2024屆江蘇省南京鼓樓區(qū)中考四模數學試題含解析

2024屆江蘇省南京鼓樓區(qū)中考四模數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．實數的相反數是（）A． B． C． D．2．下列安全標志圖中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法：①2a+b=0，②當﹣1≤x≤3時，y＜0；③3a+c=0；④若（x1，y1）（x2、y2）在函數圖象上，當0＜x1＜x2時，y1＜y2，其中正確的是（）A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①③④4．數據4，8，4，6，3的眾數和平均數分別是（）A．5，4 B．8，5 C．6，5 D．4，55．二次函數的圖象如圖所示，則一次函數與反比例函數在同一坐標系內的圖象大致為()A． B． C． D．6．如圖，在?ABCD中，∠DAB的平分線交CD于點E，交BC的延長線于點G，∠ABC的平分線交CD于點F，交AD的延長線于點H，AG與BH交于點O，連接BE，下列結論錯誤的是（）A．BO=OHB．DF=CEC．DH=CGD．AB=AE7．某車間20名工人日加工零件數如表所示：日加工零件數45678人數26543這些工人日加工零件數的眾數、中位數、平均數分別是（）A．5、6、5 B．5、5、6 C．6、5、6 D．5、6、68．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線交BC于D，DE是AB的垂直平分線，垂足為E，若BC=3，則DE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．49．某反比例函數的圖象經過點（-2,3），則此函數圖象也經過（）A．（2，-3） B．（-3,3） C．（2,3） D．（-4,6）10．如圖，數軸A、B上兩點分別對應實數a、b，則下列結論正確的是()A．a＋b>0 B．ab>0 C．1a+二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．已知線段AB=2cm，點C在線段AB上，且AC2=BC·AB，則AC的長___________cm．12．如圖，為了測量鐵塔AB高度，在離鐵塔底部（點B）60米的C處，測得塔頂A的仰角為30°，那么鐵塔的高度AB=________米．13．2018年5月13日，中國首艘國產航空母艦首次執(zhí)行海上試航任務，其排水量超過6萬噸，將數60000用科學記數法表示應為_______________.14．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，將△ABC沿射線BC方向平移m個單位得到△DEF，頂點A，B，C分別與D，E，F對應，若以A，D，E為頂點的三角形是等腰三角形，且AE為腰，則m的值是______．15．學校乒乓球社團有4名男隊員和3名女隊員，要從這7名隊員中隨機抽取一男一女組成一隊混合雙打組合，可組成不同的組合共有_____對.16．已知關于x的方程x2+(1-m)x+m三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）如圖所示，在正方形ABCD中，E，F分別是邊AD，CD上的點，AE＝ED，DF=DC，連結EF并延長交BC的延長線于點G，連結BE．求證：△ABE∽△DEF．若正方形的邊長為4，求BG的長．18．（8分）如圖，∠AOB=90°，反比例函數y=﹣（x＜0）的圖象過點A（﹣1，a），反比例函數y=（k＞0，x＞0）的圖象過點B，且AB∥x軸．（1）求a和k的值；（2）過點B作MN∥OA，交x軸于點M，交y軸于點N，交雙曲線y=于另一點C，求△OBC的面積．19．（8分）計算：（﹣4）×（﹣）+2﹣1﹣（π﹣1）0+．20．（8分）已知二次函數y=x2-4x-5，與y軸的交點為P，與x軸交于A、B兩點．（點B在點A的右側）（1）當y=0時，求x的值．（2）點M（6，m）在二次函數y=x2-4x-5的圖像上，設直線MP與x軸交于點C，求cot∠MCB的值．21．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖像交于點和點，且經過點.求反比例函數和一次函數的表達式；求當時自變量的取值范圍.22．（10分）為獎勵優(yōu)秀學生，某校準備購買一批文具袋和圓規(guī)作為獎品，已知購買1個文具袋和2個圓規(guī)需21元，購買2個文具袋和3個圓規(guī)需39元。求文具袋和圓規(guī)的單價。學校準備購買文具袋20個，圓規(guī)若干，文具店給出兩種優(yōu)惠方案：方案一：購買一個文具袋還送1個圓規(guī)。方案二：購買圓規(guī)10個以上時，超出10個的部分按原價的八折優(yōu)惠，文具袋不打折.①設購買面規(guī)m個，則選擇方案一的總費用為______，選擇方案二的總費用為______.②若學校購買圓規(guī)100個，則選擇哪種方案更合算？請說明理由.23．（12分）（5分）計算：(124．如圖，點D，C在BF上，AB∥EF，∠A=∠E，BD=CF．求證：AB=EF．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、D【解析】

