反比例函數(shù)題型的綜合提優(yōu)題

第三講反比率函數(shù)典型題、常考題復(fù)習(xí)2學(xué)習(xí)目標(biāo)：能夠?qū)⒎幢嚷屎瘮?shù)與其余知識進(jìn)行聯(lián)系、綜合剖析解決有關(guān)問題，能夠用反比率函數(shù)來解決實(shí)質(zhì)問題要點(diǎn)難點(diǎn)：綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決反比率函數(shù)中的綜合問題，剖析此類問題的切入點(diǎn)，累積解題經(jīng)驗(yàn)合作研究：典型例題解說一、反比率函數(shù)的實(shí)質(zhì)應(yīng)用問題例1（2010四川達(dá)州）最近幾年來，我國煤礦安全事故屢次發(fā)生，此中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次礦難事件的檢查中發(fā)現(xiàn)：從零時起，井內(nèi)空氣中CO的濃度達(dá)到4mg/L，今后濃度呈直線型增添，在第7小時達(dá)到最高值46mg/L，發(fā)生爆炸；爆炸后，空氣中的CO濃度成反比率降落.如圖11，依據(jù)題中有關(guān)信息回答以下問題：1）求爆炸前后空氣中CO濃度y與時間x的函數(shù)關(guān)系式，并寫．．出相應(yīng)的自變量取值范圍；2）當(dāng)空氣中的CO濃度達(dá)到34mg/L時，井下3km的礦工接到自動報警信號，這時他們起碼要以多少km/h的速度撤退才能在爆炸前逃生？3）礦工只有在空氣中的CO濃度降到4mg/L及以下時，才能回到礦井展開生產(chǎn)自救，求礦工起碼在爆炸后多少小時才能下井?圖11【答案】.解：（1）由于爆炸前濃度呈直線型增添，因此可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為yk1xb由圖象知yk1xb過點(diǎn)（0，4）與（7，46）b4.解得k16,7k1b46b4∴y6x4,此時自變量x的取值范圍是0≤x≤7.(不取x=0不扣分，x=7可放在第二段函數(shù)中)由于爆炸后濃度成反比率降落，因此可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為yk2.k2x由圖象知y過點(diǎn)（7,46），x∴k246.∴k2322,7∴y322，此時自變量x的取值范圍是x＞7.x（2）當(dāng)y=34時，由y6x4得,6x+4=34，x=5.∴撤退的最長時間為7-5=2(小時).∴撤退的最小速度為3÷2=1.5(km/h).(3)當(dāng)y=4時，由y322得,x，80.5-7=73.5(小時).x∴礦工起碼在爆炸后73.5小時能才下井.例2、（反比率函數(shù)新奇題）某小學(xué)為每個班級裝備了一種能夠加熱的飲水機(jī)，該飲水機(jī)的工作程序是：放滿水后，接通電源，則自動開始加熱，每分鐘水溫上漲10oC，待加熱到100oC，飲水機(jī)自動停止加熱，水溫開始降落，水溫y(0C)和通電時間x(min)成反比率關(guān)系，直至水溫降至室溫，飲水機(jī)再次自動加熱，重復(fù)上述過程．設(shè)某天水平和室溫為20oC，接通電源后，水平和時間的關(guān)系以以下圖所示，回答以下問題：（1）分別求出當(dāng)0≤x≤8和8＜x≤a時，y和x之間的關(guān)系式；（2）求出圖中a的值；（3）下表是該小學(xué)的作息時間，若同學(xué)們希望在上午第一節(jié)下課8：20時能喝到不超出40oC的開水，已知第一節(jié)下課前無人接水，請直接寫出生活委員應(yīng)當(dāng)在什么時間或時間段接通飲水機(jī)電源．（不能夠用上課時間接通飲水機(jī)電源）二、反比率函數(shù)與翻折聯(lián)合問題例1．如圖，四邊形OABC是面積為4正方形，函數(shù)y＝k（x＞0）的圖象經(jīng)x

時間節(jié)次7:20到校上7:45~8:20第一節(jié)午8:30~9:05第二節(jié)

的過點(diǎn)B．1）求k的值；2）將正方形OABC分別沿直線AB、BC翻折，獲得正方形MABC′、NA′BC．設(shè)線段MC′、NA′分別與函數(shù)y＝k（x＞0）的圖象交于點(diǎn)xE、F，求線段EF所在直線的分析式．例2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），反比率函數(shù)y＝k（k＞0）的圖象與矩形AOBC的邊AC、xBC分別訂交于點(diǎn)E、F，將△CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰巧落在OB上．1）求證：△AOE與△BOF的面積相等；2）求反比率函數(shù)的分析式；3）如圖2，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－3），在反比率函數(shù)y＝k的圖象上是x否存在點(diǎn)M、N（M在N的左邊），使得以O(shè)、P、M、N為極點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．三、反比率函數(shù)中的研究性問題例1（2010山東省德州）●研究(1)在圖1中，已知線段AB，CD，此中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．①若A(-1，0)，B(3，0)，則E點(diǎn)坐標(biāo)為__________；y②若C(-2，2)，D(-2，-1)，則F點(diǎn)坐標(biāo)為C；AB(2)在圖2xABAabOBcdD第1題圖求出圖中AB中點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含a，b，c，d的代數(shù)式表示），并給出求解過程．●概括不論線段AB處于直角坐標(biāo)系中的哪個地點(diǎn)，當(dāng)其端點(diǎn)坐標(biāo)為A(a，b)，B(c，d)，AB中點(diǎn)為x=_________，y=___________．（不用證明）

