高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)與解三角形第8課時正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例學(xué)案

第8課時正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例[考試要求]能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題．考點(diǎn)一測量距離問題[典例1]如圖，線段CD是某鐵路線上的一條穿山隧道，開鑿前，在CD所在水平面上的山體外取點(diǎn)A、B，在四邊形ABCD中，測得AB＝50m，∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°．(1)試求B、D之間的距離及B、C之間的距離；(2)求應(yīng)開鑿的隧道CD的長．[解](1)在△ABD中，∵∠DAC＝75°，∠CAB＝45°，∴∠DAB＝120°，又∠DBA＝30°，∴∠ADB＝30°，∴△ABD為等腰三角形，∴AB＝AD＝50m．由余弦定理可得BD2＝502＋502－2×50×50cos120°＝502×3，∴BD＝503m．在△ABC中，∠CAB＝45°，∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝30°＋75°＝105°，∴∠ACB＝30°，由正弦定理可得50sin30°∴BC＝502m．(2)在△BCD中，∠DBC＝75°，BC＝502m，BD＝503m，根據(jù)余弦定理可得CD＝BD2+B在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．跟進(jìn)訓(xùn)練1(2024·長沙模擬)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A．102海里 B．103海里C．203海里 D．202海里A[如圖所示，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得BCsin30°解得BC＝102(海里)．]考點(diǎn)二測量高度問題術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角[典例2](1)(2024·重慶沙坪壩質(zhì)檢)在2023年杭州亞運(yùn)會的跳水頒獎禮上，五星紅旗冉冉升起，在坡度15°的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為96米(如圖所示)，則旗桿的高度為()A．9米 B．27米C．93米 D．96米(2)(2024·河南豫南九校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖所示，為測量某不可到達(dá)的豎直建筑物AB的高度，在此建筑物的同一側(cè)且與此建筑物底部在同一水平面上選擇相距10米的C，D兩個觀測點(diǎn)，并在C，D兩點(diǎn)處測得建筑物頂部的仰角分別為45°和60°，且∠BDC＝60°，則此建筑物的高度為()A．103米 B．53米C．10米 D．5米(1)B(2)B[(1)依題意可知∠AEC＝45°，∠CAE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠ACE＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理可知AEsin∠ACE＝∴AC＝AEsin∠ACE·sin∠AEC∴在Rt△ABC中，BC＝AC·sin∠CAB＝183×32(2)設(shè)AB＝x，則BC＝x，BD＝33x在△BCD中，由余弦定理可得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DCcos∠BDC，即x2＝13x2＋100－2×33x×10×整理得x2＋53x－150＝0，解得x＝53或x＝－103(舍)．]在實(shí)際問題中可能會遇到空間與平面(底面)同時研究的問題，解題時要注意山或塔垂直底面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決．跟進(jìn)訓(xùn)練2如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m．1006[由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°解得BC＝3002m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006【教師備用】(2021·全國乙卷)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高．如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB＝()A．表高×表距表目距的差＋表高 B．表高×表距C．表高×表距表目距的差＋表距 D．表高×表距A[因?yàn)镕G∥AB，所以FGAB＝GCCA，所以GC＝FGAB·CA．因?yàn)镈E∥AB，所以DEAB＝EHAH，所以EH＝DEAB·AH．又DE＝FG，所以GC－EH＝DEAB(CA－AH)＝DEAB×HC＝DEAB×(HG＋GC)＝DEAB×(EG－EH＋GC)．由題設(shè)中信息可得，表目距的差為GC－EH，表高為DE，表距為考點(diǎn)三測量角度問題術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是[0，2π)方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北偏東α或南偏西α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：[典例3]一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行(23－2)nmile到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行4nmile到達(dá)海島C．(1)求AC的長；(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，求∠CAB的大小．[解](1)由題意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝23－2，BC＝4，根據(jù)余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24，所以AC＝26(nmile)．(2)根據(jù)正弦定理得，sin∠BAC＝4×322所以∠CAB＝45°．測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形．跟進(jìn)訓(xùn)練3甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，相距a海里的B處，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的3倍，甲船為了盡快追上乙船，朝北偏東θ方向前進(jìn)，則θ等于()A．