根據相反數的定義求解即可．【詳解】的相反數是-，故選D．【點睛】本題考查了實數的性質，在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數．2、B【解析】試題分析：A．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選B．考點：中心對稱圖形．3、B【解析】∵函數圖象的對稱軸為：x=-==1，∴b=﹣2a，即2a+b=0，①正確；由圖象可知，當﹣1＜x＜3時，y＜0，②錯誤；由圖象可知，當x=1時，y=0，∴a﹣b+c=0，∵b=﹣2a，∴3a+c=0，③正確；∵拋物線的對稱軸為x=1，開口方向向上，∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函數圖象上，當1＜x1＜x2時，y1＜y2；當x1＜x2＜1時，y1＞y2；故④錯誤；故選B．點睛：本題主要考查二次函數的相關知識，解題的關鍵是：由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理．4、D【解析】

根據眾數的定義找出出現次數最多的數，再根據平均數的計算公式求出平均數即可【詳解】∵4出現了2次，出現的次數最多，∴眾數是4；這組數據的平均數是：（4+8+4+6+3）÷5=5；故選D．5、D【解析】

根據二次函數圖象開口向上得到a>0，再根據對稱軸確定出b，根據二次函數圖形與軸的交點個數，判斷的符號，根據圖象發(fā)現當x=1時y=a+b+c<0，然后確定出一次函數圖象與反比例函數圖象的情況，即可得解．【詳解】∵二次函數圖象開口方向向上，∴a>0，∵對稱軸為直線∴b<0，二次函數圖形與軸有兩個交點，則>0，∵當x=1時y=a+b+c<0，∴的圖象經過第二四象限，且與y軸的正半軸相交，反比例函數圖象在第二、四象限，只有D選項圖象符合.故選：D.【點睛】考查反比例函數的圖象，一次函數的圖象，二次函數的圖象，掌握函數圖象與系數的關系是解題的關鍵.6、D【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AH∥BG，AD=BC，∴∠H=∠HBG．∵∠HBG=∠HBA，∴∠H=∠HBA，∴AH=AB．同理可證BG=AB，∴AH=BG．∵AD=BC，∴DH=CG，故C正確．∵AH=AB，∠OAH=∠OAB，∴OH=OB，故A正確．∵DF∥AB，∴∠DFH=∠ABH．∵∠H=∠ABH，∴∠H=∠DFH，∴DF=DH．同理可證EC=CG．∵DH=CG，∴DF=CE，故B正確．無法證明AE=AB，故選D．7、D【解析】

5出現了6次，出現的次數最多，則眾數是5；把這些數從小到大排列，中位數是第10，11個數的平均數，則中位數是（6＋6）÷2＝6；平均數是：（4×2＋5×6＋6×5＋7×4＋8×3）÷20＝6；故答案選D．8、A【解析】試題分析：由角平分線和線段垂直平分線的性質可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，∴CD=DE=BD，∵BC=3，∴CD=DE=1考點：線段垂直平分線的性質9、A【解析】

設反比例函數y=（k為常數，k≠0），由于反比例函數的圖象經過點（-2，3），則k=-6，然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征分別進行判斷．【詳解】設反比例函數y=（k為常數，k≠0），∵反比例函數的圖象經過點（-2，3），∴k=-2×3=-6，而2×（-3）=-6，（-3）×（-3）=9，2×3=6，-4×6=-24，∴點（2，-3）在反比例函數y=-的圖象上．故選A．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數y=（k為常數，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．10、C【解析】

本題要先觀察a，b在數軸上的位置，得b＜-1＜0＜a＜1，然后對四個選項逐一分析．【詳解】A、因為b＜-1＜0＜a＜1，所以|b|＞|a|，所以a+b＜0，故選項A錯誤；B、因為b＜0＜a，所以ab＜0，故選項B錯誤；C、因為b＜-1＜0＜a＜1，所以1a+1D、因為b＜-1＜0＜a＜1，所以1a-1故選C．【點睛】本題考查了實數與數軸的對應關系，數軸上右邊的數總是大于左邊的數．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、【解析】

設AC=x，則BC=2-x，根據AC2=BC·AB列方程求解即可.【詳解】解：設AC=x，則BC=2-x，根據AC2=BC·AB可得x2=2(2-x),解得：x=或（舍去）.故答案為.【點睛】本題考查了黃金分割的應用，關鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比.12、20【解析】

在Rt△ABC中,直接利用tan∠ACB=tan30°==即可.【詳解】在Rt△ABC中，tan∠ACB=tan30°==,BC=60，解得AB=20.故答案為20.【點睛】本題考查的知識點是解三角形的實際應用，解題的關鍵是熟練的掌握解三角形的實際應用.13、【解析】【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值>1時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數．【詳解】60000小數點向左移動4位得到6，所以60000用科學記數法表示為：6×1，故答案為：6×1．【點睛】本題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．14、或5或1．【解析】