yD(x，y)時，BDAOx●運(yùn)用在圖2中，一次函數(shù)yx2第1題圖與反比率函數(shù)y3的圖象交點(diǎn)為A，B．y=3x①求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；yxB②若以A，O，B，P為極點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，xO請利用上邊的結(jié)論求出極點(diǎn)P的坐標(biāo)．y=x-A題圖第1【答案】解：研究(1)①(1，0)；②(-2，1)；2過點(diǎn)A，D，B三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為A，D，B，則AA∥BB∥CC．y∵D為AB中點(diǎn)，由平行線分線段成比率定理得BDAD=DB．A′Bx∴OD=acaac．OAD22即D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是ac32yy=同理可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)是bd．x2B∴AB中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(ac，bd)．x22O概括：ac，bd．AP22y=x-運(yùn)用yx2，①由題意得3.yxx3，x1，解得y1.或y3.．∴即交點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-1，-3)，B(3，1)．②以AB為對角線時，由上邊的結(jié)論知AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，-1)．∵平行四邊形對角線相互均分，OM=OP，即M為OP的中點(diǎn)．P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-2)．同理可得分別以O(shè)A，OB為對角線時，點(diǎn)P坐標(biāo)分別為(4，4)，(-4，-4)．∴知足條件的點(diǎn)P有三個，坐標(biāo)分別是(2，-2)，(4，4)，(-4，-4)．例2（1）研究新知：如圖1，已知△ABC與△ABD的面積相等，試判斷AB與CD的地點(diǎn)關(guān)系，并說明原因．（2）結(jié)論應(yīng)用：①如圖2，點(diǎn)M，N在反比率函數(shù)y=k（k＞0）的圖象上，過點(diǎn)M作xME⊥y軸，過點(diǎn)N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，試證明：MN∥EF；②若①中的其余條件不變，只改變點(diǎn)M，N的地點(diǎn)如圖3所示，請判斷MN與EF能否平行．xk（k＞0）的圖象上，【答案】（1）證明：分別過點(diǎn)C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，則∠CGA＝∠DHB＝90°．CG∥DH．∵△ABC與△ABD的面積相等，∴CG＝DH．∴四邊形CGHD為平行四邊形．AB∥CD．（2）①證明：連結(jié)MF，NE．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x2，y2）．∵點(diǎn)M，N在反比率函數(shù)y∴x1y1k，x2y2k．ME⊥y軸，NF⊥x軸，OE＝y(tǒng)1，OF＝x2．∴S△EFM1xy1k，＝1122S△EFN＝1x2y21k．22∴S△EFM＝S△EFN．由（1）中的結(jié)論可知：MN∥EF．②MN∥EF．講堂練習(xí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、若一次函數(shù)y＝2x－1和反比率函數(shù)y＝k的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，1）．（1）求反比率函數(shù)的分析式；2x（2）已知點(diǎn)A在第三象限，且同時在兩個函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）利用（2）的結(jié)果，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），且以點(diǎn)A、O、B、P為極點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．