15° B．30°C．45° D．60°B[如圖，設(shè)兩船在C處相遇，則由題意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且ACBC＝3由正弦定理得ACBC＝sin120°所以sin∠BAC＝12又因?yàn)?°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°，所以甲船應(yīng)朝北偏東30°方向前進(jìn)．故選B．]課后習(xí)題(二十六)正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例1．(人教A版必修第二冊P49例9改編)如圖，在河岸AC測量河的寬度，測量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是()A．a(chǎn)，c，α B．b，c，αC．c，a，β D．b，α，γD[在河岸AC測量河的寬度，則a，c，β不容易測量，a＝bsinαsinβ，β＝π－2．(人教A版必修第二冊P51練習(xí)T1改編)一艘輪船以18海里/時的速度沿北偏東40°的方向直線航行，在行駛到某處時，該輪船南偏東20°方向上10海里處有一燈塔，繼續(xù)行駛20分鐘后，輪船與燈塔的距離為()A．17海里 B．16海里C．15海里 D．14海里D[記輪船行駛到某處的位置為A，燈塔的位置為B，20分鐘后輪船的位置為C，如圖所示．則AB＝10，AC＝6，∠CAB＝120°，所以BC2＝102＋62－2×10×6×-12＝196，所以BC3．(人教A版必修第二冊P50例10改編)如圖所示，D，C，B在地平面同一直線上，DC＝10m，從D，C兩地測得A點(diǎn)的仰角分別為30°和45°，則A點(diǎn)離地面的高AB等于()A．10m B．53mC．5(3－1)m D．5(3＋1)mD[法一：設(shè)AB＝x，則BC＝x．∴BD＝10＋x．∴tan∠ADB＝ABDB＝x10+x＝解得x＝5(3＋1)．∴A點(diǎn)離地面的高AB等于5(3＋1)m．法二：∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°．由正弦定理，得AC＝CDsin∠CAD·＝10sin15°∴AB＝ACsin45°＝5(3＋1)m．]4．(人教A版必修第二冊P49例9改編)如圖，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長度，工程技術(shù)人員已測得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為______km．3[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理ABsinC＝BCsinA，得AB＝BCsinCsinA5．如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點(diǎn)的距離為()A．502m B．503mC．252m D．252A[由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsinB∴AB＝ACsin∠ACBsinB＝6．(2024·合肥檢測)兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°B[由題可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如圖，B正確．]7．(2024·濟(jì)南模擬)如圖，一架飛機(jī)從A地飛往B地，兩地相距500km．飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從A點(diǎn)起飛以后，就沿與原來的飛行方向AB成12°角的方向飛行，飛行到中途C點(diǎn)，再沿與原來的飛行方向AB成18°角的方向繼續(xù)飛行到終點(diǎn)B點(diǎn)．這樣飛機(jī)的飛行路程比原來的路程500km大約多飛了(sin12°≈0.21，sin18°≈0.31)()A．10km B．20kmC．30km D．40kmB[在△ABC中，由A＝12°，B＝18°，得C＝150°，由正弦定理得500sin150°＝BC所以50012≈BC0.21所以AC＝310km，BC＝210km，所以AC＋BC－AB＝20km．]8．(2024·江蘇海安模擬)如圖，某課外活動小組，為測量山高，他們在山腳A處測得山頂B的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡前進(jìn)1000m后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?5°，則此山的高度BC約為()A．1256m B．2506mC．5006m D．10006mB[因?yàn)椤螪AC＝15°，所以∠ADE＝165°，則∠ADB＝360°－165°－75°＝120°．又因?yàn)椤螧AD＝30°－15°＝15°，所以∠ABD＝45°．在△ABD中，由正弦定理，得AB＝ADsin∠ADBsin∠ABD＝在Rt△ABC中，BC＝ABsin30°＝2506m，故山的高度約為2506m．故選B．]9．(多選)某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°，然后沿新方向走了3km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好3km，那么x的值是()A．3 B．23C．3 D．6AB[如圖，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°．由余弦定理得3＝x2＋9－2×3×x×cos30°，解得x＝23或x＝3．]10．(2024·吉林長春模擬)已知輪船A和輪船B同時離開C島，A船沿北偏東30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如圖)．若A船的航行速度為40nmile/h，1h后，B船測得A船位于B船的北偏東45°的方向上，則此時A，B兩船相距________nmile．202[由題意可知∠BCA＝30°，∠ABC＝180°－45°＝135°，AC＝40×1＝40(nmile)，由正弦定理可得ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即ABsin30°11．為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距30m的樓的樓頂C處測得塔頂A的仰角為30°，測得塔基B的俯角為45°，則塔AB的高度為________m．30＋103[如圖所示，依題意∠ACE＝30°，∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30，又AE＝CE·tan30°＝103，所以AB＝(30＋103)m．]12．(2024·江蘇南京質(zhì)檢)如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待