根據以點A，D，E為頂點的三角形是等腰三角形分類討論即可．【詳解】解：如圖（1）當在△ADE中，DE=5，當AD=DE=5時為等腰三角形，此時m=5.(2)又AC=5，當平移m個單位使得E、C點重合，此時AE=ED=5,平移的長度m=BC=1,(3)可以AE、AD為腰使ADE為等腰三角形，設平移了m個單位：則AN=3,AC=，AD=m，得：，得m=,綜上所述：m為或5或1，所以答案：或5或1．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，注意分類討論的完整性.15、1【解析】

利用樹狀圖展示所有1種等可能的結果數．【詳解】解：畫樹狀圖為：

共有1種等可能的結果數．

故答案為1．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．16、1．【解析】試題分析：∵關于x的方程x2∴Δ=(1-m)∴m的最大整數值為1．考點：1.一元二次方程根的判別式；2.解一元一次不等式．三、解答題（共8題，共72分）17、（1）見解析；（2）BG=BC+CG=1．【解析】

（1）利用正方形的性質，可得∠A=∠D，根據已知可得AE：AB=DF：DE，根據有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據相似三角形的預備定理得到△EDF∽△GCF，再根據相似的性質即可求得CG的長，那么BG的長也就不難得到.【詳解】（1）證明：∵ABCD為正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°.∵AE=ED，∴AE：AB=1：2.∵DF=DC，∴DF：DE=1：2，∴AE：AB=DF：DE，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD為正方形，∴ED∥BG，∴△EDF∽△GCF，∴ED：CG=DF：CF.又∵DF=DC，正方形的邊長為4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=1.【點睛】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵.18、（1）a=2，k=8（2）=1.【解析】分析：（1）把A（-1，a）代入反比例函數得到A（-1，2），過A作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，根據相似三角形的性質得到B（4，2），于是得到k=4×2=8；

（2）求的直線AO的解析式為y=-2x，設直線MN的解析式為y=-2x+b，得到直線MN的解析式為y=-2x+10，解方程組得到C（1，8），于是得到結論．詳解：（1）∵反比例函數y=﹣（x＜0）的圖象過點A（﹣1，a），∴a=﹣=2，∴A（﹣1，2），過A作AE⊥x軸于E，BF⊥⊥x軸于F，∴AE=2，OE=1，∵AB∥x軸，∴BF=2，∵∠AOB=90°，∴∠EAO+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，∴∠EAO=∠BOF，∴△AEO∽△OFB，∴，∴OF=4，∴B（4，2），∴k=4×2=8；（2）∵直線OA過A（﹣1，2），∴直線AO的解析式為y=﹣2x，∵MN∥OA，∴設直線MN的解析式為y=﹣2x+b，∴2=﹣2×4+b，∴b=10，∴直線MN的解析式為y=﹣2x+10，∵直線MN交x軸于點M，交y軸于點N，∴M（5，0），N（0，10），解得，，∴C（1，8），∴△OBC的面積=S△OMN﹣S△OCN﹣S△OBM=5×10﹣×10×1﹣×5×2=1．點睛：本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，反比例函數與一次函數交點問題，相似三角形的判定和性質，求函數的解析式，三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．19、【解析】分析：按照實數的運算順序進行運算即可.詳解：原式點睛：本題考查實數的運算，主要考查零次冪，負整數指數冪，特殊角的三角函數值以及二次根式，熟練掌握各個知識點是解題的關鍵.20、（1），；（2）【解析】

（1）當y=0，則x2-4x-5=0，解方程即可得到x的值.(2)由題意易求M，P點坐標，再求出MP的直線方程，可得cot∠MCB.【詳解】（1）把代入函數解析式得，即，解得：，.（2）把代入得，即得，∵二次函數，與軸的交點為，∴點坐標為.設直線的解析式為，代入，得解得，∴，∴點坐標為，在中,又∵∴.【點睛】本題考查的知識點是拋物線與x軸的交點，二次函數的性質，解題的關鍵是熟練的掌握拋物線與x軸的交點，二次函數的性質.21、(1)，；（2）或.【解析】

（1）把點A坐標代入可求出m的值即可得反比例函數解析式；把點A、點C代入可求出k、b的值，即可得一次函數解析式；（2）聯(lián)立一次函數和反比例函數解析式可求出點B的坐標，根據圖象，求出一次函數圖象在反比例函數圖象的上方時，x的取值范圍即可．【詳解】（1）把代入得.∴反比例函數的表達式為把和代入得，解得∴一次函數的表達式為.（2）由得∴當或時，.【點睛】本題考查了一次函數和反比例函數的交點問題，解決問題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式．求反比例函數與一次