPC＝tan(β－α)＝x?x21+x·x2＝xx又在Rt△PDA中，有PD＞AD，所以x＝2，即PD＝2km.(方法二)由題意知BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.設(shè)PA＝xkm，則PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.由tan∠BPC＝13，可得cos∠BPC＝3在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2x2+5·x2+2·310104．(多選題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，3(acosC＋ccosA)＝2bsinB，且∠CAB＝π3．若點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，DC＝1，DAA．△ABC的內(nèi)角B等于πB．△ABC的內(nèi)角C等于πC．△ACD的面積為3D．四邊形ABCD面積的最大值為53ABD解析：因?yàn)?(acosC＋ccosA)＝2bsinB，由正弦定理得3(sinAcosC＋sinCcosA)＝2sinBsinB，所以sinB＝32，所以B＝π又因?yàn)椤螩AB＝π3，所以∠ACB＝πS△ACD＝12×1×3sinD＝32sinD，由于角在等邊三角形ABC中，設(shè)AC＝x，x＞0，在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD，將DA＝3，DC＝1，代入上式可得x2＝10－6cosD，所以四邊形ABCD的面積S＝S△ABC＋S△ACD＝12x·xsinπ3＋12×1×3sinD＝34x2＋32sinD＝34(10－6cosD)＋32所以當(dāng)D＝5π6時(shí)，四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為55．甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在其北偏東60°方向上的B處，乙船正在以anmile/h的速度向北行駛，已知甲船的速度是3anmile/h，則甲船應(yīng)沿著方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇．北偏東30°解析：如圖所示，設(shè)經(jīng)過th兩船在C點(diǎn)相遇．在△ABC中，BC＝at，AC＝3at，B＝180°－60°＝120°.由正弦定理BCsin∠CAB＝ACsinB，得sin∠CAB＝BCsin因?yàn)?°＜∠CAB＜60°，所以∠CAB＝30°，所以∠DAC＝60°－30°＝30°，即甲船應(yīng)沿北偏東30°的方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇．6．(2023·全國甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝6，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，則AD＝．2解析：在△ABC中，由余弦定理得cos60°＝AC2+4?62×2AC，整理得AC2－2AC－2＝0，得因?yàn)镾△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以12×2ACsin60°＝12×2ADsin30°＋12AC·AD·sin30°，所以AD＝237．如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)，且滿足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝2，則△BCD的面積為．16解析：設(shè)BD＝x，則AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x.因?yàn)椤螦DC＋∠BDC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠BDC，由余弦定理可得9x2+2?2?3x22×2×3x＝－x2+2?2?x22×2×x，解得x＝13，故AD＝1，AC＝1，所以cosA＝8．如圖，在100m高的山頂B處，測得山下一塔頂D與塔底C的俯角分別為30°和60°，則塔高CD＝()A．4003m B．400C．20033m D．D解析：由題圖可知，山高AB＝100m，∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，所以∠BCA＝60°，∠CBD＝30°.在Rt△ABC中，BC＝ABsin∠BCA＝1003在△BCD中，∠CBD＝∠BCD＝30°，則∠BDC＝120°，由正弦定理CDsin30°＝BCsin120°，得CD＝9．(多選題)一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東75°方向，距離126海里，燈塔C在A的北偏西30°方向，距離為123海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東60°方向，下面結(jié)論正確的有()A．AD＝24B．CD＝12C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D．∠CDA＝60°ABD解析：如圖，在△ABD中，B＝45°，由正弦定理得ADsin45°＝則AD＝126在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC·AD·cos30°，因?yàn)锳C＝123，AD＝24，所以CD＝12，故B正確；由正弦定理得CDsin30°＝所以sin∠CDA＝32故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，因?yàn)锳D＞AC，故∠CDA為銳角，所以∠CDA＝60°，故C不正確，D正確．10．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝3π4，cosA＝17，則BC＝4(3－1)解析：在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝64，所以BD＝8，所以cos∠ABD＝AB2+B又因?yàn)锳B⊥BC，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝12又∠CBD∈0，所以cos∠CBD＝1?sin2∠CBD所以sin∠BDC＝sin(∠BCD＋∠CBD)＝sin∠BCDcos∠CBD＋cos∠BCDsin∠CBD＝22×32－22×1在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC＝BDsin∠BCD＝所以BC＝82sin∠BDC＝82×6?2411．如圖，在△ABC中，AB＝2，3acosB－bcosC＝ccosB，點(diǎn)D在線段BC上．(1)若∠ADC＝3π4，求AD(2)若BD＝2DC，△ACD的面