2、已知：如圖，正比率函數(shù)y=ax的圖象與反比率函數(shù)y=k的圖象交于點(diǎn)A(3,2)x（1）試確立上述正比率函數(shù)和反比率函數(shù)的表達(dá)式；（2）依據(jù)圖象信息回答以下問題：在第一象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時，反比率函數(shù)的值大于該正比例函數(shù)的值？（3）M(m,n)是反比率函數(shù)圖象上的一動點(diǎn)，此中0＜m＜3過點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交y軸于點(diǎn)B；過點(diǎn)A作直線AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C，交直線MB于點(diǎn)D．當(dāng)四邊形OADM的面積為6時，求過點(diǎn)M、A的一次函數(shù)分析式和求出線段MA的長．能力提高1、（育才二模）⑴“三均分角”是數(shù)學(xué)史上一個著名問題，但數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明，僅用尺規(guī)不行能“三均分隨意角”.但關(guān)于特定度數(shù)的已知角，如90°角、45°角等，是能夠用尺規(guī)進(jìn)行三均分的.如圖a，∠AOB＝90°，我們在邊OB上取一點(diǎn)C，用尺規(guī)以O(shè)C為一邊向∠AOB內(nèi)部作等邊△OCD，作射線OD，再用尺規(guī)作出∠DOB的角均分線OE，則射線OD、OE將∠AOB三均分.認(rèn)真領(lǐng)會一下此中的道理，而后用尺規(guī)把圖b中的∠MON三均分（已知∠MON＝45°）.（不需寫作法，但需保存作圖印跡，同意適合增添文字的說明）MA⑵數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三均分銳角”的方法（如圖c）：將給定的銳角D1∠AOB置于直角坐標(biāo)系中，E邊的圖象交于點(diǎn)P，以P為圓OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y.分別過點(diǎn)PRxxy心、長為半徑作弧交圖象于點(diǎn)和作軸和軸的平行線，兩直線訂交2OPROCB1要理解帕普斯的方法，請研究以下問題：3ON圖a圖b①設(shè)P(a,1)、R(b,1)，求直線OM對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（用含a、b的代數(shù)式表示）.ab②分別過點(diǎn)P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線訂交于點(diǎn)Q.請說明Q點(diǎn)在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB＝1∠AOB.3（2011江蘇鎮(zhèn)江常州）在平面直角坐標(biāo)系XOY中，直線l1過點(diǎn)A（1，0）且與y軸平行，直線l2過點(diǎn)B（0，2）且與x軸平行，直線l1與直線l2訂交于點(diǎn)P．點(diǎn)E為直線l2上一點(diǎn)，反比率函數(shù)y＝k（k＞0）的圖象過點(diǎn)E與直線l1訂交于點(diǎn)F．x1）若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，求k的值；2）連結(jié)OE．OF．EF．若k＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；3）能否存在點(diǎn)E及y軸上的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M．E．F為極點(diǎn)的三角形與△PEF全等？若存在，求E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．圖c考點(diǎn)：相像三角形的判斷與性質(zhì)；反比率函數(shù)綜合題；全等三角形的判斷與性質(zhì)；勾股定理．專題：分類議論．剖析：（1）依據(jù)反比率函數(shù)中k=xy進(jìn)行解答即可；（2）當(dāng)k＞2時，點(diǎn)E．F分別在P點(diǎn)的右邊和上方，過E作x軸的垂線EC，垂足為C，過F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD訂交于點(diǎn)G，則四邊形OCGD為矩形，再求出1k2△FPE4﹣k+1，依據(jù)S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGD﹣S△OCE即可求出k的值，從而求出E點(diǎn)坐標(biāo)；（3）①當(dāng)k＜2時，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，222E點(diǎn)坐標(biāo)；EM=EB+MB，求出k的值，從而可得出②當(dāng)k＞2時，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得，BM＝EM，F(xiàn)QFM可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，222EM=EB+MB